\documentclass{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\begin{document}
\centerline{{\bf\huge 2. E~L~E~K~T~R~O~S~T~A~T~I~K~A}}
\zeroequation{2} \vspace*{2cm}{\bf\Large 1. Elektrick� n�boj}
\vspace*{1cm}
\setcounter{page}{42}
Z�kladn�mi stavebn�mi kameny l�tky jsou element�rn� ��stice
(elektrony, protony, neutrony), kter� vytv��ej� slo�it�j�� struktury
(atomov� j�dra, atomy, molekuly). ��stice mezi sebou interaguj�,
vz�jemn� na sebe p�sob�.
Dnes zn�me �ty�i typy takov�ho vz�jemn�ho p�soben� neboli �ty�i druhy sil:\\
\vspace*{3mm}
\centerline{
1. gravita�n� \\
2. slab� \\
3. {\em elektromagnetick�}\\
4. siln�.} \vspace*{3mm}
S gravita�n�mi silami jsme se setkali v mechanice; jejich velikost
ud�v� Newton�v gravita�n� z�kon a jejich podstatu se sna�� objasnit
OTR. Se slab�mi silami se setk�v�me u n�kter�ch druh� radioaktivn�ch
p�em�n za ��asti neutrina, siln� s�ly dr�� pohromad� atomov� j�dra a
jsou zdrojem jadern� energie. V roce 1983 se poda�ilo experiment�ln�
prok�zat, �e elektromagnetick� a slab� s�ly jsou projevem t�e
elektroslab� s�ly, tak�e se po�et z�kladn�ch typ� sil zredukoval na
t�i. V denn�m �ivot� se vedle gravitace setk�v�me p�edev��m s
p�soben�m elektromagnetick�m, kter� je tak� nejl�pe prozkoum�no. S�ly
t�en�, p�ilnavost, soudr�nost t�les a kapilarita, chemick� vazby a
reakce �iv� hmoty v�etn� svalov� �innosti, slune�n� z��en� i
magnetick� s�ly, to v�e m� sv�j p�vod v elektromagnetick�ch
interakc�ch.
Elektromagnetick� p�soben� se projevuje pouze mezi n�kter�mi
��sticemi, o nich� prav�me, �e jsou elektricky nabit�, �e nesou {\em
elektrick� n�boj.} Tyto ��stice pak mohou vytv��et slo�it�
struktury, mohou se slo�it�m zp�sobem pohybovat, a elektromagnetick�
s�ly mezi t�mito strukturami mohou m�t velmi slo�itou povahu - nemus�
b�t centr�ln� ani izotropn�, mohou r�zn�m zp�sobem z�viset na
vzd�lenosti a rychlostech ��stic a nemus� ani spl�ovat Newton�v z�kon
akce a reakce.
Podstatu elektrick�ho n�boje nezn�me a jeho existence je pro n�s
z�kladn� experiment�ln� fakt. M��eme pouze uv�st jeho vlastnosti; na
rozd�l od matematick�ch pojm� soubor t�chto vlastnost� nebude nikdy
�pln�, experiment�ln� mohou b�t objevov�ny dal��, nov� vlastnosti.
Stru�n� tyto
vlastnosti shrneme:\\
1. N�boj neexistuje jako samostatn� substance, je v�dy {\em v�z�n na
nabit� ��stice} a charakterizuje jejich elektromagnetick� silov�
p�soben�. Je mo�n� ho zjistit jen prost�ednictv�m tohoto silov�ho
p�soben�; jedin�
osamocen� n�boj ve vesm�ru by se nijak neprojevoval.\\
\vspace*{3mm}
2. Na rozd�l od gravita�n�ch sil jsou s�ly mezi n�boji jak p�ita�liv�
tak odpudiv�. To lze vysv�tlit nejjednodu�eji tak, �e existuj� {\em
dva druhy n�boje - kladn� a z�porn�}, p�i �em� n�boje stejn�ho
znamen� se vz�jemn� odpuzuj�, n�boje opa�n�ho znamen� se p�itahuj�. S
hlediska elektrick�ch sil se nic nezm�n�, vym�n�me-li znam�nka u v�ech
n�boj�. Ukazuje se, �e v p��rod� existuje symetrie mezi ��sticemi a
anti��sticemi: ke ka�d� ��stici existuje anti��stice s opa�n�m
znam�nkem elektrick�ho n�boje (a n�kter�ch dal��ch tzv. kvantov�ch
��sel). Tato podivuhodn� symetrie souvis� i s vlastnostmi prostoru a
�asu - n�zorn� lze ��ci, �e zrcadlov� obraz ��stice m� i opa�n� n�boj.
\vspace*{3mm}
3. Plat� {\em z�kon zachov�n� n�boje}. N�boj je nestvo�iteln� a
nezni�iteln�, p�i reakc�ch mezi ��sticemi je celkov� n�boj p�ed reakc�
v�dy roven celkov�mu n�boji po reakci. Celkov� mno�stv� elektrick�ho
n�boje v elektricky izolovan� soustav� (tj. takov�, jej� hranic�
nemohou proch�zet n�boje) z�st�v� stejn�. Experiment�ln� d�kaz tohoto
z�kona podal M. Faraday r. 1843. \vspace*{3mm}
4. N�boj se nem�n� p�i pohybu, je {\em relativisticky invariantn�}.
Velikost n�boje je stejn� ve v�ech vzta�n�ch soustav�ch. Toto tvrzen�
podporuje i skute�nost, �e atomy a molekuly tvo�en� nabit�mi ��sticemi
jsou jako celek elektricky neutr�ln�.\footnote{Svazky atom� a molekul
se neodchyluj� v siln�ch elektrick�ch a magnetick�ch pol�ch.
Experiment�ln� to ov��ovali v r. 1960 J.G.King na molekul�ch vod�ku
a v roce 1963 J.C.Zorn na atomech cesia s p�esnost� a�
$10^{-20}\;e$, kde $e$ je element�rn� n�boj. Elektrick� n�boje
proton� a elektron� se v atomech dokonale kompenzuj� i tehdy,
jsou-li tyto syst�my tvo�eny t�mi� ��sticemi pohybuj�c�mi se
naprosto odli�n�m zp�sobem, nap��klad v atomu helia a molekule
deuteria.} \vspace*{3mm}
5. N�boj je {\em kvantov�n}. Existuje nejmen�� mo�n� takzvan� {\em
element�rn�} n�boj a v�echny n�boje jsou jeho cel�mi n�sobky. Pro
tento fakt nem� fyzika dosud uspokojiv� vysv�tlen�; kdyby se v�ak
poda�ilo experiment�ln� prok�zat existenci takzvan�ho {\em
magnetick�ho monop�lu}, tj. ��stice nesouc� jen jeden magnetick�
p�l, vyplynulo by kvantov�n� elektrick�ho n�boje z teorie kvantov�
fyziky. \vspace*{3mm}
N� vesm�r je elektricky {\em kvazineutr�ln�}, tj. v ka�d�m dostate�n�
velk�m objemu je v�dy stejn� velk� kladn� a z�porn� n�boj. Kdykoliv by
do�lo k odd�len� kladn�ch a z�porn�ch n�boj�, projevily by se mezi
takov�mi oblastmi obrovsk� elektrick� s�ly, kter� by se sna�ily
kvazineutralitu obnovit. P�itom podle posledn�ch poznatk� astrofyziky
v na�em vesm�ru p�eva�uj� ��stice nad anti��sticemi; tato asymetrie je
d�sledkem mal� p�evahy po�tu ��stic nad anti��sticemi na ran�ch
stadi�ch v�voje vesm�ru (v pom�ru asi $1:10^{9}$). Pot�, kdy� p�ev�n�
v�t�ina ��stic anihilovala s anti��sticemi za vzniku z��en� (tzv.
reliktov� z��en�), staly se zbyl� ��stice materi�lem k tvorb�
l�tkov�ch struktur na�eho vesm�ru.
\vspace*{4mm}
P�edpokl�dejme, �e m�me dva statick� (nehybn�) bodov� n�boje ve vakuu
ve vz�jemn� vzd�lenosti $r_{21}$. {\em Bodov�m n�bojem} rozum�me
ur�itou abstrakci, fyzik�ln� model nabit� ��stice nebo t�lesa, jeho�
rozm�ry jsou zanedbateln� ve srovn�n� se vzd�lenost� mezi t�lesy. Jak
uvid�me pozd�ji, je-li n�boj t�les kone�n� velikosti rozlo�en s
kulovou symetri�, m��eme je pova�ovat p�esn� za bodov� n�boje um�st�n�
ve st�edu t�to symetrie.
Tak� p�edpoklad o tom, �e n�boje jsou statick� je abstrakc� - re�ln�
n�boje jsou v�dy v pohybu. Vznik� proto ot�zka, zda je elektrostatika,
v�da o elektrick�ch n�boj�ch v klidu, v�bec opr�vn�na. Pozd�ji
uvid�me, �e jej� opodstatn�n� ve skute�nosti vypl�v� pouze z mo�nosti
vyst�edovat rychl� chaotick� pohyby n�boj�.
Podle {\em Coulombova z�kona} s�la, kterou statick� bodov� n�boj
$q_{1}$ p�sob� na n�boj $q_{2}$ ve vzd�lenosti $r_{21}$ ve vakuu,
kles� se �tvercem vzd�lenosti podobn� jako s�la gravita�n� a je d�na
vztahem
\begin{equation} \label{Coul}
\vec F_{21}\;=\;k\;\frac{q_{1}q_{2}}{r_{21}^{2}}~\vec r_{21}^{0}\;=\;
k\;\frac{q_{1}q_{2}}{r_{21}^{3}}~\vec r_{21}\;.
\end{equation}
Tato s�la je {\em centr�ln�} (m��� pod�l spojnice dan� jednotkov�m
vektorem $\vec r_{21}^{0}$), je p�ita�liv� nebo odpudiv� podle toho
zda n�boje maj� nesouhlasn� nebo souhlasn� znamen� (jej� velikost
p�itom na znam�nk�ch n�boj� nez�vis�) a je {\em izotropn�}, tj.
nez�vis� na sm�ru v prostoru.
M�me-li v prostoru soustavu $N$ bodov�ch n�boj� $q_{\alpha }$, kter�
v�echny p�sob� na zku�ebn� n�boj $q_{0}$, od n�ho� jsou vzd�leny
$r_{0\alpha }$, potom se jejich silov� ��inky nez�visle vektorov�
s��taj� ({\em princip superpozice}), tak�e v�sledn� s�la p�sob�c� na
n�boj $q_{0}$ bude
\begin{equation} \label{super}
\vec F_{0}\;=\;kq_{0}\sum_{\alpha =1}^{N} \frac{q_{\alpha }}{r_{0\alpha }^{2}}
~\vec r_{0\alpha }^{0}\;.
\end{equation}
Podstatn�m tvrzen�m Coulombova z�kona je, �e s�la kles� se �tvercem
vzd�lenosti; to je ov�em nutno ov��it experiment�ln�. P��m�
experiment�ln� d�kaz provedl Ch. A. Coulomb v roce 1785 pomoc�
torzn�ch vah, kter� s�m zkonstruoval (obr. 2.1). \vspace*{3mm}
\hspace*{-\parindent}\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth} Vahad�lko z
hedv�bn� navoskovan� niti d�lky $2r$ bylo zav�eno na tenk�m
st��brn�m dr�tku d�lky $l=$76 cm. Na jednom konci vahad�lka byla
mal� kuli�ka z bezov� du�e vyv�en� na druh�m konci pap�rov�m
kotou�kem. Po doteku se stejnou upevn�nou elektricky nabitou
kuli�kou se ob� kuli�ky nabily stejn�m n�bojem a jejich vz�jemn�
odpudiv� s�la byla vyrovn�v�na torzn� silou dr�tku. �hel zkrutu
$\alpha $ mohl b�t p�esn� m��en odrazem sv�teln�ho paprsku zrc�tkem
Z, cel� za��zen� bylo um�st�no ve sklen�n�m v�lci a elektricky
izolov�no. Moment te�n� slo�ky Coulombovy s�ly mus� b�t roven
momentu torzn�mu:
\begin{displaymath}
rF_{t}\;=\;\frac{\pi }{2}\;\frac{GR^{4}}{l}\alpha ,\qquad
F_{21}\;=\;\frac{F_{t}}{\cos \frac{\alpha }{2}}\;.
\end{displaymath}
($G$ je modul smyku a $R$ polom�r dr�tku).
\end{minipage}\
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\vspace*{8cm} \centerline{obr. 2.1}
\end{minipage}
\vspace*{5mm}
P�es vysokou citlivost torzn�ch vah dosahovala p�esnost Coulombov�ch
experiment� \\ 5 - 10\%\ .~ Pozd�ji byl experiment zp�es�ov�n a
prov�d�n i pro s�ly p�ita�liv�. Coulomb s�m m��il t�mto zp�sobem i
s�ly mezi p�ly dlouh�ch ty�ov�ch magnet� a ustanovil i Coulomb�v z�kon
pro n�boje magnetick�. Dnes v�me, �e magnetick� pole je vytv��eno
elektrick�mi proudy a ot�zka existence magnetick�ho n�boje (monop�lu)
z�st�v� st�le otev�ena.
P�esn�j�� zp�sob, jak dok�zat , �e s�ly mezi bodov�mi n�boji klesaj�
se �tvercem vzd�lenosti, je ov��it, �e u dut�ch vodi�� s�dl� n�boje
jen na {\em vn�j��m} povrchu; jak uvid�me, je to tvrzen� ekvivalentn�.
Byl si toho v�dom u� H.Cavendish, kter� t�mto zp�sobem ov��il
Coulomb�v z�kon ji� v roce 1772. Jeho pr�ce byly v�ak publikov�ny a�
Maxwellem o sto let pozd�ji. Modern� p�esn� experiment tohoto typu
provedli v r. 1936 S.J. Plimpton a W.E.Lawton. Z�kon p�evr�cen�ch
�tverc� byl tak experiment�ln� dok�z�n s p�esnost� $10^{-9}$. Zat�m
nejsou zn�my meze platnosti Coulombova z�kona - plat� jak pro vesm�rn�
vzd�lenosti tak pro vzd�lenosti jadern�. Existuj� i dal�� mo�nosti
ov��ov�n� tohoto z�kona - kdyby se jen nepatrn� odchyloval od
z�konitosti p�evr�cen�ch �tverc�, fotony by musely m�t nenulovou
klidovou hmotnost a pozorovali bychom disperzi elektromagnetick�ch vln
ve vakuu.
Dosud jsme u��vali term�n elektrick� n�boj ve dvou v�znamech - jako
fyzik�ln� jev, vlastnost ��stic a jako fyzik�ln� veli�inu. Abychom
mohli m��it {\em velikost elektrick�ho n�boje}, mus�me zvolit
konstantu $k$ v (\ref{Coul}) a zvolit tak jednotku n�boje. V absolutn�
soustav� jednotek je tato konstanta kladena $k=1$, v n�mi u��van�
soustav� SI ji klademe
\begin{equation} \label{Coulo}
k\;=\;c^{2}.10^{-7}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\;=\;0,8988.10^{10}~
\hbox{N.m}^{2}.\hbox{C}^{-2}\;.
\end{equation}
Konstanta v Coulombov� z�konu je tak p��mo v�z�na s rychlost� sv�tla
ve vakuu. Jednotka pro m��en� velikosti n�boje takto zaveden� se
naz�v� coulomb (C) a m� fyzik�ln� rozm�r [TI] (�as kr�t
proud).\footnote{Coulomb je tedy amp�rsekunda.} Podle (\ref{Coulo})
jsme zavedli t� dal�� konstantu $\varepsilon _{0}$ naz�vanou {\em
permitivita vakua} nebo t� {elektrick� konstanta}. Vyjad�uje se v
jednotk�ch farad na metr (F.$\hbox{m}^{-1}$) a m� hodnotu $\varepsilon
_{0}=8,854.10^{-12}\;\hbox{F.m}^{-1}$. Tato konstanta nem� ov�em ��dn�
bezprost�edn� fyzik�ln� v�znam a souvis� pouze s volbou soustavy
jednotek SI.
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\centerline{obr. 2.2} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Po zaveden� jednotky elektrick�ho n�boje se m��eme pt�t, jakou m�
velikost {\em element�rn� n�boj}, nejmen�� mo�n� n�boj, jak� nesou
element�rn� ��stice. P��m� zp�sob stanoven� element�rn�ho n�boje (a
z�rove� d�kaz kvantov�n� n�boje) p�edstavuje {\em Millikan�v
experiment} z roku 1911 (viz obr. 2.2). P�i tomto experimentu jsou
do prostoru mezi vodorovn� orientovan�mi deskami kondenz�toru
vst�ikov�ny drobn� olejov� kapi�ky a je mikroskopem pozorov�n jejich
pohyb. Syst�m je um�st�n ve vakuov� komo�e za sn�en�ho tlaku vzduchu
a termostatov�n. Kapi�ky nesou mal� elektrick� n�boje z�skan� t�en�m
p�i rozst�ikov�n�; jejich n�boj je mo�no p��padn� m�nit ionizuj�c�m
z��en�m. Pokud na kondenz�tor nen� pod�no nap�t�, budou se kapi�ky
pohybovat vertik�ln� dol� pod vlivem t�e, vztlaku a odporu prost�ed�,
kter� je mo�no popsat Stokesovou silou
\begin{displaymath}
F_{S}\;=\;6\pi \eta rv\;,
\end{displaymath}
kde $r$ je polom�r kapi�ek, $v$ jejich rychlost a $\eta $ dynamick�
viskozita vzduchu p�i dan�m tlaku. D�ky odporu prost�ed� se rychlost
kapi�ek $v_{g}$ ust�l� jako konstantn�. Pod�me-li na kondenz�tor
nap�t�, bude se t� kapi�ka pohybovat vzh�ru k opa�n� nabit� desce
kondenz�toru, op�t konstantn� rychlost� $v_{E}$. Zm���me-li rychlost
kapi�ky v obou p��padech, m��eme z pohybov�ch rovnic (ozna��me $m$
hmotnost kapi�ky, $m'$ hmotnost objemu vytla�en�ho vzduchu, $\sigma $
hustotu oleje, $\rho $ hustotu vzduchu)
\begin{displaymath}
F_{g}\;=\;mg-m'g-6\pi \eta rv_{g}\;=\;0\;,\qquad F_{E}\;=\;qE-mg+m'g-6\pi
\eta rv_{E}\;=\;0
\end{displaymath}
ur�it polom�r kapi�ky (obt�n� m��iteln�) a jej� n�boj:
\begin{displaymath}
r\;=\;3\sqrt{\frac{\eta v_{g}}{2(\sigma -\rho )g}}\;,\qquad q\;=\;
\frac{6\pi \eta r}{E}(v_{g}+v_{E})\;.
\end{displaymath}
Statistick�m prom��ov�n�m mnoha kapi�ek zjist�me, �e jejich n�boje
nejsou rozlo�eny spojit�, �e jsou cel�mi n�sobky nejmen��ho,
element�rn�ho n�boje. Typick� hodnoty pozorovan� Millikanem byly:
$r=2-4\;\mu m,\;E=10^{4}-10^{5} \hbox{V.m}^{-1},\;v\approx
0,1\;\hbox{mm.s}^{-1}$. Pro element�rn� n�boj Millikan dostal
$e\;=\;(1,591\pm 0,003).10^{-19}$ C. Jeho kapi�ky nesly 5 - 25
elektron�.
I kdy� Millikan�v experiment byl pozd�ji r�zn� zdokonalov�n, jeho
p�esnost nen� p��li� vysok�. Jinou mo�nost, jak ur�it element�rn�
n�boj poskytuje elektrol�za. M��en�m proudu a doby m��eme ur�it n�boj
p�enesen� ionty v elektrolytu. Jde-li o jednovazn� ionty (nap�.
$\hbox{Ag}^{+}$), potom k vylou�en� jednoho molu st��bra je zapot�eb�
takzvan�ho {\em Faradayova n�boje}
$F\;=\;9,649.10^{4}\;\hbox{C.mol}^{-1}$. Element�rn� n�boj pak
z�sk�me, d�l�me-li Faraday�v n�boj Avogadrovou konstantou:
\begin{equation} \label{elem}
e\;=\;\frac{F}{N_{A}}\;=\;1,602.10^{-19}\;\hbox{C}\;.
\end{equation}
Existuje �ada pom�rn� p�esn�ch metod umo��uj�c�ch m��it takzvan� m�rn�
n�boj ��stic, tj. pom�r n�boje a hmotnosti ��stice; jde nap��klad o
pozorov�n� pohybu nabit�ch ��stic v elektrick�ch a magnetick�ch
pol�ch. Pro elektron dost�v�me m�rn� n�boj
$\frac{q_{e}}{m_{e}}=-1,759.10^{11}~ \hbox{C.kg}^{-1}$. Pak m��eme ze
znalosti n�boje ��stice ur�it jej� hmotnost a naopak.
Nabit� ��stice mohou b�t rozlo�eny s velkou hustotou tak, �e se n�boj
m��e jevit spojit�m. Ve skute�nosti ov�em jak p�edstava o soustav�
bodov�ch n�boj�, tak o spojit� rozlo�en�m n�boji jsou pouh�mi
abstrakcemi, modely v�ce �i m�n� vystihuj�c�mi skute�n� stav. Jsou-li
n�boje rozlo�eny v prostoru a je-li v dan�m objemu $V$ celkov� n�boj
$q=\sum_{\alpha =1}^{n} q_{\alpha }$, m��eme definovat st�edn� hustotu
n�boje v tomto objemu jako $\bar \rho =\frac{q}{V}$. Zvol�me-li v
okol� dan�ho bodu o sou�adnic�ch $x,y,z$ mal� objem $\Delta V$, kter�
obsahuje n�boj $\Delta q$, a budeme jej kolem tohoto bodu stahovat,
m��eme definovat {\em objemovou hustotu n�boje} vztahem
\begin{equation} \label{hust}
\rho\;=\;\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta q}{\Delta V}\;.
\end{equation}
Tento vztah b�v� n�kdy zapisov�n jako derivace $\frac{dq}{dV}$; nen�
to v�ak korektn�, nebo� ve skute�nosti nezn�me funk�n� vztah $q(V)$.
Naproti tomu celkov� n�boj v dan�m objemu $V$ m��eme vyj�d�it jako
\begin{equation} \label{husti}
q\;=\;\int_{V}\rho (x,y,z)\;dV\;.
\end{equation}
Tak� tento vztah m��eme pova�ovat za definici objemov� hustoty n�boje.
Jak uvid�me, v�echny veli�iny a vztahy m��eme vyjad�ovat bu� ve form�
integr�ln� (v�z�ny na n�jak� objem, plochu �i k�ivku) nebo
diferenci�ln� (jako funkce sou�adnic dan�ho bodu). S tohoto hlediska
je n�boj veli�ina integr�ln� a objemov� hustota n�boje odpov�daj�c�
veli�ina diferenci�ln�. M���me ji z�ejm� v $\hbox{C.m}^{-3}$. Vedle
objemov� hustoty n�boje m��eme zav�st {\em plo�nou hustotu n�boje}
$\sigma $ a {\em line�rn� hustotu n�boje} $\tau $, nahrad�me-li
objemov� integr�l v (\ref{husti}) integr�lem plo�n�m nebo k�ivkov�m.
Plo�nou hustotu pak m���me v $\hbox{C.m}^{-2}$, line�rn� v
$\hbox{C.m}^{-1}$.
Elektrick� n�boje se projevuj� pouze sv�m silov�m p�soben�m; to ov�em
znamen�, �e p�i jejich vz�jemn�m p�emis�ov�n� je t�eba konat pr�ci.
Uva�ujme n�jakou soustavu bodov�ch n�boj� rozm�st�n�ch v dan�ch bodech
prostoru a ptejme se, jak tato soustava vznikla. M��eme si
p�edstavovat, �e n�boje byly p�vodn� vzd�leny v nekone�nu a postupn�
byly p�ibli�ov�ny do v�sledn�ch poloh. Vn�j�� s�ly p�itom konaly
pr�ci - kladnou, pokud p�ekon�valy odpudiv� s�ly mezi n�boji,
z�pornou, pokud p�sobily proti p�ita�liv�m sil�m n�boj�.
Coulombova s�la mezi dv�ma n�boji, podobn� jako Newtonova s�la
gravita�n�, m��e b�t vyj�d�ena jako z�porn� vzat� gradient potenci�ln�
energie $W$
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\frac{q_{1}q_{2}}{r_{21}}\;.
\end{displaymath}
Tato energie z�vis� pouze na velikostech obou n�boj� a jejich
vzd�lenosti a nikoli na tom, po jak� dr�ze byl druh� n�boj k prvn�mu z
nekone�na p�ibli�ov�n. Coulombovy s�ly jsou, podobn� jako s�ly
gravita�n�, konzervativn�.
Budeme-li nyn� ke dv�ma n�boj�m p�ibli�ovat dal��, uplatn� se princip
superpozice a v�sledn� pr�ce nebude z�viset ani na po�ad� ani na dr�ze
po n� n�boje p�ibli�ujeme. Tato pr�ce vn�j��ch sil p�edstavuje tedy
celkovou {\em elektrostatickou energii soustavy}, kter� m� charakter
energie potenci�ln� (je funkc� vzd�lenost�) a m��eme ji zapsat ve
tvaru dvojn�sobn� sumy
\begin{equation} \label{energ}
W\;=\;\frac{1}{2}~\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~
\sum_{\alpha ,\beta =1,\beta \ne \alpha}^{N}
\frac{q_{\alpha }q_{\beta }}{r_{\alpha \beta }}\;.
\end{equation}
Koeficient 1/2 je uveden z toho d�vodu �e v sum� je ka�d� dvojice
n�boj� zapo�tena dvakr�t.
Uvedeme vlastnosti n�kter�ch konkretn�ch n�bojov�ch soustav.
\vspace*{3mm}
1. \underline{Rovnov�ha soustavy bodov�ch n�boj�} \\
Existuj� takov� zp�soby rozm�st�n� bodov�ch n�boj�, �e v�echny n�boje
jsou v rovnov�ze, tj. p�sob� na n� nulov� v�sledn� s�la. Um�st�me
nap��klad $n$ stejn�ch n�boj� $q$ symetricky po obvodu kru�nice a
um�st�me do st�edu kru�nice n�boj $q_{0}$. K dosa�en� rovnov�hy mus�me
z�ejm� volit pro
\begin{displaymath}
n\;=\;2~~~~~~~~~~q_{0}\;=\;-\frac{q}{4}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
n\;=\;3~~~~~~~~q_{0}\;=\;-\frac{q}{\sqrt{3}}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
~~~~~~~~~n\;=\;4~~~~~~~q_{0}\;=\;-\frac{2\sqrt{2}+1}{4}\;q\;.
\end{displaymath}
M��eme ov��it, �e ve v�ech t�chto p��padech bude elektrostatick�
energie rovna nule. D�le�it� je ov�em ot�zka, zda rovnov�ha t�chto
soustav je stabiln� �i labiln�. P�itom mus�me uva�ovat mal� vych�len�
n�boj� z jejich rovnov�n�ch poloh a zji��ovat, zda s�ly ostatn�ch
n�boj� budou v�chylku d�le zv�t�ovat nebo zda budou vracet n�boj do
rovnov�n� polohy. M��eme t� zjistit, zda potenci�ln� energie jako
funkce takov� v�chylky m� maximum �i minimum. T�mto zp�sobem ov���me,
�e rovnov�ha soustavy bodov�ch n�boj� je {\em v�dy nestabiln�} a �e
n�boje nelze udr�ovat ve stabiln� rovnov�ze �ist� elektrostatick�mi
silami. Toto tvrzen� je obsahem tzv. {\em Earnshawovy v�ty} a pozd�ji
je zd�vodn�me obecn�. \vspace*{3mm}
2. \underline{Elektrostatick� energie line�rn�ho krystalu} \\
M�jme nekone�nou �adu bodov�ch n�boj� st��dav� kladn�ch a z�porn�ch,
t�e velikosti (nap��klad rovn� element�rn�mu n�boji) rozlo�en�ch
pod�l p��mky ve vz�jemn�ch vzd�lenostech $a$. Takov�mu uspo��d�n�
n�kdy ��k�me line�rn� krystal. Snadno ur��me elektrostatickou energii
p�ipadaj�c� na jeden n�boj:
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}~2\left( -1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+
\cdots \right) \;=\;-2\ln 2\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}\;=\;
-\frac{\alpha e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}
\;=\;-2,30.10^{-28}~\frac{\alpha }{a}\;.
\end{displaymath}
Jako $\alpha $ jsme zde ozna�ili veli�inu $\alpha = 2\ln 2=1.386$
naz�vanou Madelungova konstanta, ��du jednotky. Polo��me-li $a$ rovn�
��dov� typick� vzd�lenosti iont� v krystalu $10^{-10}$m, vid�me, �e
energie na jeden n�boj je z�porn� a ��dov� velikosti $10^{-18}$ joul�.
Rovnov�ha line�rn�ho krystalu v��i p���n�mu vych�len� je stabiln�,
v��i pod�ln�mu nestabiln�. \vspace*{3mm}
3. \underline{Prostorov� iontov� krystal}\\
Iontov� krystaly p�edstavuj� prostorov� uspo��d�n� elektrick�ch
n�boj�. Uva�me nap��klad element takov�ho krystalu v podob� krychle o
hran� $a$, v jej�ch� roz�ch jsou rozm�st�ny z�porn� element�rn� n�boje
a v jej�m� centru le�� kladn� element�rn� n�boj. Elektrostatick�
energie takov�ho krystalu bude
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}~\left( 12+\frac{12}{\sqrt{2}}+
\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{16}{\sqrt{3}}\right) =
\frac{\alpha e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a},~~\alpha =13.6\;.
\end{displaymath}
V�po�et energie prostorov�ho krystalu p�ipadaj�c� na jeden iont
vy�aduje po��ta�. V�sledn� energie je z�porn� a li�� se od energie
line�rn�ho krystalupouze hodnotou Madelungovy konstanty. Tak pro
krystal chloridu sodn�ho dost�v�me $\alpha =1.747$, pro oxid zine�nat�
$\alpha =1.638$ atd. Z�porn� energie iontov�ho krystalu s klesaj�c�m
$a$ kles� a krystal m� tedy tendenci se zhroutit. Jeho stabilitu tedy
mus� zaji��ovat jin� ne� elektrostatick� s�ly. \vspace*{3mm}
4. \underline{Kulov� symetrick� spojit� rozlo�en� n�boj}\\
Uva�me objemov� nabitou kouli polom�ru $R$ o n�bojov� hustot� $\rho$.
Energie takov�ho spojit�ho uspo��d�n� n�boje se mus� rovnat pr�ci
vynalo�en� na jeho vytvo�en�. P�edstavme si, �e jsme kouli vytv��eli
tak jako se lep� sn�hov� koule; ke kulov�mu n�boji polom�ru $r$ jsme
v�dy p�id�vali dal�� kulovou slupku tlou��ky $dr$. Proto�e kulov�
n�boj se navenek chov� jako bodov� n�boj um�st�n� v centru, m��eme
pr�ci vynalo�enou na p�id�n� dal�� slupky p�irovnat energii dvou
bodov�ch n�boj� ve vzd�lenosti $r$. Integrac� pak dostaneme
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{0}^{R}\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho
\frac{4\pi r^{2}\rho dr}{r}\;=\;
\frac{4\pi R^{5}\rho ^{2}}{15\varepsilon _{0}}\;=\;\frac{3}{5}~
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q^{2}}{R}\;,
\end{displaymath}
kde $Q$ je celkov� n�boj koule. Kdybychom pova�ovali nap��klad
elektron za takovou objemov� nabitou kouli, mohli bychom tuto energii
p�irovnat relativistick� klidov� energii ��stice $m_{e}c^{2}$ a ur�it
tak jej� polom�r. Pro elektron (s vynech�n�m koeficientu 3/5) najdeme
takzvan� "klasick� polom�r elektronu"
\begin{displaymath}
r_{e}\;=\;\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{e}c^{2}}\;=\;2,82.10^{-15}
\hbox{m}\;.
\end{displaymath}
P�esto�e takov� model elektronu je s hlediska modern� fyziky
neudr�iteln� (nen� tak� jasn�, kter� obrovsk� s�ly by mohly dr�et
takov� n�boj pohromad�), odpov�d� z�skan� polom�r p�ibli�n� rozm�r�m
element�rn�ch ��stic.
Pokud by uva�ovan� kulov� symetrick� n�boj byl plo�n�, m��eme jeho
energii ur�it op�t tak, �e k ��ste�n�mu plo�n�mu n�boji $Q'$, kter� se
chov� navenek jako bodov� n�boj v centru, p�id�v�me dal�� n�boj $dQ'$.
Oba n�boje te� z�st�vaj� ve st�l� vzd�lenosti $R$. Pak m�me
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{0}^{Q}\frac{Q'dQ'}{R}\;=\;
\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q^{2}}{R}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 2. Elektrostatick� pole} \vspace*{1cm}
Vra�me se k soustav� bodov�ch n�boj� $q_{1},\dots ,q_{N}$, kter�
v�echny p�sob� na zku�ebn� n�boj $q_{0}$ s�dl�c� v bod� o sou�adnic�ch
$x,y,z$. S�lu na n�boj $q_{0}$ vyj�d�enou vztahem (\ref{super})
m��eme zapsat takto:
\begin{equation} \label{pole}
\vec F_{0}\;=\;q_{0}\vec E(x,y,z),~~~\hbox{kde} ~~~\vec E=
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\sum_{\alpha =1}^{N}
\frac{q_{\alpha}}{r_{0\alpha }^{2}}~\vec r_{0\alpha }^{0}\;.
\end{equation}
Vektor $\vec E$, kter� jsme zavedli vztahem (\ref{pole}), se naz�v�
{\em intenzitou elektrostatick�ho pole} vytv��en�ho soustavou bodov�ch
n�boj�. M� fyzik�ln� v�znam s�ly p�sob�c� v dan�m bod� na jednotkov�
zku�ebn� n�boj a m��� se v jednotk�ch newton na coulomb, kterou
obvykle zapisujeme jako volt na metr ($\hbox{V.m}^{-1}$), kde voltem
rozum�me joule na coulomb. Vztah (\ref{pole}) n�m umo��uje ur�it s�lu
na dan� n�boj se strany ostatn�ch n�boj� tak, �e nejd��ve ur��me v
ka�d�m bod� intenzitu elektrostatick�ho pole (pak m��eme zapomenout na
n�boje, kter� toto pole vytv��ej�) a potom vyn�sob�me vektor intenzity
pole n�bojem v dan�m m�st�. Znalost rozlo�en� n�boj� a znalost
intenzity pole, kter� tyto n�boje vytv��ej� je ekvivalentn�.
M��e vzniknout ot�zka nakolik je elektrostatick� pole fyzik�ln�
re�ln�, nakolik vektor $\vec E(x,y,z)$ popisuje n�jak� fyzik�ln� stav
prostoru, v n�m� elektrostatick� s�ly p�sob�. V r�mci elektrostatiky
nelze tuto ot�zku zodpov�d�t, nebo� elektrostatick� pole se projevuje
pouze silov�m p�soben�m na zku�ebn� n�boj, a to m��eme popsat
ekvivalentn�m zp�sobem superpozic� Coulombov�ch sil se strany
ostatn�ch n�boj�. Jak uvid�me, teprve �asov� prom�nn�,
elektromagnetick� pole se projevuje jako nov� fyzik�ln� realita,
schopn� existovat mimo elektrick� n�boje, s vlastn� energi�, hybnost�
atd. Elektrostatick� pole pak m��eme ch�pat jako zvl�tn� p��pad
elektromagnetick�ho pole, nav�c matematicky vyst�edovan�, proto�e
re�ln� n�boje nejsou nikdy statick�.
Existuje v�hodn� zp�sob n�zorn�ho zobrazov�n� elektrostatick�ho pole
{\em silo�arami}. Jsou to k�ivky, jejich� te�na m� v ka�d�m bod� sm�r
s�ly p�sob�c� na kladn� jednotkov� zku�ebn� elektrick� n�boj a hustota
silo�ar je �m�rn� velikosti t�to s�ly. Mo�nost jejich zaveden� vypl�v�
z Coulombova z�kona. M�jme bodov� kladn� n�boj $q$ a definujme, �e z
n�ho vych�z� $N$ silo�ar; ty z�ejm� prob�haj� radi�ln� po p��mk�ch
vych�zej�c�ch z n�boje a jsou v prostoru rozd�leny izotropn�, se
stejnou hustotou ve v�ech sm�rech. Veli�ina $N$ tedy p�edstavuje
celkov� tok silo�ar vych�zej�c�ch z n�boje a prot�naj�c�ch kolmo
kulov� plochy polom�ru $r$ se st�edem v bod�, kde je um�st�n n�boj.
Hustota toku silo�ar, tj. po�et silo�ar proch�zej�c�ch kolmo
jednotkovou plochy bude $\frac{N}{4\pi r^{2}}$. Budeme-li normovat
hustotu toku silo�ar tak, �e jej p�irovn�me velikosti intenzity
elektrick�ho pole, dostaneme
\begin{displaymath}
\frac{N}{4\pi r^{2}}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\;\frac{q}{r^{2}}\;,
\end{displaymath}
a tedy
\begin{displaymath}
N\;=\;\frac{q}{\varepsilon _{0}}\;.
\end{displaymath}
M��eme tedy ��ci, �e z ka�d�ho kladn�ho n�boje vych�z� pr�v�
$\frac{q}{\varepsilon _{0}}$ silo�ar a do z�porn�ho n�boje stejn�
po�et silo�ar vstupuje. Krom� toho mohou silo��ry tak� odch�zet nebo
p�ich�zet z nekone�na. Proto�e plat� z�kon zachov�n� n�boje a veli�ina
$q$ se nem�n� ani za pohybu, m��eme postulovat �e celkov� po�et
silo�ar vych�zej�c� z elektrick�ho n�boje se zachov�v� a nem�n� se ani
p�i pohybu n�boje. Pro pohybuj�c� se n�boje nebude ov�em u� platit
Coulomb�v z�kon a silo��ry se mohou v prostoru r�zn� zhu��ovat a
zak�ivovat, ale ��dn� se nem��e ztratit ani vzniknout. M��eme ��ci, �e
silo��ry jsou jak�si "vlasy" elektrick�ho n�boje, kter� maj� tu
vz�cnou vlastnost, �e principi�ln� nemohou vypad�vat. Na obr. 2.3
vid�me rozlo�en� silo�ar bodov�ch n�boj� a dvojic n�boj� stejn�ho a
opa�n�ch znamen�.
\begin{figure}
\vspace*{8cm}
\centerline{obr. 2.3} \vspace*{1cm}
\end{figure}
N�zorn� pojem silo��ry ov�em ani nemus�me zav�d�t. Sta�� definovat
integr�ln� veli�inu {\em tok intenzity elektrick�ho pole} plochou $S$
vztahem
\begin{equation} \label{tokE}
\Phi \;=\; \int_{S}\vec E\cdot d\vec S\;.
\end{equation}
Tento tok je skal�rn� veli�ina a m��� se v jednotk�ch volt kr�t metr
(V.m). Hustota toku, tj. intenzita elektrick�ho pole je pak
odpov�daj�c� veli�inou diferenci�ln� a je to vektor. Tok vektoru malou
rovinnou plo�kou je z�ejm� maxim�ln�, je-li rovnob�n� s norm�lou k
t�to plo�ce a nulov�, je-li k t�to norm�le kolm�; to pr�v� vyjad�uje
skal�rn� sou�in v integr�lu (\ref{tokE}).
Ur��me nyn� tok intenzity elektrick�ho pole uzav�enou plochou
obklopuj�c� bodov� kladn� n�boj. P�ijmeme p�itom dohodu, �e tok
vyt�kaj�c� z objemu uzav�en�ho plochou budeme pova�ovat za kladn�, tok
vt�kaj�c� za z�porn�. Je-li tato plocha kulov� a n�boj $q$ v jej�m
st�edu, m�me z�ejm�
\begin{displaymath}
\Phi \;=\;\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~
\frac{q}{r^{2}}~\oint_{S}dS\;=\;\frac{q}{\varepsilon _{0}}\;.
\end{displaymath}
Bude-li plocha obklopuj�c� n�boj obecn�ho tvaru (obr. 2.4), m��eme
uvnit� t�to plochy v�st plochu kulovou se st�edem v n�boji a uk�zat,
�e toky ob�ma t�mito plochami jsou stejn�.
\begin{figure}
\vspace*{8cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.4 \hspace*{6cm} obr. 2.5 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Vedeme-li ku�elovou plochu s mal�m vrcholov�m �hlem, kter� vytne na
kulov� plo�e plo�ku $dS'$ a na obecn� plo�e plo�ku $dS$, budou toky
t�mito plo�kami $d\Phi '=E(r)\;dS'$ a $d\Phi =E(R)\;dS\cos \theta $.
P�itom v�ak intenzity pole jsou v p�evr�cen�m pom�ru �tverc�
vzd�lenost� a velikosti plo�ek v pom�ru
$\frac{dS'}{dS}=\frac{r^{2}\cos \theta }{R^{2}}$. M�me tedy $d\Phi '=
d\Phi $. N�zorn� je z�ejm�, �e ka�d� silo��ra, kter� protne my�lenou
kulovou plochu, protne i obklopuj�c� plochu obecn�ho tvaru. Tento
z�v�r bude platit i tehdy, nebudou li silo��ry rozd�leny v prostoru
izotropn� a dokonce i budou-li zak�iveny. D�kaz lze snadno roz���it na
p��pad nebude-li plocha konvexn� (silo��ra protne plochu v�cen�sobn�)
a bude-li n�boj le�et vn� plochy; v tomto p��pad� bude z�ejm� tok
nulov�. M��eme to zd�vodnit i podle obr. 2.5. Le��-li n�boj mimo
plochu $S$, obklop�me jej op�t my�lenou kulovou plochou $S'$, kter� se
plochy $S$ t�sn� dot�k� a propoj�me ob� plochy mal�m spojovac�m
kan�lkem. N�boj te� le�� uvnit� spojen� plochy $S+S'$ a tok touto
plochou je $\Phi=\frac{q}{\varepsilon _{0}}$. Tento tok v�ak p�ipad�
cel� na kulovou plochu $S'$, tak�e tok plochou $S$ je nulov�.
Bude-li uvnit� uzav�en� plochy v�ce n�boj�, m��eme pou��t princip
superpozice a zformulovat obecn� {\em Gauss�v z�kon}:
{\em Tok intenzity elektrick�ho pole libovolnou uzav�enou plochou je
roven celkov�mu n�boji obklopen�mu touto plochou d�len�mu
$\varepsilon _{0}$.}
Matematicky m��eme Gauss�v z�kon zapsat pro p��pad bodov�ch n�boj� a
spojit� rozlo�en�ch n�boj� takto:
\begin{equation} \label{Gauuu}
\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S\;=\;\frac{1}{\varepsilon _{0}}~\sum_{\alpha }
q_{\alpha }\;=\;\frac{1}{\varepsilon _{0}}~\int_{V}\rho dV\;.
\end{equation}
Gauss�v z�kon jsme sice odvozovali pro pole elektrostatick�, ale
proto�e se velikost n�boje a tedy i celkov� tok silo�ar vyj�d�en� jako
tok intenzity elektrick�ho pole nem�n� ani jsou-li n�boje v pohybu,
m��eme p�edpokl�dat, �e Gauss�v z�kon plat� zcela obecn� i pro
pohybuj�c� se n�boje a �asov� prom�nn� elektrick� pole. Je to jeden z
nejobecn�j��ch p��rodn�ch z�kon� a ve zvl�tn�m p��pad� statick�ch
bodov�ch n�boj� z n�ho plyne z�kon Coulomb�v.
Podstatn�m tvrzen�m Gaussova i Coulombova z�kona je, �e intenzita
elektrostatick�ho pole bodov�ho n�boje kles� se �tvercem vzd�lenosti.
Uk�eme, �e toto tvrzen� je ekvivalentn� skute�nosti, �e {\em na
vnit�n�m povrchu dut�ch vodi�� nejsou elektrick� n�boje.} P�edstavme
si tenkost�nnou dutou vodivou kouli nabitou elektrick�m n�bojem.
Proto�e n�boje se mohou v objemu vodi�e voln� pohybovat, rozm�st� se
na povrchu vodi�e takov�m zp�sobem, aby elektrostatick� pole uvnit�
vodi�e bylo nulov�. Kdyby tomu tak nebylo, nastal by dal�� pohyb
n�boj� ve vodi�i a museli bychom vy�kat, a� se rozlo�en� n�boj�
ust�l�. Vzhledem ke kulov� symetrii m��eme d�le o�ek�vat, �e rozlo�en�
n�boj� bude rovn� kulov� symetrick�, s plo�nou hustotou $\sigma $.
Vyjdeme-li z p�edpokladu, �e plat� Gauss�v z�kon, m��eme v�st uvnit�
vodi�e my�lenou kulovou Gaussovu plochu. Tok intenzity elektrick�ho
pole touto plochou bude roven nule, a tedy i n�boj uvnit� mus� b�t
nulov�. Znamen� to, �e na vnit�n�m povrchu vodi�e nebudou n�boje.
Potom i intenzita elektrostatick�ho pole v cel� dutin� bude rovna
nule.
Zp�tn� vyjdeme z p�edpokladu, �e pole uvnit� dutiny je nulov�. V
ka�d�m bod� dutiny m��eme v�st dvojku�el s vrcholem v tomto bod� tak,
�e n�m vytne na opa�n�ch konc�ch kulov� plo�ky $\Delta S,\;\Delta S'$
(viz obr. 2.6). Prostorov� �hel vymezen� ku�elovou plochou ozna��me
$\Delta \Omega$. Nabit� plo�ky m��eme pova�ovat za bodov� n�boje o
velikosti $\sigma \Delta S, \sigma \Delta S'$. P�edpokl�dejme d�le, �e
pole bodov�ho n�boje kles� se vzd�lenost� jako nezn�m� funkce $f(r)$.
Podle principu superpozice vytv��� vybran� dvojice plo�ek v bod� $A$
pole o velikosti $E=k\sigma [\Delta S f(r_{1})-\Delta S'f(r_{2})]$.
Proto�e v�ak cel� povrch koule m��eme takto pokr�t dvojicemi plo�ek
vy�at�mi �zk�mi ku�el�ky, mus� b�t v ka�d�m p��pad� p��sp�vek takov�ch
dvojic bodov�ch n�boj� roven nule. Mus� tedy platit
\begin{displaymath}
\frac{f(r_{1})}{f(r_{2})}\;=\;\frac{\Delta S'}{\Delta S}\;=\; \left(
r_{2}^{2}\frac{\Delta \Omega }{\cos \theta}\right) : \left( r_{1}^{2}
\frac{\Delta \Omega}{\cos \theta }\right) \;=\;\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}\;.
\end{displaymath}
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.6 \hspace*{6cm} obr. 2.7 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Vid�me tedy, �e nezn�m� funkce $f$ kles� se �tvercem vzd�lenosti.
Experiment�ln� ov��ov�n� skute�nosti, �e na vnit�n�m povrchu vodi��
nejsou n�boje je mo�no prov�d�t s velkou p�esnost� a ov��ovat tak
Coulomb�v, resp. Gauss�v z�kon (obr. 2.7). Na tomto principu je
zalo�en van de Graaff�v elektrostatick� gener�tor (obr. 2.8).
\vspace*{11cm}
\centerline{obr. 2.8} \vspace{1cm}
Ze st��dav�ho zdroje se p�es usm�r�ova� nab�j� nekone�n� p�s z
pogumovan�ho hedv�b�; p�s se pohybuje rychlost� n�kolika des�tek metr�
za sekundu. N�boj se tak p�en�� na vnit�n� povrch velk� dut� vodiv�
koule a odtud se s�m okam�it� p�emis�uje ne vn�j�� povrch. Tak lze
kouli nab�t zna�n�m n�bojem na potenci�l n�kolika milion� volt�.
Gauss�v z�kon (\ref{Gauuu}) m��eme pomoc� Gaussovy v�ty vektorov�
anal�zy vyj�d�it i v diferenci�ln�m tvaru. Plat�
\begin{displaymath}
\Phi \;=\;\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S\;=\;\frac{1}{\varepsilon_{0}}~
\int_{V}\rho ~dV\;=\;\int_{V}\hbox{div}\vec E~dV\;.
\end{displaymath}
Vzhledem k tomu, �e rovnost t�chto dvou objemov�ch integr�l� mus� b�t
spln�na pro libovoln� objem, mus� se rovnat i integrovan� funkce.
Vedle toho z podm�nky konzervativnosti elektrostatick�ho pole a s
pou�it�m Stokesovy v�ty m�me
\begin{displaymath}
\Gamma \;=\;\oint_{l}\vec E\cdot d\vec l\;=\;\int_{S}\hbox{rot}\vec E\cdot
d\vec S\;=\;0\;.
\end{displaymath}
Dost�v�me tak soustavu {\em Maxwellov�ch rovnic} pro elektrostatick�
pole:
\begin{equation} \label{Mastat}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon _{0}} ~~~~~~~~~~~
\hbox{rot}~\vec E\;=\;0\;.
\end{equation}
Prvn� z t�chto rovnic je tedy vlastn� Gauss�v z�kon v diferenci�ln�m
tvaru a naz�v� se t� rovnic� Poissonovou. Druh� rovnice vyjad�uje, �e
elektrostatick� pole je potenci�ln� a umo��uje zav�st skal�rn�
elektrostatick� {\em potenci�l}~ $\varphi (x,y,z)$ vztahem
\begin{equation} \label{skpo}
\vec E\;=\;-\nabla \varphi \;.
\end{equation}
Znam�nko u gradientu potenci�lu bylo zvoleno tak, aby {\em potenci�ln�
rozd�l}
\begin{displaymath}
\varphi _{21}\;=\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;=\;\int_{1}^{2}d\varphi \;=\;
-\int_{1}^{2}\vec E\cdot d\vec l
\end{displaymath}
vyjad�oval pr�ci vn�j��ch sil p�i p�emis�ov�n� jednotkov�ho
elektrick�ho n�boje proti sil�m pole. Je-li tato pr�ce kladn�, zvy�uje
potenci�l n�boje.
Naproti tomu zav�d�me veli�inu opa�nou potenci�ln�mu rozd�lu, kter�
vyjad�uje pr�ci sil pole a naz�v� se {\em nap�t�}:
\begin{displaymath}
U\;=\;\varphi _{1}-\varphi _{2}\;=\;\int_{1}^{2}\vec E\cdot d\vec l\;.
\end{displaymath}
Potenci�l je ur�en s p�esnost� na aditivn� konstantu a nulov�
potenci�l m��eme volit kdekoli. Jsou-li v�echny n�boje rozm�st�ny v
kone�n� oblasti prostoru, m��eme zvolit nulov� potenci�l v nekone�nu.
Potom
\begin{displaymath}
\varphi \;=\;-\int_{\infty }^{A(x,y,z)}\vec E\cdot d\vec l\;.
\end{displaymath}
Je z�ejm�, �e v�echny t�i veli�iny, potenci�l, potenci�ln� rozd�l a
nap�t� maj� t�� fyzik�ln� rozm�r a m��� se v t�ch� jednotk�ch joule na
coulomb, kterou naz�v�me volt (V).
Zaveden�m skal�rn�ho potenci�lu je nyn� druh� z rovnic (\ref{Mastat})
spln�na automaticky a dosazen�m do prvn� z nich dost�v�me
\begin{displaymath}
\hbox{div}\vec E\;=\;-\hbox{div~grad}\varphi \;=\;-\Delta \varphi\;=\;
\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\;,
\end{displaymath}
neboli
\begin{equation} \label{L-P}
\Delta \varphi \;=\;-\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\;.
\end{equation}
Tato rovnice se naz�v� {\em Laplaceova~-~Poissonova}.
V t� ��sti prostoru, kde je hustota n�boj� nulov�, mus� potenci�l
spl�ovat {\em Laplaceovu rovnici}
\begin{equation} \label{LLL}
\Delta~\varphi \;=\;0\;,
\end{equation}
s p��slu�n�mi okrajov�mi (hrani�n�mi) podm�nkami. Funkce, kter�
vyhovuj� Laplaceov� rovnici se naz�vaj� harmonick� a maj� celou �adu
zaj�mav�ch vlastnost�. Jednu z nich vyjad�uje tzv. "v�ta o st�edn�
hodnot� potenci�lu". Podle n� je {\em hodnota potenci�lu ve st�edu
kulov� plochy rovna st�edn� hodnot� potenci�lu na t�to plo�e}.
M��eme se o tom p�esv�d�it jednoduchou fyzik�ln� �vahou. M�jme v
n�jak�m m�st� n�boj $q$, kter� vyvol�v� v bod� $A$ potenci�l $\varphi
$. P�ivedeme-li do bodu $A$ z nekone�na n�boj $q'$ , potom energie
takto vznikl� soustavy bude rovna $q'\varphi $. N�boj $q'$ se v�ak
navenek chov� stejn�, jako kdyby byl rovnom�rn� rozprost�en na kulov�
plo�e se st�edem v $A$, kde n�boj $q$ bud� st�edn� hodnotu potenci�lu
$\bar \varphi $. Je tedy $q'\varphi = q'\bar \varphi $. Z v�ty o
st�edn� hodnot� potenci�lu nap��klad plyne, �e v m�st�, kde nejsou
n�boje, nem��e m�t potenci�l minimum a elektrostatick� pole tak nem��e
udr�ovat vlo�en� n�boj ve stabiln� rovnov�ze ({\em Earnshawova v�ta}).
Je-li potenci�l na hranici n�jak� oblasti nulov�, nem��e m�t nikde v
t�to oblasti extr�m a mus� zde b�t tud� v�ude roven nule.
V kart�zsk�ch sou�adnic�ch m��eme Laplaceovu rovnici zapsat jako
\begin{displaymath}
\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\;+\;
\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\;+\;
\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\;=\;0\;.
\end{displaymath}
Odtud je rovn� z�ejm�, �e potenci�l nem��e m�t extr�my - v takov�m
m�st� by v�echny druh� parci�ln� derivace musely b�t bu� kladn� nebo
z�porn�.
Potenci�l elektrostatick�ho pole bodov�ho n�boje je z�ejm�
\begin{equation} \label{potb}
\varphi \;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{\infty }^{r}\frac{q}{r^{2}}
dr\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{q}{r}\;.
\end{equation}
Soustava $N$ bodov�ch n�boj� tak vytvo�� v bod� o sou�adnic�ch $x,y,z$
potenci�l
\begin{equation} \label{potbb}
\varphi (x,y,z)\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\sum_{\beta }
\frac{q_{\beta }}{r_{\beta }}\;.
\end{equation}
Pomoc� (\ref{potbb}) m��eme zapsat energii soustavy bodov�ch n�boj�
(\ref{energ}) jako
\begin{equation} \label{energo}
W\;=\;\frac{1}{2}~\sum_{\alpha =1}^{N}q_{\alpha }\varphi _{\alpha }
\end{equation}
($\varphi _{\alpha }$ je potenci�l vytv��en� v�emi ostatn�mi n�boji v
m�st�, kde s�dl� n�boj $q_{\alpha }$). Je-li n�boj rozlo�en spojit� v
objemu $V$, p�ejde suma v (\ref{energo}) na integr�l a s pou�it�m
Laplaceovy - Poissonovy rovnice a Gaussova z�kona m��eme vyj�d�it
energii v tomto objemu jako
\begin{displaymath}
W_{V}\;=\;\frac{1}{2}\int_{V}\rho \varphi dV\;=\;-\frac{\varepsilon _{0}}{2}
\int_{V}\varphi \Delta \varphi dV\;=\;-\frac{\varepsilon _{0}}{2}\left[
\int_{V}\hbox{div}(\varphi \nabla \varphi)dV-\int_{V}(\nabla \varphi )^{2}dV
\right]\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
-\frac{\varepsilon _{0}}{2}\left[ \oint_{S}(\varphi \nabla
\varphi )dS-\int_{V}(\nabla \varphi)^{2}dV\right]\;.
\end{displaymath}
Plochu $S$ ohrani�uj�c� objem $V$ m��eme nyn� rozp�nat do nekone�na;
p�itom bude integrand v plo�n�m integr�lu klesat jako $\frac{1}{r}$ a
v nekone�nu tento integr�l vymiz�. Zb�v� tedy objemov� integr�l, kter�
se nyn� rozprost�e na cel� prostor:
\begin{equation} \label{energp}
W\;=\;\frac{\varepsilon _{0}}{2}\int_{\infty }E^{2}dV\;=\;\int_{\infty }wdV~.
\end{equation}
Zde jsme ozna�ili {\em hustotu energie elekrostatick�ho pole}
\begin{equation} \label{hustp}
w\;=\;\frac{\varepsilon _{0}E^{2}}{2}\;.
\end{equation}
Energii prostorov� rozlo�en�ch statick�ch n�boj� m��eme tedy vyj�d�it
bu� pomoc� n�boj� a jejich vzd�lenost� nebo na z�klad� znalosti jimi
vyztv��en�ho elektrostatick�ho pole; oba zp�soby jsou matematicky
ekvivalentn�. Hustotu energie {\em elektrostatick�ho} pole nem��eme v
prostoru nijak zjistit, fyzik�ln� v�znam m� pouze celkov� energie
soustavy dan� integr�lem (\ref{energp}).
Zab�vejme se nyn� �lohou ur�it elektrostatick� pole a potenci�l dan�ho
rozlo�en� elektrick�ch n�boj�. Nech� tyto n�boje jsou rozlo�eny v
objemu $V$ a my m�me ur�it pole a potenci�l v bod� $A$ o polohov�m
vektoru $\vec r$. Podle principu superpozice m��eme objem $V$
rozd�lit na mal�, bodov� n�boje $\rho dV$ s polohov�mi vektory $\vec
r'$. Ozna�me d�le vektor pr�vodi�e dan�ho bodov�ho n�boje s bodem $A$
jako $\vec R=\vec r-\vec r'$ (viz obr. 2.9).
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 2.9} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Intenzitu elektrostatick�ho pole a potenci�l pak najdeme integrov�n�m
\begin{equation} \label{vypoc}
\vec E(x,y,z)\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{V}
\frac{\rho (x',y',z')\vec R~dV}{R^{3}}\;,~~~~~\varphi (x,y,z)\;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{V}\frac{\rho (x',y',z')~dV}{R}\;.
\end{equation}
Je-li n�boj rozlo�en plo�n� nebo line�rn�, nastoup� m�sto objemov�ch
integr�l� a hustot integr�ly a hustoty plo�n�, resp. line�rn�.
Je ot�zka, zda integr�ly (\ref{vypoc}) budou poskytovat kone�n� a
spojit� hodnoty, zejm�na v tomto p��pad�, bude-li bod $A$ le�et uvnit�
objemu $V$. Potom toti� bude ve jmenovateli integrovan� funkce nula a
integr�l m��e, ale nemus� konvergovat. Z obecn� teorie potenci�lu
vypl�v� pro objemov�
rozlo�en� n�boj�:\\
1. Je-li funkce $\rho $ kone�n� a dostate�n� hladk� uvnit� objemu $V$,
bude pole $\vec E$ {\em v�ude} kone�n� a spojit� a potenci�l $\varphi
$
bude m�t nav�c i parci�ln� derivace alespo� prvn�ho ��du.\\
2. Je-li n�boj rozlo�en plo�n� s hustotou $\sigma $, nen� na nabit�
plo�e intenzita pole definov�na a potenci�l zde nem� derivaci. P�i
pr�chodu touto plochou z�st�vaj� te�n� slo�ky intenzity pole spojit�,
zat�mco norm�lov� se
m�n� skokem o $\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}$.\\
Uveden� hrani�n� podm�nky na nabit� plo�e snadno z�sk�me z Gaussovy a
Stokesovy v�ty. P�edstav�me-li si n�zk� v�lcov� objem t�sn�
p�imykaj�c� k t�to plo�e, s osou ve sm�ru norm�ly, potom m��eme
zanedbat tok pole pl�t�m a uva�ovat jen tok podstavami $\Delta S$. Z
Gaussova z�kona pak m�me
\begin{displaymath}
(E_{1n}-E_{2n})~\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}\;.
\end{displaymath}
Vedeme-li uzav�enou k�ivku tak, �e dv� jej� v�tve d�lky $\Delta l$
proch�zej� t�sn� pod�l obou stran plochy, dostaneme ze Stokesovy v�ty
\begin{displaymath}
(E_{1t}-E_{2t})~\Delta l=0\;.
\end{displaymath}
Na nabit� plo�e je tedy potenci�l spojit� a pro norm�lov� a te�n�
slo�ky intenzity pole plat�
\begin{equation} \label{hran}
\hbox{Div}~\vec E=E_{1n}-E_{2n}=\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}\;,~~~~
|\hbox{Rot}~\vec E|=E_{1t}-E_{2t}=0\;.
\end{equation}
P�i v�po�tu intenzity pole m��eme tedy pou��t bu� p��mo prvn� z
integr�l� (\ref{vypoc}), nebo m��eme vypo��tat potenci�l (druh�
integr�l je skal�rn� a tedy jednodu���) a pak ur�it intenzitu ze
vztahu (\ref{skpo}). Pokud je rozlo�en� n�boj� symetrick�, m��e b�t
v�hodn�j�� pou��t p��mo Gauss�v z�kon. V p��pad� nepravideln�ho
rozlo�en� n�boje m��eme pou��t p�ibli�n� metody umo��uj�c� ur�it pole
v dosti velk� vzd�lenosti od n�boje; o n� pojedn�me v n�sleduj�c�m
odstavci.
Ur��me nyn� pole a potenci�ly n�kter�ch n�bojov�ch uspo��d�n�.
\vspace*{3mm}
1. \underline{Nabit� p��mka}\\
M�jme elektrick� n�boj rozlo�en� pod�l p��mky s konstantn� line�rn�
hustotou $\tau $ (obr. 2.10) a ur�eme intenzitu elektrostatick�ho pole
v bod� $A$ ve vzd�lenosti $r$ od p��mky.
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\centerline{obr. 2.10} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Uva�me p��sp�vky dvou n�bojov�ch element� $\tau dl$ le��c�ch ve stejn�
vzd�lenosti $l$ na ob� strany od paty kolmice spu�t�n� z bodu $A$ na
p��mku. Jejich vektorov� sou�et bude z�ejm� kolm� k p��mce a bude
m��it od p��mky, je-li n�boj kladn�. Jeho velikost m��eme jej zapsat
jako
\begin{displaymath}
dE=2\cos \alpha \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{\tau dl}{R^{2}}\;,
\end{displaymath}
kde
\begin{displaymath}
R=\frac{r}{\cos \alpha},~~~~l=r\hbox{tg}\alpha ,~~~~dl=
\frac{rd\alpha }{\cos ^{2}\alpha }\;.
\end{displaymath}
Po dosazen� a integraci m�me
\begin{equation} \label{primk}
E\;=\;\frac{\tau }{2\pi \varepsilon _{0}r}\int_{0}^{\pi /2}\cos \alpha ~
d\alpha \;=\;\frac{\tau }{2\pi \varepsilon _{0}r}\;.
\end{equation}
T�� v�sledek bychom dostali jednodu���m zp�sobem p��mo z Gaussova
z�kona. Na sm�r vektoru intenzity m��eme usoudit ze symetrie �lohy a
obklop�me-li ��st p��mky souos�m v�lcem o polom�ru podstavy $r$ a
libovoln� d�lky $L$, m�me pro tok intenzity pl�t�m v�lce
\begin{displaymath}
E.2\pi rL\;=\;\frac{1}{\varepsilon _{0}}\tau L\;,
\end{displaymath}
odkud ihned plyne (\ref{primk}). Pokud jde o potenci�l pole, m�me
\begin{equation} \label{primp}
\varphi \;=\;-\int_{\infty}^{r}E~dr\;=\;-\frac{\tau }{2\pi \varepsilon _{0}}
\ln r\;+\;\hbox{konst}\;.
\end{equation}
Integra�n� konstantu tentokr�t nem��eme vybrat tak, aby potenci�l v
nekone�nu byl nulov�. Je to pochopiteln�, nebo� jsme do nekone�na
um�stili elektrick� n�boje! Jinak m��eme tuto konstantu ov�em volit
libovoln�. \vspace*{3mm}
2. \underline{Nabit� rovina a rovinn� vrstva}
M�jme elektrick� n�boj rozlo�en� rovnom�rn� na rovin� s konstantn�
plo�nou hustotou $\sigma $ a ur�eme pole a potenci�l v bod� $A$ ve
vzd�lenosti $r$ od roviny. Mohli bychom nap��klad rozd�lit rovinu na
dvojice rovnob�n�ch �zk�ch p��m�ch p�s� symetricky um�st�n�ch
vzhledem k pat� kolmice spu�t�n� s bodu $A$ na rovinu, pova�ovat tyto
p�sy za nabit� p��mky a s��tat jejich p��sp�vky. Ze symetrie �lohy je
v�ak z�ejm�, �e vektor intenzity pole bude m��it kolmo od kladn�
nabit� roviny. Zvol�me-li tedy Gaussovu plochu op�t ve tvaru povrchu
v�lce s osou kolmou k rovin� a s podstavami libovoln�ho tvaru a plochy
$S$ tak, aby le�ely ve vzd�lenosti $r$ na ob� strany od roviny,
dostaneme
\begin{displaymath}
E.2S=\frac{1}{\varepsilon _{0}}\sigma S\;.
\end{displaymath}
Odtud dostaneme pro intenzitu pole a potenci�l nabit� roviny
\begin{equation} \label{rovin}
E\;=\;\frac{\sigma }{2\varepsilon _{0}},~~~\varphi \;=\;-
\frac{\sigma }{2\varepsilon _{0}}~r\;+\;\hbox{konst}\;
\end{equation}
(pole vpravo od svisl� roviny budeme br�t jako kladn�, vlevo jako
z�porn�). Je pozoruhodn�, �e velikost intenzity pole se nem�n� se
vzd�lenost� od roviny; p�edpoklad o tom, �e rovina je nekone�n� je
ov�em idealizac�. Pr�b�h intenzity pole a potenci�lu nabit� roviny
jsou na obr. 2.11. Z n�ho je patrno, �e na nabit� rovin� m� norm�lov�
slo�ka intenzity pole nespojitost $\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}$.
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.11 \hspace*{6cm} obr. 2.12 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Nabitou rovinu jsme pova�ovali za nekone�n� tenkou. Ve skute�nosti jde
v�dy o nabitou vrstvu kone�n� tlou��ky. Je-li takov� vrstva nabita s
konstantn� objemovou hustotou $\rho $ (viz obr. 2.12) a m�-li ���ku
$a$, m��eme my�len� roz�ezat vrstvu na nekone�n� tenk� roviny s
plo�nou hustotou n�boje $d\sigma =\rho dr$ a podle principu
superpozice s��tat p��sp�vky takov�ch rovinn�ch n�boj�. Tak dostaneme
vn� vrstvy
\begin{displaymath}
E\;=\;\int_{-a/2}^{a/2}\frac{\rho dr}{2\varepsilon _{0}}\;=\;
\frac{\rho a}{2\varepsilon _{0}},~~~\varphi \;=\;
-\frac{\rho a}{2\varepsilon _{0}}~r+\hbox{konst}.
\end{displaymath}
Uvnit� vrstvy se ode�tou p��sp�vky vrstev o tlou��ce $\frac{a}{2}+r$ a
$\frac{a}{2}-r$:
\begin{displaymath}
E\;=\;\frac{\rho }{2\varepsilon _{0}}\left[ \left(\frac{a}{2}+r\right)-
\left(\frac{a}{2}-r\right) \right]\;=\;\frac{\rho}{\varepsilon _{0}}~r,~~~
\varphi \;=\;-\frac{\rho }{2\varepsilon _{0}}~r^{2}+\hbox{konst}\;.
\end{displaymath}
Proto�e jde o prostorov� rozlo�en� n�boj, je pole na hranici vrstvy
spojit�, i kdy� tam nem� derivaci. Potenci�l ov�em derivaci m�.
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\centerline{obr. 2.13} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Z principu superpozice snadno odvod�me pr�b�h pole a potenci�lu
buzen�ch dvojicemi souhlasn� a nesouhlasn� nabit�ch rovin (obr. 2.13).
Jsou-li roviny nabit� opa�n�mi n�boji t�e velikosti hustoty, bude
pole homogenn� a bude zcela soust�ed�no mezi rovinami (deskov�
kondenz�tor). V�imn�te si skok� intenzity elektrick�ho pole na
nabit�ch rovin�ch. \vspace*{3mm}
\newpage 3. \underline{Nabit� koule}
\begin{figure}
\vspace*{3cm}
\centerline{obr. 2.14} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Elektrostatick� pole a potenci�l objemov� �i povrchov� nabit� koule
ur��me snadno pomoc� Gaussova z�kona.\footnote{A velmi nesnadno bez
n�ho, Newton musel �e�it obdobnou �lohu pro gravita�n� pole koule
slo�it�m integrov�n�m mnoho let.}Uvedeme proto pouze v�sledky
graficky zachycen� na obr. 2.14.
Je-li koule o polom�ru $R$ nabita povrchov� s plo�nou hustotou $\sigma
$, nese n�boj $Q=4\pi R^{2}\sigma $, je-li nabita objemov� s hustotou
$\rho $, m� n�boj $\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho $. Pro pole vn� koule
($r>R$) dost�v�me v obou p��padech stejn� vztahy jako pro bodov� n�boj
um�st�n� ve st�edu koule:
\begin{equation}
E\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{r^{2}},~~~~~\varphi \;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{r}\;.
\end{equation}
Pole uvnit� ($r<R$) povrchov� nabit� koule bude z�ejm� nulov� a
konstantn� potenci�l roven potenci�lu na povrchu
\begin{equation}
\varphi \;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{R}\;;
\end{equation}
pro objemov� nabitou kouli dost�v�me
\begin{equation}
E\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{R^{3}}~r,~~~~~\varphi \;=\;
-\frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{R^{3}}~r^{2}+
\frac{3}{8\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q}{R}\;.
\end{equation}
Snadno se p�esv�d��me, �e na hranici koule jsou spln�ny po�adavky na
norm�lov� slo�ky pole a potenci�l.
Podobn�m zp�sobem bychom mohli naj�t pole a potenci�l buzen�
nekone�n�m povrchov� �i objemov� nabit�m v�lcem. Zjistili bychom, �e
navenek se v�lec chov� jako line�rn� n�boj v ose, pole uvnit�
povrchov� nabit�ho v�lce je nulov�, uvnit� objemov� nabit�ho v�lce
bude
\begin{displaymath}
E\;=\;\frac{\rho }{2\varepsilon _{0}}~r,~~~~~\varphi \;=\;-
\frac{\rho}{4\varepsilon _{0}}~r^{2}+\hbox{konst}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
4. \underline{Pole a potenci�l na ose nabit� kru�nice}
M�jme kru�nici polom�ru $r$ nabitou s line�rn� hustotou $\tau $. Z
d�vodu symetrie m��eme usoudit, �e pole na ose t�to kru�nice bude
le�et v t�to ose, nad rovinou kru�nice bude kladn� (sm�r vzh�ru) pod
rovinou z�porn� (sm�r dol�). Ur��me, jak z�vis� toto pole na
vzd�lenosti od st�edu kru�nice $h$ (viz obr. 2.15).
\begin{figure}
\vspace*{8cm}
\centerline{obr. 2.15} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Rozd�l�me kru�nici na dvojice protilehl�ch element� d�lky $dl$, kter�
p�edstavuj� bodov� n�boje $\tau dl$, a zintegrujeme p��sp�vky takov�ch
dvojic:
\begin{equation}
E\;=\;2\cos \alpha \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{0}^{\pi r}
\frac{\tau dl}{h^{2}+r^{2}}\;=\;
\frac{\tau rh}{2\varepsilon _{0}(h^{2}+r^{2})^{3/2}}\;,~~~\varphi \;=\;
\frac{\tau r}{2\varepsilon _{0}\sqrt{h^{2}+r^{2}}}\;.
\end{equation}
Intenzita pole nab�v� extr�m� ve vzd�lenostech $h_{m}=r/\sqrt{2}$, ve
st�edu kru�nice je pole samoz�ejm� nulov�.
\vspace*{2cm} {\bf\Large 3. Elektrick� dip�l a vektor polarizace}
\vspace*{1cm}
M�jme objem $V$, v n�m� je n�jak�m zp�sobem rozm�st�n elektrick�
n�boj; celkov� n�boj v tomto objemu m��e p�itom b�t nulov� i nenulov�.
Um�st�me v tomto objemu po��tek sou�adnic a hledejme potenci�l
elektrostatick�ho pole v bod� $A$ le��c�m ve vzd�lenosti $r$ od
po��tku nap��klad na ose $z$. Objem $V$ rozd�l�me na mal� elementy
$dV$, s nimi� budeme zach�zet jako s bodov�mi n�boji. Polohov� vektory
t�chto element� ozna��me $\vec r'$, pr�vodi� z tohoto elementu do bodu
$A$ ozna��me $\vec R$, tak�e $\vec R=\vec r -\vec r'$. Princip
superpozice d�v�
\begin{displaymath}
\varphi _{A}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{V}
\frac{\rho (x',y',z')}{R}~dV\;.
\end{displaymath}
P�edpokl�dejme nyn�, �e bod $A$ le�� ve vzd�lenosti mnohem v�t�� ne�
jsou rozm�ry objemu $V$. Potom m��eme pova�ovat pom�r $r'/r$ za mal� a
rozlo�it funkci $\frac{1}{R}$ pod integr�lem do Taylorova rozvoje.
Jinak m��eme t� pou��t kosinov� v�ty (viz obr. 2.16)
\begin{figure}
\vspace*{10cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.16 \hspace*{6cm} obr. 2.17 \vspace*{1cm}
\end{figure}
\begin{displaymath}
R\;=\;(r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos \theta)^{1/2}
\end{displaymath}
a binomick�ho rozvoje do druh�ho ��du $r'/r$ \footnote{ $\hbox{Pro}~~
\alpha \ll 1~~~~ (1+\alpha )^{-1/2}=1-\frac{1}{2}\alpha +
\frac{3}{8}\alpha ^{2}-\frac{15}{48}\alpha ^{3}+\cdots $}
\begin{displaymath}
\frac{1}{R}\;=\;\frac{1}{r}\left( 1+\frac{r'^{2}}{r^{2}}-\frac{2r'}{r}
\cos \theta \right) ^{-1/2}\;=\;\frac{1}{r}\left[ 1+\frac{r'}{r}\cos \theta
+\frac{1}{2}\left( \frac{r'}{r}\right) ^{2}(3\cos ^{2}\theta -1)+\cdots
\right] \;.
\end{displaymath}
Dosad�me-li tuto �adu do integr�lu pro potenci�l, dostaneme takzvan�
{\em multip�lov� rozvoj} elektrostatick�ho pole. Potenci�l v bod�
dostate�n� vzd�len�m od uva�ovan�ho objemu m��eme vyj�d�it jako sou�et
p��sp�vk�, jejich� velikost postupn� kles� s rostouc�mi mocninami
vzd�lenosti. V teorii elektromagnetick�ho pole se dokazuje, �e takov�
rozvoj v�dy existuje a je jednozna�n�:
\begin{equation} \label{multip}
\varphi \;=\;\varphi ^{(0)}+\varphi ^{(1)}+\varphi ^{(2)}+\cdots \;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac{K_{0}}{r}+\frac{K_{1}}{r^{2}}+
\cdots \right) \;.
\end{equation}
Integr�ly $K_{n}$ naz�v�me {\em elektrick�mi multip�lov�mi momenty}.
Jsou to elektrick� charakteristiky dan�ho objemu, kter� z�visej� pouze
na rozlo�en� n�boje v tomto objemu a jeho symetrii. Pokud je rozlo�en�
n�boje komplikovan� �i nezn�m� a nem��eme ho vypo��tat, m��eme se
pokusit ur�it multip�lov� momenty experiment�ln� z jimi vyvol�van�ho
pole.
Zap�eme prvn� t�i multip�lov� momenty vzhledem k na�� volb� bodu $A$:
\begin{displaymath}
K_{0}\;=\;\int_{V}\rho dV,~~~K_{1}\;=\;\int_{V}r'\cos \theta \rho dV,~~~
K_{2}\;=\;\frac{1}{2}\int_{V}r'^{2}(3\cos ^{2}\theta -1)\rho dV\;.
\end{displaymath}
Prvn� z multip�lov�ch moment� $K_{0}$ odpov�d� {\em elektrick�mu
monop�lu}, a je to vlastn� celkov� n�boj dan�ho objemu. Ve velk�
vzd�lenosti se mal� nabit� objem jev� jako bodov� n�boj, co� je
pochopiteln�. V p��pad�, �e objem bude jako celek nenabit�, stane se
rozhoduj�c�m dal�� �len $K_{1}$, kter� p�edstavuje moment {\em
elektrick�ho dip�lu}.
Pro na�i speci�ln� volbu bodu $A$, kdy $r'\cos \theta =z'$, odpov�d�
integr�l $K_{1}$ $z$-ov� slo�ce vektorov� veli�iny, kterou naz�v�me
{\em elektrick� dip�lov� moment} a kter� m��eme zapsat pro p��pad
spojit�ho a nespojit�ho rozlo�en� n�boj� jako
\begin{equation} \label{dipm}
\vec p\;=\;\int_{V}\vec r'\rho dV\;,~~~~~~~\vec p\;=\;\sum_{\alpha }
r'_{\alpha }q_{\alpha }\;.
\end{equation}
Elektrick� dip�lov� moment je tedy vedle n�boje dal�� charakteristika
elektrick�ho p�soben� ��stice �i t�lesa a m��� se v coulombech kr�t
metr. Potenci�l odpov�daj�c� elektrick�mu dip�lov�mu momentu je
\begin{equation} \label{dipp}
\varphi ^{(1)}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{\vec p\cdot
\vec r_{0}}{r^{2}}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}
\frac{\vec p\cdot \vec r}{r^{3}}\;.
\end{equation}
Na rozd�l od potenci�lu n�boje kles� potenci�l dip�lu se �tvercem
vzd�lenosti.
D�le�itou je ot�zka, zda definice elektrick�ho dip�lov�ho momentu nen�
z�visl� na volb� po��tku sou�adnic. P�ejdeme-li od po��tku sou�adnic
$O_{1}$ k nov�mu po��tku $O_{2}$, a ozna��me vektor spojuj�c� oba
po��tky jako $\vec a$, bude transformace sou�adnic $\vec r'_{1}=\vec
r'_{2}+\vec a$ a dip�lov� moment
\begin{displaymath}
\vec p_{1}\;=\;\sum_{\alpha }r'_{\alpha 1}q_{\alpha }\;=\;\sum_{\alpha }
\vec r'_{\alpha 2}q_{\alpha }+\vec a\sum_{\alpha }q_{\alpha }\;=\;
\vec p_{2}+\vec a~Q\;.
\end{displaymath}
Elektrick� dip�lov� moment je tedy invariantn� v��i volb� po��tku
tehdy, je-li celkov� n�boj v objemu nulov�. Takov� objem se naz�v�
{\em polarizovan�}.
M��e se st�t, �e jak celkov� n�boj v objemu, tak dip�lov� moment budou
nulov�. P�evl�daj�c�m se pak stane n�sleduj�c� �len rozvoje
odpov�daj�c� {\em elektrick�mu kvadrup�lu}. Definujeme jej obecn� jako
tenzor o slo�k�ch
\begin{equation} \label{kvadru}
Q_{ij}\;=\;\int_{V}(3x'_{i}x'_{j}-\delta _{ij}r'^{2})\rho ~dV\;,
\end{equation}
v p��pad� bodov�ch n�boj� ve tvaru sumy. Z t�to definice je z�ejm�, �e
tenzor kvadrup�lov�ho momentu je symetrick� a sou�et jeho diagon�ln�ch
moment� je roven nule. V hlavn�ch os�ch budou v�echny nediagon�ln�
momenty nulov� a bude-li nav�c n�boj rozlo�en symetricky kolem osy
$z$, dostaneme
\begin{displaymath}
Q_{xx}\;=\;Q_{yy}\;=\;-\frac{1}{2}Q_{zz}\;.
\end{displaymath}
Potom je kvadrup�lov� moment ur�en jedin�m prvkem. Kvadrup�lov� moment
bude nez�visl� na volb� po��tku sou�adnic, bude-li jak celkov� n�boj
tak dip�lov� moment soustavy nulov�. V na�em multip�lov�m rozvoji pro
potenci�l v bod� na ose $x$ bude kvadrup�lov� p��sp�v�k k potenci�lu
\begin{displaymath}
\varphi ^{(2)}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\frac{1}{2}~
\frac{Q_{zz}}{r^{3}}
\end{displaymath}
a kles� s t�et� mocninou vzd�lenosti.
Je-li i kvadrup�lov� moment soustavy nulov�, nastupuje moment {\em
oktup�lov�}. Tak se s rostouc� symetri� rozlo�en� n�boje uplat�uj�
st�le vy��� multip�ly. Nejvy��� symetrii vykazuje sf�rick� rozlo�en�
n�boje; v tom p��pad� jsou v�echny multip�lov� momenty nulov� a nabit�
koule se navenek chov� p�esn� tak jako bodov� n�boj (monop�l).
V�imneme si nyn� bl�e elektrick�ho dip�lu. {\em Bodov�m dip�lem}
naz�v�me elektricky neutr�ln� �tvar zanedbateln�ch rozm�r�, kter� v
prostoru vytv��� elektrick� pole o potenci�lu dan�m vztahem
(\ref{dipp}). P��kladem takov�ch �tvar� mohou b�t nap��klad n�kter�
molekuly (naz�v�me je pol�rn�). Intenzita elektrick�ho pole bodov�ho
dip�lu bude tedy
\begin{equation} \label{dipe}
\vec E\;=\;-\nabla \varphi \;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left[
\nabla \left( \frac{1}{r^{3}}\right) \vec p\cdot \vec r+
\frac{\nabla (\vec p\cdot \vec r)}{r^{3}}\right] \;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left[
\frac{3(\vec p\cdot \vec r)\vec r}{r^{5}}-\frac{\vec p}{r^{3}}\right] \;.
\end{equation}
Je-li bodov� dip�l um�st�n v po��tku sou�adnic v rovin� $x,z$ a
orientov�n ve sm�ru osy $z$, budou m�t silo��ry pole pr�b�h zn�zorn�n�
na obr. 2.17. Potom pro slo�ky intenzity pole dostaneme
\begin{equation} \label{dipes}
E_{x}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\frac{3pxz}{r^{5}},~~~E_{y}\;=\;0,
~~~E_{z}\;=\;\frac{p}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left( \frac{3z^{2}}{r^{5}}-
\frac{1}{r^{3}}\right) \;.
\end{equation}
Na ose $z$ bude $x=0$ a
\begin{equation} \label{dipex}
E_{x}\;=\;0,~~~~~E_{y}\;=\;0,~~~~~E_{z}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~
\frac{2p}{r^{3}}\;,
\end{equation}
na ose $x$ bude $z=0$ a
\begin{equation} \label{dipez}
E_{x}\;=\;0,~~~~~E_{y}\;=\;0,~~~~~E_{z}\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~
\frac{p}{r^{3}}.
\end{equation}
Bodov� elektrick� dip�l oby�ejn� aproximujeme dvojic� bodov�ch n�boj�
stejn� velikosti a opa�n�ch znamen� ve vz�jemn� vzd�lenosti $l$. Dip�l
m� pak velikost $p=ql$ a je orientov�n od z�porn�ho n�boje ke
kladn�mu. Pole vytv��en� takovou dvojic� n�boj� ov�em odpov�d� poli
dip�lu (\ref{dipe}) jen na vzd�lenostech $r\gg l$. Um�st�me-li takov�
dip�l do po��tku sou�adnic a orientujeme ve sm�ru osy $z$, dostaneme v
tomto p�ibl�en� z principu superpozice v�razy, (\ref{dipex}) resp.
(\ref{dipez}). Takovou dvojici n�boj� naz�v�me {\em kone�n� dip�l}.
Um�st�me-li dip�l do vn�j��ho homogenn�ho elektrick�ho pole, bude
v�sledn� s�la p�sob�c� na dip�l nulov�, ale bude na� p�sobit moment
silov� dvojice (viz obr. 2.18).
\begin{equation} \label{mom}
\vec D\;=\;\vec p\times \vec E\;.
\end{equation}
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.18 \hspace*{6cm} obr. 2.19 \vspace*{1cm}
\end{figure}
P�i nat��en� dip�lu v homogenn�m poli kon� tento moment silov� dvojice
pr�ci
\begin{displaymath}
A\;=\;\int_{\pi /2}^{\alpha }D~d\alpha \;=\;\int_{\pi /2}^{\alpha }pE\sin
\alpha ~d\alpha \;=\;-pE\cos \alpha
\end{displaymath}
Dip�l tak z�sk� energii z�vislou na jeho orientaci v��i sm�ru pole.
Tato energie je rovna
\begin{equation} \label{endip}
W\;=\;-\vec p \cdot \vec E
\end{equation}
Ode�et t�to energie jsme zvolili tak, �e ji bereme jako nulovou, je-li
dip�l orientov�n kolmo k silo�ar�m pole, z�pornou je-li orientov�n
souhlasn� se sm�rem pole a kladnou m���-li proti poli (obr. 2.19).
V nehomogenn�m elektrick�m poli bude na dip�l p�sobit v�sledn� s�la.
Na obr. 2.20 jsou zn�zorn�ny p��pady, kdy gradient pole je kolm� na
sm�r silo�ar a rovnob�n� s n�m. V prvn�m p��pad� m��eme napsat pro
$x$-ovou slo�ku v�sledn� s�ly
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 2.20} \vspace*{1cm}
\end{figure}
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;F_{1}-F_{2}\;=\;q(E_{1}-E_{2})\;\approx \;q
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\Delta z\;=\;p
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\cos \beta \;=\;\vec p\cdot
\hbox{grad}~E_{x}\;.
\end{displaymath}
I v obecn�m p��pad� dostaneme p��mo z (\ref{endip})
\begin{equation} \label{sild}
\vec F\;=\;-\nabla W\;=\;\nabla (\vec p\cdot \vec E)\;=\;(\vec p \nabla )
\vec E\;.
\end{equation}
Obecn� lze ��ci, �e dip�l po vlo�en� do vn�j��ho elektrick�ho pole je
v�dy nat��en souhlasn� se sm�rem pole a pak vtahov�n do oblasti
siln�j��ho pole.
Atomy a molekuly mohou m�t bu� sv� vlastn� elektrick� dip�lov� momenty
z�visl� na vnit�n�m uspo��d�n� elektrick�ch n�boj� nebo mohou z�skat
dip�lov� moment tak, �e se ve vn�j��m poli zpolarizuj�. Takov� z�skan�
dip�lov� moment se naz�v� {\em indukovan�}, b�v� o n�kolik ��d� men��
ne� vlastn� momenty atom� a molekul a v prvn�m p�ibl�en� bude z�ejm�
�m�rn� intenzit� vn�j��ho elektrick�ho pole. Koeficient �m�rnosti se
naz�v� {\em atomovou}, resp. {\em molekulovou polarizovatelnost�}:
\begin{equation} \label{polar}
\vec p_{ind}\;=\;\alpha \vec E\;.
\end{equation}
Odhadneme velikost atomov� polarizovatelnosti. Pou�ijeme model
vod�kov�ho atomu jako z�porn� nabit� koule o Bohrov� polom�ru
$r_{B}=0,529.l0^{-10}$~ m, v jej�m� st�edu s�dl� proton. Takto
symetrick� uspo��d�n� n�boj� z�ejm� dip�lov� momenmt neprojevuje.
Nech� se nyn� vlivem vn�j��ho elektrick�ho pole proton vych�l� ze sv�
st�edov� polohy na vzd�lenost $a$. Indukovan� dip�lov� moment bude m�t
tedy velikost $p=ea$. S�la, kter� vyvolala takov� posunut� je silou
mezi n�bojem $e$ a z�porn�m n�bojem uvnit� koule o polom�ru $a$. Tuto
s�lu snadno ur��me jako
\begin{displaymath}
F\;=\;eE\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\frac{e^{2}a}{r_{B}^{3}}\;.
\end{displaymath}
Odtud
\begin{displaymath}
a\;=\;\frac{4\pi \varepsilon _{0}r_{B}^{3}}{e}E,~~~~~\alpha \;=\;4\pi
\varepsilon _{0}r_{B}^{3}\;=\;1,65.10^{-41}~\hbox{CV}^{-1}\hbox{m}^{2}\;.
\end{displaymath}
Odtud odhadneme, �e nap��klad v poli o obrovsk� intenzit� $E=10^{6}~
\hbox{V.m}^{-1}$ se j�dro atomu vod�ku vych�l� o pouh�ch $10^{-16}$~m
a indukovan� dip�lov� moment bude m�t velikost
$p_{ind}=1,6.10^{-35}$~C.m. \footnote{P�esn� kvantov� mechanick�
v�po�et d�v� hodnotu atomov� polarizovatelnosti pro vod�k 9/2 kr�t
v�t��. Hodnoty atomov� polarizovatelnosti r�zn�ch atom� a molekul
najdeme v tabulk�ch.} Odtud si m��eme u�init p�edstavu u velikosti
vnitroatomov�ch elektrick�ch pol�. Molekuly, kter� maj� vlastn�
dip�lov� momenty se naz�vaj� pol�rn�. Typick�m p��kladem je molekula
vody, jej� dip�lov� moment sm��uje od atomu kysl�ku kolmo sm�rem k
linii atom� vod�ku a m� velikost $p=6,1.10^{-30}$~C.m. K pol�rn�m
molekul�m pat�� d�le molekula chlorovod�ku, amoniaku, oxidu uhelnat�ho
a dal��. Velikosti vlastn�ch dip�lov�ch moment� ukazuj� na
vnitroatomov� elektrick� pole ��dov� $10^{11}\hbox{V.m}^{-1}$.
Podobn� jako bodov� n�boje mohou b�t i dip�ly rozlo�eny jakoby spojit�
v prostoru �i na plo�e. P�edstavme si nejprve obecnou plochu tvo�enou
dv�ma nekone�n� tenk�mi vrstvami, jednou kladn� nabitou s plo�nou
hustotou n�boje $\sigma $, druhou z�porn� nabitou s hustotou $-\sigma
$. Takovou plochu naz�v�me {\em elektrickou dvojvrstvou}. Vznik�
nap��klad na povrchu plazmatu, kde pohybliv�j�� elektrony se vzdaluj�
d�le od hranice plazmatu ne� ionty, a m� dobr� elektrick� a tepeln�
izola�n� vlastnosti. M��eme na ni pohl�et jako na plo�n� rozlo�en�
elektrick� dip�ly orientovan� ve sm�ru norm�ly a o plo�n� hustot�
$\vec p_{S}=\sigma \Delta l \vec n$, kde $\Delta l$ je vzd�lenost
nabit�ch ploch. Plocha $S$ dvojvrstvy bude budit v bod� o polohov�m
vektoru $\vec r$ elektrick� pole o potenci�lu
\begin{equation}
\varphi (\vec r)\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{S}
\frac{\vec p_{S}\cdot \vec R}{R^{3}}dS\;=\;
\frac{p_{S}}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{S}\frac{\vec R\cdot d\vec S}{R^{3}}
\;=\;\frac{p_{S}\Omega}{4\pi \varepsilon _{0}}\;.
\end{equation}
Zde $\Omega $ p�edstavuje prostorov� �hel, pod n�m� je vid�t plochu
dvojvrstvy z bodu $A$. To je pozoruhodn� vlastnost dvojvrstvy - m��eme
ji libovoln� zmuchlat a potenci�l v dan�m bod� se p�itom nezm�n�,
zachov�me li p��slu�n� prostorov� �hel. Plyne odtud tak�, �e p�i
p�echodu dvojvrstvou se potenci�l m�n� skokem o
$\frac{p_{S}}{\varepsilon _{0}}$.
P�ejdeme nyn� k prostorov�mu rozlo�en� elektrick�ch dip�l�. Mysleme si
n�jak� objem, kde jsou dip�ly $\vec p$ rozlo�eny s hustotou $N$ a
v�echny jsou souhlasn� orientov�ny. Objemov� hustota elektrick�ch
dip�l� pak bude $\vec P=N\vec p$ a naz�v�me ji {\em vektorem
elektrick� polarizace}. Ve skute�nosti nejsou element�rn� dip�ly
(nap��klad molekul�rn� dip�ly v l�tce) nikdy v�echny souhlasn�
orientov�ny a budeme-li se je sna�it orientovat vn�j��m elektrick�m
polem, bude tepeln� chaotick� pohyb tuto orientaci op�t naru�ovat. I
tak m��eme v�ak zav�st vektor polarizace $\vec P$ a definovat jej jako
{\em elektrick� dip�lov� moment jednotky objemu l�tky}. V p��pad�
dokonal�ho uspo��d�n� dip�l� bude m�t maxim�ln� velikost, v p��pad�
dokonale neuspo��dan�ch dip�l� bude nulov�. Vektor polarizace se m���
v jednotk�ch coulomb na metr �tvere�n�, a m� tedy stejn� rozm�r jako
plo�n� hustota elektrick�ho n�boje.
Ur��me potenci�l elektrostatick�ho pole buzen� v bod� o polohov�m
vektoru $\vec r$ polarizovan�m objemem s vektorem polarizace $\vec
P(\vec r')$:
\begin{displaymath}
\varphi (\vec r)\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\int_{V}
\frac{\vec P(\vec r')\cdot \vec R}{R^{3}}dV\;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left[\int_{V}\hbox{div}'\left(
\frac{\vec P(\vec r')}{R}\right) dV-\int_{V}
\frac{\hbox{div}'\vec P(\vec r')}{R}dV\right] \;=\;
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left[ \oint_{S}
\frac{\vec P(\vec r')\cdot d\vec S}{R}-\int_{V}
\frac{\hbox{div}'\vec P(\vec r')}{R}dV\right] \;=\;
\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}~\left[ \oint_{S}
\frac{\sigma_{v}(\vec r')dS}{R}+\int_{V}
\frac{\rho_{v}(\vec r')dV}{R}\right] \;,
\end{displaymath}
kde pod div' se rozum� divergence derivovan� podle prom�nn� $\vec r'
$.
V�sledn� potenci�l je tedy ekvivalentn� potenci�lu pole buzen�ho
plo�n�m n�bojem hustoty $\sigma_{v}$ v�zan�m na povrch t�lesa a
objemov�m n�bojem hustoty $\rho_{v}$ v�zan�m uvnit� t�lesa, kde
\begin{equation} \label{sigro}
\sigma_{v}\;=\;\vec P\cdot \vec n,~~~~~\rho_{v}\;=\;-\hbox{div}~\vec P\;
\end{equation}
($\vec n$ je jednotkov� vektor norm�ly k povrchu t�lesa).
Polarizovan� objem se tedy chov� jako ur�it� ekvivalentn� rozd�len�
plo�n�ch a objemov�ch n�boj�. Vezm�me nap��klad objem tvaru v�lce
homogenn� polarizovan� ve sm�ru osy ($\vec P=$~konst). Potom div $\vec
P$ je nulov�, norm�la na pl�ti v�lce je kolm� k vektoru polarizace a
pole takov�ho v�lce bude ekvivalentn� poli dvou nabit�ch podstav s
opa�n�m znamen�m n�boje (obr. 2.21).
\begin{figure}
\vspace*{4cm}
\centerline{obr. 2.21} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Je-li v�lec �t�hl�, bude p�edstavovat kone�n� elektrick� dip�l s
n�boji $P\Delta S$ a $-P\Delta S$ na konc�ch. P�ejde-li v�lec v
nekone�nou rovinnou vrstvu, bude p�edstavovat dvojici nesouhlasn�
nabit�ch rovin s hustotami n�boje $\sigma =P$ a $\sigma =-P$. Pole
uvnit� takov� vrstvy bude tedy m��it proti sm�ru vektoru polarizace a
bude rovno
\begin{equation} \label{vrst}
E_{p}\;=\;-\frac{P}{\varepsilon_{0}}\;.
\end{equation}
Pole vn� vrstvy bude nulov�.
Ur��me je�t� pole polarizovan� koule. Nech� vektor polarizace m��� ve
sm�ru osy $z$ a je op�t konstantn�. Na povrchu koule se vytvo�� plo�n�
n�boj s prom�nnou hustotou
\begin{displaymath}
\sigma_{v}\;=\;\vec P\cdot \vec n\;=\;P~\cos \theta\;.
\end{displaymath}
V�me, �e pole objemov� nabit� koule se navenek chov� jako pole
bodov�ho n�boje v centru. Lze snadno uk�zat, �e tak� pole polarizovan�
koule se navenek chov�, jako kdyby cel� dip�lov� moment koule
\begin{displaymath}
\vec p\;=\;V\vec P\;=\;\frac{4}{3}\pi R^{3}\vec P
\end{displaymath}
byl um�st�n ve st�edu koule. Plo�n� rozlo�en� n�boje na povrchu si
toti� lze p�edstavit tak, jako kdybychom m�li dv� vz�jemn� se
p�ekr�vaj�c� koule objemov� nabit� opa�n�mi n�boji s nepatrn�
posunut�mi st�edy. V m�stech p�ekryt� se n�boje kompenzuj�, na rovn�ku
je hustota n�boje nulov�, na p�lech maxim�ln� a rovna $P$ a $-P$ (viz
obr. 2.22).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 2.22} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Potom bude potenci�l vn� koule potenci�lem dip�lu a m��eme ps�t
\begin{displaymath}
\varphi_{e}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}
\frac{\vec p\cdot \vec r}{r^{3}}\;=\frac{P}{3\varepsilon_{0}}
\frac{R^{3}}{r^{3}}z\;.
\end{displaymath}
Uvnit� koule mus� potenci�l spl�ovat Laplaceovu rovnici a hrani�n�
podm�nku spojitosti na povrchu koule. Tomu v�ak vyhov� pouze potenci�l
\begin{displaymath}
\varphi_{i}\;=\;\frac{1}{3\varepsilon_{0}}Pz\;.
\end{displaymath}
Intenzita elektrostatick�ho pole uvnit� koule je tedy konstantn�, m���
proti sm�ru vektoru polarizace a je rovna
\begin{equation} \label{koul}
\vec E_{i}\;=\;-\nabla \varphi_{i}\;=\;-\frac{\vec P}{3\varepsilon_{0}}.
\end{equation}
Lze se p�esv�d�it, �e te�n� slo�ky pole uvnit� a vn� koule jsou
spojit�, norm�lov� slo�ky se m�n� skokem o $P/\varepsilon_{0}$.
Fakt, �e pole uvnit� polarizovan� koule je homogenn� se m��e zd�t
p�ekvapiv�. Ukazuje se, �e je to obecn� vlastnost v�ech
polarizovan�ch t�les tvaru elipsoidu, jeho� jsou koule a nekone�n�
rovinn� vrstva zvl�tn�mi p��pady. \vspace*{3mm}
1. \underline{S�ly p�sob�c� mezi elektrick�mi dip�ly}\\
M�jme dva dip�ly $\vec p_{1},~\vec p_{2}$ v rovin� $x,z$, p�i�em�
dip�l $\vec p_{1}$ nech� je um�st�n v po��tku a orientov�n ve sm�ru
osy $z$. Pro gradienty slo�ek pole prvn�ho dip�lu dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{grad}~E_{x}\;=\;\frac{p_{1}}{4\pi \varepsilon_{0}}~\left(
\frac{3z}{r^{5}}-\frac{15x^{2}z}{r^{7}},~~0,~~\frac{3x}{r^{5}}-
\frac{15xz^{2}}{r^{7}}\right)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\hbox{grad}~E_{z}\;=\;\frac{p_{1}}{4\pi \varepsilon_{0}}~\left(
\frac{3x}{r^{5}}-\frac{15xz^{2}}{r^{7}},~~0,~~\frac{9z}{r^{5}}-
\frac{15z^{3}}{r^{7}}\right) \;.
\end{displaymath}
Slo�ky s�ly, kterou tento dip�l p�sob� na obecn� um�st�n� a
orientovan� dip�l $\vec p_{2}$ najdeme jako skal�rn� sou�iny vektoru
$\vec p_{2}$ a gradientu p��slu�n� slo�ky pole. Tak bude-li druh�
dip�l um�st�n ve vzd�lenosti $z$ na ose z a souhlasn� orientov�n (obr.
2.23),
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 2.23} \vspace*{1cm}
\end{figure}
budou slo�ky s�ly
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;\vec p_{2}\cdot \hbox{grad}~E_{x}\;=\;0,~~~~~F_{z}\;=\;\vec p_{2}
\cdot \hbox{grad}~E_{z}\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{6p_{1}p_{2}}{r^{4}}\;.
\end{displaymath}
Znam�nko minus ukazuje, �e jde o s�lu p�ita�livou.
Bude-li druh� dip�l um�st�n ve vzd�lenosti $x$ na ose $x$ a op�t
souhlasn� orientov�n, dostaneme odpudivou s�lu o slo�k�ch
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{3p_{1}p_{2}}{r^{4}},~~~~~
F_{z}\;=\;0.
\end{displaymath}
Nejzaj�mav�j�� je p��pad, kdy� druh� dip�l je op�t um�st�n na ose $x$,
ale orientov�n kolmo k prvn�mu dip�lu, nap��klad sm�rem od n�ho. Pak
dostaneme
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;0,~~~~~F_{z}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{3p_{1}p_{2}}{r^{4}}\;.
\end{displaymath}
Ve v�ech p��padech kles� s�la se �tvrtou mocninou vzd�lenosti, ale jak
ukazuje posledn� p��pad, nen� obecn� centr�ln�, nemus� m��it po
spojnici obou dip�l�. Kdybychom nap��klad druh� dip�l p�ibli�ovali k
prvn�mu z nekone�na kolmo nato�en�, nemuseli bychom p�ekon�vat ��dnou
s�lu, nekonali bychom pr�ci. \vspace*{3mm}
2. \underline{Energie soustavy dvou dip�l�}\\
Energii soustavy dvou dip�l� ve vz�jemn� vzd�lenosti $r$ najdeme
obecn� jako energii jednoho dip�lu ve vn�j��m poli vytv��en�m druh�m
dip�lem:
\begin{displaymath}
W\;=\;-\vec p_{2}\cdot \vec E_{1}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\left( \frac{\vec p_{1}\cdot \vec p_{2}}{r^{3}}-
\frac{3(\vec p_{1}\cdot \vec r)(\vec p_{2}\cdot \vec r)}{r^{5}}\right) \;.
\end{displaymath}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 4. Vodi�e v elektrostatick�m poli}
\vspace*{1cm}
Zab�v�me-li se vlastnostmi elektrostatick�ho pole v l�tkov�m
prost�ed�, mus�me rozli�ovat pole {\em mikroskopick�} a {\em
makroskopick�}. Mikroskopick� pole vyvol�van� v�emi n�boji v l�tce,
protony v atomov�ch j�drech, elektrony v atomech, atd. nem��eme
bezprost�edn� m��it a nadto se rychle m�n� v prostoru i �ase. Na�e
m��ic� p��stroje ud�vaj� hodnoty vyst�edovan�ch, makroskopick�ch pol�,
pro n� tak� formulujeme p��slu�n� Maxwellovy rovnice. S hlediska
chov�n� l�tek v elektrostatick�m poli m��eme rozli�it dva z�kladn�
typy - {\em vodi�e} a {\em dielektrika} (nevodi�e, izolanty). Pod
vodi�em budeme rozum�t t�leso, v n�m� existuj� voln� elektrick�
n�boje, kter� se mohou pod vlivem elektrick�ho pole v cel�m objemu
voln� pohybovat, ale nemohou jej opustit (pak by do�lo k takzvan�
emisi).
Odtud plyne, �e po vlo�en� vodi�e do vn�j��ho elektrostatick�ho pole
budou se v n�m n�boje pohybovat tak dlouho, dokud makroskopick� pole
nevymiz�. Stane se to tak, �e se elektrick� n�boje budou hromadit na
povrchu vodi�e a vytv��et uvnit� pole opa�n� orientovan� k poli
vn�j��mu. Vodi� se tak zpolarizuje, na jeho povrchu se naindukuj�
elektrick� n�boje. Kdybychom jej uzemnili a ��st t�chto n�boj� tak
odvedli, a potom op�t odizolovali, mohli bychom vodi� nab�t, ani�
bychom na n�j p�ivedli n�boje z jin�ho nabit�ho t�lesa. Tento jev je
zn�m jako {\em elektrostatick� indukce}.
Rozlo�en� n�boj� na povrchu vodi�e prob�hne t�m�� okam�it� a tak je
m��eme op�t pova�ovat za statick�. Jev m��eme popsat tak� tak, �e
elektrick� silo��ry vn�j��ho pole dopadaj�c� na povrch vodi�e se na
jeho povrchu zachyt� na z�porn�ch n�boj�ch a d�le budou op�t vych�zet
z kladn�ch povrchov�ch n�boj�. Zv�t��-li se intenzita vn�j��ho pole,
dod� vodi� dal�� voln� n�boje, kter� se rozm�st� tak, aby vn�j�� pole
op�t vykompenzovaly. V tom spo��v� {\em st�n�c� ��inek vodi��}
(Faradayova klec). Nejde tedy vlastn� o st�n�n�, vn�j�� pole do
prostoru vodi�e pronikne, ale je zde vykompenzov�no polem
polariza�n�m.
Je-li vn�j�� pole nehomogenn�, indukuje se na nenabit�m vodi�i
elektrick� dip�lov� moment orientovan� souhlasn� se sm�rem pole a
takov� vodi� bude vtahov�n do oblasti siln�j��ho pole. Z uveden�ho
chov�n� vodi�� vypl�v� zejm�na
\begin{itemize}
\item elektrick� n�boje jsou rozlo�eny pouze na povrchu vodi�e
\item makroskopick� elektrostatick� pole uvnit� vodi�e je nulov�
\item elektrostatick� potenci�l je v cel�m objemu vodi�e konstantn�
\item povrch vodi�e p�edstavuje ekvipotenci�ln� plochu
\item silo��ry elektrostatick�ho pole jsou v�dy kolm� k povrchu vodi�e
\item v t�sn� bl�zkosti povrchu vodi�e je intenzita pole $E=\sigma /
\varepsilon _{0}$ (takzvan� {\em Coulombova v�ta}, plyne ihned z
Gaussova z�kona)
\item na hrotech vodi�� doch�z� k prudk�m zm�n�m sm�ru silo�ar a
zhu�t�n� ekvipotenci�ln�ch ploch. S t�m souvis� sr�en� elekt�iny z
hrot� a efekt hromosvodu.
\item v d�sledku silov�ho p�soben� povrchov�ch n�boj� vznik� na
povrchu vodi�e mechanick� nap�t�.
\end{itemize}
Velikost tohoto mechanick�ho nap�t� m��eme ur�it n�sleduj�c�m
zp�sobem. Vy��zneme-li na povrchu vodi�e malou plo�ku $\Delta S$,
m��eme tuto plo�ku pova�ovat za rovinnou a pole v t�sn� bl�zkosti
plo�ky na obou jej�ch stran�ch br�t rovno $\sigma /2\varepsilon_{0}$.
Proto�e po op�tovn�m vr�cen� plo�ky na povrch vodi�e mus� se pole
uvnit� vodi�e vynulovat, znamen� to, �e cel� ostatn� povrchov� n�boj
vytv��� v m�st� t�to plo�ky pole kolm� k povrchu a rovn� $\sigma
/2\varepsilon_{0}$. Na plo�ku tedy p�sob� s�la
\begin{displaymath}
\Delta F\;=\;\sigma \Delta S \frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\;=\;
\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}\Delta S
\end{displaymath}
a mechanick� nap�t� je rovno
\begin{equation} \label{mechn}
T\;=\;\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}\;=\;\frac{\varepsilon_{0}}{2}
E^{2}\;,
\end{equation}
kde E je intenzita elektrick�ho pole v t�sn� bl�zkosti povrchu vodi�e.
Vid�me, �e toto nap�t� je pr�v� rovno objemov� hustot� pole v
bl�zkosti vodi�e. Tuto skute�nost si m��eme ujasnit my�len�m pokusem.
M�jme nabitou vodivou kouli, kterou v�estrann� mechanicky stla��me.
Vykon�me t�m pr�ci proti sil�m mechanick�ho nap�t� o velikosti $4\pi
r^{2}Tdr$. T�m v�ak vytvo��me elektrostatick� pole v objemu kulov�
slupky tlou��ky $dr$, kde bylo d��ve pole nulov�. Energie takto
vznikl�ho pole se ov�em mus� rovnat vykonan� pr�ci.
M�jme nyn� v prostoru soustavu vodi��, nabit�ch �i nenabit�ch. Zn�me
jejich povrchov� plochy $S_{i}$, vz�jemn� geometrick� uspo��d�n�,
n�boje $Q_{i}$ a potenci�ly jednotliv�ch vodi�� $\varphi _{i}$. N�boje
se na povrchu vodi�� rozlo�� jednozna�n�m zp�sobem, a to tak, aby
potenci�ln� energie cel� soustavy byla minim�ln� ({\em Thomsonova
v�ta}). Jejich silo��ry budou vz�jemn� prov�z�ny, mezi vodi�i
vznikne tzv. {\em kapacitn� vazba} (obr. 2.24).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 2.24} \vspace*{1cm}
\end{figure}
P�ibl��me-li k soustav� dal��, nenabit� vodi�, bude se polarizovat a
soustava jej bude p�itahovat. T�m se zmen�� celkov� potenci�ln�
energie.
Proto�e povrchy vodi�� tvo�� ekvipotenci�ln� plochy, m��eme formulovat
matematickou �lohu na �e�en� Laplaceovy rovnice s dob�e definovan�mi
okrajov�mi podm�nkami. Naz�v�me ji {\em z�kladn� �lohou
elektrostatiky}: \vspace*{3mm}
Naj�t elektrostatick� potenci�l $\varphi (\vec r)$, definovan� a
spojit� i s derivacemi a� do druh�ho ��du v dan�m uzav�en�m objemu
(nebo v cel�m prostoru), aby vyhovoval Laplaceov� rovnici
\begin{displaymath}
\Delta \varphi \;=\;0
\end{displaymath}
a okrajov�m podm�nk�m na ploch�ch $S_{i}$
\begin{displaymath}
\varphi |_{S_{i}}\;=\;\varphi _{i}\;=\;\hbox{konst}\;.
\end{displaymath}
Je-li oborem cel� prostor a jsou-li v�echny vodi�e v kone�nu, mus�
platit
\begin{displaymath}
\lim_{r\to \infty }\varphi (\vec r)\;=\;0\;.
\end{displaymath}
\vspace*{2mm}
Lze dok�zat, �e �e�en� z�kladn� �lohy elektrostatiky existuje a je
jedin�. Jednozna�nost �e�en� plyne z v�ty o st�edn� hodnot�
potenci�lu. Uva�me dv� r�zn� �e�en� �lohy $\varphi ,\chi $, vyhovuj�c�
t�m� okrajov�m podm�nk�m. Podle principu superpozice mus� pak b�t
�e�en�m Laplaceovy rovnice tak� funkce $\varphi -\chi $, kter� bude
ov�em na povrchu v�ech vodi�� nulov�. Podle v�ty o st�edn� hodnot�
potenci�lu mus� tato funkce b�t identicky rovna nule i v prostoru mezi
vodi�i, tak�e $\varphi =\chi $, ��m� je jednozna�nost dok�z�na.
P�i �e�en� z�kladn� �lohy elektrostatiky je probl�m vybrat z mnoha
�e�en� Laplaceovy rovnice to, kter� vyhov� okrajov�m podm�nk�m.
Existuje na to �ada metod, kter� zkoum� matematick� fyzika (metoda
elektrostatick�ho zobrazen�, metoda konformn�ho zobrazen�, metoda
Greenov�ch funkc� aj.) Na konci tohoto odstavce se sezn�m�me s
pou�it�m metody elektrostatick�ho zobrazen�.
M�jme v prostoru jeden nabit� vodi�. Potenci�l vytv��en� t�mto vodi�em
v libovoln�m bod� prostoru je z�ejm� �m�rn� jeho n�boji a jinak m��e
z�viset jen na tvaru a velikosti vodi�e. Ozna��me potenci�l na povrchu
tohoto vodi�e jako $\varphi_{0}$. Pom�r n�boje a potenci�lu na povrchu
vodi�e
\begin{equation} \label{kapv}
C\;=\;\frac{Q}{\varphi_{0}}
\end{equation}
naz�v�me {\em kapacitou vodi�e} a m���me ji v jednotk�ch coulomb na
volt naz�van�ch farad. Snadno ov���me, �e kapacita koule o polom�ru
$R$ je rovna $C=4\pi \varepsilon_{0}R$. Farad je p��li� velk� jednotka
a v praxi u��v�me dekadick� d�ly. Tak pova�ujeme-li Zemi za vodivou
kouli, zjist�me, �e jej� kapacita je pouh�ch 710 $~\mu $F.
P�ejdeme-li nyn� k soustav� vodi�� zjist�me, �e n�boje na nich budou
line�rn� z�viset na potenci�lech v�ech vodi��, p�i�em� koeficienty
�m�rnosti jsou d�ny pouze geometrick�mi parametry soustavy:
\begin{eqnarray*}
Q_{i} & = & C_{11}\;\varphi_{1}+C_{12}\;\varphi_{2}+\cdots \\
Q_{2} & = & C_{21}\;\varphi_{1}+C_{22}\;\varphi_{2}+\cdots \\
\cdots
\end{eqnarray*}
neboli zkr�cen�
\begin{equation} \label{kapk}
Q_{i}\;=\;C_{ik}\;\varphi_{k}\;.
\end{equation}
Koeficienty $C_{ik}$ naz�v�me {\em kapacitn� koeficienty}, je-li
$i\not= k$ {\em influen�n� koeficienty}. Vyj�d��me-li naopak
potenci�ly jako funkce n�boj�
\begin{equation} \label{pkoe}
\varphi_{i}\;=\;B_{ik}\;Q_{k}\;,
\end{equation}
dostaneme takzvan� {\em potenci�lov� koeficienty} $B_{ik}$.
P�i nab�jen� soustavy vodi�� kon�me pr�ci, dod�v�me soustav� energii.
Tato energie by nem�la z�viset na tom v jak�m po�ad� a jakou rychlost�
vodi�e nab�j�me. Zvolme tedy takov� postup, �e nab�j�me v�echny vodi�e
sou�asn� a to tak, aby nab�jen� v�ech vodi�� bylo tak� sou�asn�
ukon�eno. Potenci�ly a n�boje vodi�� mus� tedy b�t v ka�d�m okam�iku
�m�rny jejich kone�n�m hodnot�m. Jsou-li kone�n� potenci�ly a n�boje
na vodi��ch $\varphi _{i}, Q_{i} $ a $t$ bezrozm�rn� �asov� parametr
m�n�c� se b�hem nab�jen� od 0 do 1, budou pr�b�n� hodnoty potenci�l�
a n�boj� $\varphi '_{i}=t\varphi _{i}, Q'_{i}=tQ_{i}$. V�sledn�
energie pak bude rovna pr�ci vykonan� nab�jen�m v�ech vodi��
\begin{equation} \label{ensou}
W\;=\;\sum_{i}A_{i}\;=\;\sum_{i}\int_{0}^{Q_{i}}\varphi '_{i}dQ'_{i}\;=\;
\sum_{i}\varphi_{i}Q_{i}\int_{0}^{1}tdt\;=\;\frac{1}{2}\sum_{i}
\varphi _{i}Q_{i}\;.
\end{equation}
Na z�klad� energetick� �vahy zalo�en� na tom, �e v�sledn� energie
nez�vis� na po�ad� nab�jen� vodi�� lze dok�zat, �e matice $C_{ik}$ a
$B_{ik}$ jsou symetrick� ({\em v�ta o vz�jemnosti kapacit}).
Podle (\ref{ensou}) bude energie jednoho osamocen�ho vodi�e rovna
\begin{equation} \label{envo}
W\;=\;\frac{1}{2}\varphi_{0}Q\;=\;\frac{Q^{2}}{2C}\;=\;
\frac{C\varphi_{0}}{2}\;.
\end{equation}
M�jme nyn� soustavu dvou vodi�� (budeme jim ��kat elektrody) nabit�
stejn� velk�mi n�boji opa�n�ho znamen� tak, �e v�echny silo��ry, kter�
vych�zej� z kladn� elektrody se uzav�raj� na z�porn�. Elektrody mohou
m�t podobu nekone�n� rozlehl�ch rovnob�n�ch rovinn�ch desek (tj.
desek velk�ch rozm�r� ve srovn�n� se vzd�lenost� mezi deskami),
koaxi�ln�ch v�lc� nebo koncentrick�ch koul� apod. (viz obr. 2.25).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 2.25} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Sta�� nab�t jen jednu z desek a druhou uzemnit; na n� se pak
naindukuje stejn� velk� opa�n� n�boj. Elektrick� pole bude soust�ed�no
(kondenzov�no) v ohrani�en� oblasti prostoru mezi elektrodami. Uveden�
uspo��d�n� naz�v�me {\em kondenz�torem}. Soustava rovnic (\ref{kapk})
se pak redukuje na
\begin{eqnarray*}
Q & = & C_{11}\;\varphi_{1}+C_{12}\;\varphi_{2} \\
-Q & = & C_{21}\;\varphi_{1}+C_{22}\;\varphi_{2}\;.
\end{eqnarray*}
Rozd�l potenci�l� na elektrod�ch kondenz�toru p�edstavuje nap�t� $U=
\varphi_{1}-\varphi_{2}$. Bude-li kondenz�tor nenabit�, bude nap�t� na
n�m nulov� a $\varphi_{1}=\varphi_{2}$. Z t�to podm�nky a tak� ze
symetrie matice kapacitn�ch koeficient� dost�v�me
$C_{11}=-C_{12}=-C_{21}=C_{22}=C$ a tak m��eme kapacitn� vlastnosti
kondenz�toru popsat jedinou veli�inou zvanou {\em kapacita
kondenz�toru}:
\begin{equation} \label{capk}
C\;=\;\frac{Q}{U}\;.
\end{equation}
Podobn� zjist�me, �e energie nahromad�n� v kondenz�toru bude
\begin{equation} \label{enco}
W\;=\;\frac{1}{2}QU\;=\;\frac{1}{2}CU^{2}\;=\;\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}\;.
\end{equation}
Rovinn� (deskov�) kondenz�tor vytv��� v prostoru mezi deskami
homogenn� elektrick� pole (s v�jimkou okrajov�ch oblast�). Je-li $S$
plocha desek a $d$ vzd�lenost mezi deskami, bude intenzita pole v
takov�m kondenz�toru
\begin{displaymath}
E\;=\;\frac{\sigma }{\varepsilon_{0}}\;=\;\frac{Q}{\varepsilon_{0}S}
\end{displaymath}
a nap�t�
\begin{displaymath}
U\;=\;Ed\;=\;\frac{Qd}{\varepsilon_{0}S}\;.
\end{displaymath}
Odtud kapacita deskov�ho kondenz�toru
\begin{equation}
C\;=\;\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\;.
\end{equation}
P�esn�j�� v�po�et by musel zapo��tat i okrajov� efekty (viz obr.
2.26).
\begin{figure}
\vspace*{3cm}
\centerline{obr. 2.26} \vspace{1cm}
\end{figure}
Lze odhadnout, �e pokud je pom�r vzd�lenosti desek k jejich line�rn�mu
rozm�ru ��dov� 0,01, bude oprava na okrajov� efekty �init asi 2\%.
Dosad�me-li v�raz pro kapacitu deskov�ho kondenz�toru do vztahu pro
energii kondenz�toru (\ref{enco}), dostaneme
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{1}{2}CU^{2}\;=\;\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}(Ed)^{2}\;=
\;\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2}V\;=\;wV\;,
\end{displaymath}
kde $w$ je hustota energie elektrick�ho pole a $V$ objem mezi deskami
kondenz�toru.
Snadno m��eme ur�it {\em kapacitu kulov�ho kondenz�toru} tvo�en�ho
koncentrick�mi kulov�mi elektrodami o polom�rech $R_{1}<R_{2}$. Je-li
nap��klad vn�j�� elektroda uzemn�na a vnit�n� nabita kladn�, bude pole
mezi elektrodami toto�n� s polem bodov�ho n�boje. Nap�t� ur��me jako
\begin{displaymath}
U\;=\;\int_{R_{1}}^{R_{2}}Edr\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{Q}{r^{2}}dr\;=\;\frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}}\;,
\end{displaymath}
odkud pro kapacitu m�me
\begin{equation} \label{kako}
C\;=\;4\pi \varepsilon_{0}~\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}\;.
\end{equation}
V�imn�me si, �e je-li rozd�l polom�r� elektrod mal�, p�ech�z�
(\ref{kako}) ve v�raz pro kapacitu deskov�ho kondenz�toru.
V praxi se pou��vaj� t� v�lcov� kondenz�tory; za v�lcov� kondenz�tor
m��eme konec konc� pova�ovat i koaxi�ln� kabel s vnit�n� a vn�j��
v�lcovou elektrodou. Vnit�n� v�lec m��e b�t pln� (dr�t) nebo dut�.
V�po�tem analogick�m shora proveden�mu ur��me {\em kapacitu v�lcov�ho
kondenz�toru} a {\em kapacitu koaxi�ln�ho kabelu na jednotku d�lky}:
\begin{equation} \label{koax}
C\;=\;\frac{2\pi \varepsilon_{0}l}{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}\;,~~~~~~~~~~
C_{l}\;=\;\frac{2\pi \varepsilon_{0}}{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}\;.
\end{equation}
Nakonec m��eme ur�it {\em kapacitu na jednotku d�lky dvojlinky},
tj.dvojice rovnob�n�ch line�rn�ch vodi�� nabit�ch opa�n�mi n�boji
(viz obr. 2.27).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 2.27} \vspace*{1cm}
\end{figure}
P�itom sice nejde o kondenz�tor v prav�m smyslu, nebo� pole se
rozprost�r� v cel�m prostoru. P�esto v�ak m��eme ur�it potenci�l
integrov�n�m pouze mezi vodi�i a br�t je jako superpozici pol�
buzen�ch ob�ma vodi�i. P�i integrov�n� je podstatn�, �e vodi�e maj�
v�dy kone�n� pr��ez; p�edpoklad o nekone�n� tenk�ch vodi��ch by vedl k
diverguj�c�mu integr�lu. Je-li $R$ polom�r vodi��, $l$ vzd�lenost mezi
jejich st�edy a $\tau $ line�rn� hustota n�boje na nich, m�me
\begin{displaymath}
U\;=\;\int_{R}^{l-R}\frac{\tau }{2\pi \varepsilon_{0}}~\left[ \frac{1}{r}+
\frac{1}{l-r}\right] dr\;=\;\frac{\tau }{\pi \varepsilon_{0}}\ln
\frac{l-R}{R}\;,
\end{displaymath}
a
\begin{equation} \label{dvojl}
C_{l}\;=\;\frac{\pi \varepsilon_{0}}{\ln \frac{l-R}{R}}\;.
\end{equation}
Pot�ebujeme-li z�skat kondenz�tor o zna�n� kapacit�, m��eme bu�
zv�t�ovat plochu elektrod (nap�. u svitkov�ch kondenz�tor�), nebo
zmen�ovat vzd�lenost mezi nimi (elektrolytick� kondenz�tory, kde $d$
dosahuje $10^{-5}$ mm).
Z definice kapacity plynou i zn�m� pravidla o s��t�n� kapacit
kondenz�tor� zapojen�ch s�riov� (kdy se s��taj� nap�t� na elektrod�ch)
a paraleln� (kdy se s��taj� n�boje) (viz obr. 2.28):
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 2.28} \vspace*{1cm}
\end{figure}
\begin{equation} \label{souck}
C_{ser}\;=\;\left( \sum_{i} \frac{1}{C_{i}}\right) ^{-1}\;,~~~~~~~~
C_{par}\;=\;\sum_{i}C_{i}\;.
\end{equation}
\vspace*{3mm}
1. \underline{Elektrostatick� zobrazen�}\\
Uk�eme na zp�sob �e�en� z�kladn� �lohy elektrostatiky metodou
elektrostatick�ho zobrazen�. M�jme vodivou uzemn�nou vodorovnou rovinu
o nulov�m potenci�lu a nad n� ve v��ce $h$ bodov� elektrick� n�boj
$Q$. M�me ur�it elektrostatick� pole v cel�m poloprostoru nad rovinou
(s v�jimkou bodu, v n�m� se nach�z� n�boj $Q$). �loha modeluje
nap��klad situaci mal�ho nabit�ho bou�kov�ho mra�na nad zemsk�m
povrchem. Potenci�l pole mus� spl�ovat Laplaceovu rovnici a okrajovou
podm�nku $\varphi =0$ p�i $h=0$. T�to podm�nce lze v�ak vyhov�t tak,
�e um�st�me zrcadlov� symetricky na druhou stranu roviny (kde n�s
�e�en� stejn� nezaj�m�) stejn� velk� n�boj opa�n�ho znamen� - viz obr.
2.29.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 2.29} \vspace*{1cm}
\end{figure}
V�imn�te si, �e jsme spolu se zrcadlov�m zobrazen�m zm�nili i znamen�
n�boje, tedy zkombinovali prostorovou a n�bojovou symetrii. Pak m��eme
zapomenout na okrajovou podm�nku a �e�it prost� �lohu o superpozici
pol� dvou bodov�ch n�boj�. Pro body bl�zko nad uzemn�nou rovinou
dostaneme �e�en�
\begin{displaymath}
E\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{2Qh}{(r^{2}+h^{2})^{3/2}}\;,
\end{displaymath}
kde $r$ zna�� vzd�lenost od paty kolmice spu�t�n� z n�boje na rovinu.
Je z�ejm�, �e pro $r\gg h$ �e�en� p�ech�z� na pole dip�lu. Na rovin�
se indukuje n�boj opa�n�ho znamen� s plo�nou hustotou $\sigma =
\varepsilon_{0}E$, kter� kles� se vzd�lenost� od paty kolmice. M��eme
si ov��it, �e celkov� indukovan� n�boj bude roven pr�v� $-Q$. Lze t�
spo��tat, �e polovina celkov�ho indukovan�ho n�boje zaujme plochu
kruhu o polom�ru $\sqrt{3}~h$. N�boj $Q$ bude k vodiv� uzemn�n� rovin�
p�itahov�n silou
\begin{displaymath}
F\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{Q^{2}}{4h^{2}}
\end{displaymath}
a pr�ce pot�ebn� ke vzd�len� n�boje od vodiv� st�ny do nekone�na bude
\begin{displaymath}
A\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{Q^{2}}{4h}\;.
\end{displaymath}
V�imn�te si, �e energie dvou n�boj� $Q$ a $-Q$ ve vz�jemn� vzd�lenosti
$2h$ m� velikost dvakr�t v�t��. \vspace*{3mm}
\newpage
2. \underline{Kulov� elektrostatick� zobrazen�}\\
M�jme nyn� uzemn�nou vodivou kouli polom�ru $R$ a ve vzd�lenosti
$x_{1}$ od jej�ho st�edu na ose $x$ bodov� n�boj $Q_{1}$ a hledejme
potenci�l pole vn� koule (obr. 2.30).
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 2.30} \vspace*{1cm}
\end{figure}
Pokusme se splnit podm�nku nulov�ho potenci�lu na povrchu koule
um�st�n�m fiktivn�ho n�boje $Q_{2}$ do vzd�lenosti $x_{2}$ uvnit�
koule. Jsou-li $r_{1},~r_{2}$ vzd�lenosti n�boj� od obecn�ho bodu $A$
na povrchu koule, mus� platit
\begin{displaymath}
\varphi \;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\left( \frac{Q_{1}}{r_{1}}+
\frac{Q_{2}}{r_{2}}\right) \;=\;0\;.
\end{displaymath}
Fiktivn� n�boj $Q_{2}$ mus� spl�ovat podm�nku
\begin{displaymath}
Q_{2}\;=\;-\frac{r_{2}}{r_{1}}\;Q_{1}\;.
\end{displaymath}
P�itom ov�em mus� z�st�vat pom�r $r_{2}/r_{1}$ konstantn� pro v�echny
body na kulov� plo�e. To lze splnit p�i takzvan� kulov� inverzi, kdy
\begin{displaymath}
\frac{r_{2}}{r_{1}}\;=\;\frac{x_{2}}{R}\;=\;\frac{R}{x_{1}},~~~~~
x_{1}x_{2}\;=\;R^{2}\;,
\end{displaymath}
jak se lze p�esv�d�it z podobnosti troj�heln�k� na obr�zku. Hrani�n�
podm�nku tedy spln�me, um�st�me-li do bodu o sou�adnici $x_{2}$ na ose
$x$ n�boj $Q_{2}$, p�i�em�
\begin{displaymath}
x_{2}\;=\;\frac{R^{2}}{x_{1}},~~~~~Q_{2}\;=\;-\frac{x_{2}}{R}Q_{1}\;.
\end{displaymath}
Na uzemn�n� kulov� plo�e se tedy indukuje n�boj $Q_{2}$ a n�boj
$Q_{1}$ je ke kouli p�itahov�n silou
\begin{displaymath}
F\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{Q_{1}^{2}x_{1}R}{(x_{1}^{2}-
R^{2})^{2}}\;.
\end{displaymath}
Pr�ce pot�ebn� ke vzd�len� n�boje do nekone�na je
\begin{displaymath}
A\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{Q_{1}^{2}R}{2~(x_{1}^{2}-R^{2})}\;.
\end{displaymath}
Nebude-li koule uzemn�na (bude-li izolov�na), potom z�ejm� celkov� na
n� indukovan� n�boj mus� b�t nulov�. Mus�me pak doplnit uvnit� koule
dal�� fiktivn� n�boj $-Q_{2}$ a um�stit jej do st�edu kulov� plochy,
aby potenci�l na n� z�stal konstantn�, tj. roven
\begin{displaymath}
\varphi \;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{Q_{1}}{x_{1}}\;.
\end{displaymath}
Snadno zjist�me, �e silov� p�soben� mezi n�bojem $Q_{1}$ a izolovanou
vodivou koul� bude nyn�
\begin{displaymath}
F\;=\;-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{Q_{1}^{2}R^{3}~(2x_{1}^{2}-R^{2})}{x_{1}^{3}~(x_{1}^{2}-R^{2})^{2}}\;.
\end{displaymath}
Pr�ce pot�ebn� ke vzd�len� n�boje je
\begin{displaymath}
A\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{Q_{1}^{2}R^{3}}{2x_{1}^{2}~(x_{1}^{2}-R^{2})}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 5. Dielektrika v elektrostatick�m poli}
\vspace*{1cm}
Dielektrika budeme pova�ovat za t�lesa tvo�en� element�rn�mi
elektrick�mi dip�ly; jejich dip�lov� momenty odpov�daj� moment�m atom�
a molekul, z nich� dielektrikum sest�v�. Elektrick� n�boje jsou tedy v
dielektriku v�z�ny a nemohou se voln� p�emis�ovat. Ve vn�j��m
elektrostatick�m poli se tyto dip�ly budou sna�it orientovat ve sm�ru
silo�ar pole a dielektrikum se bude polarizovat. Naproti tomu
chaotick� tepeln� pohyb atom� a molekul bude p�sobit proti polarizaci.
Dielektrikum bude vytv��et vlastn� polariza�n� pole, kter� bude
oslabovat pole vn�j��. Nem��e ho v�ak zcela vykompenzovat jako v
p��pad� vodi��. Je to d�no t�m, �e u vodi�� se na vytv��en� vlastn�ho
polariza�n�ho pole pod�lej� n�boje z cel�ho objemu, kter� putuj� na
povrch, kde�to u dielektrik se mohou uplatnit pouze nevykompenzovan�
n�boje na povrchu. Je to vid�t na obr�zku 2.31.
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 2.31} \vspace*{1cm}
\end{figure}
V dielektriku mohou b�t ov�em vedle v�zan�ch tak� voln� n�boje. Budeme
proto rozli�ovat objemovou hustotu n�boj� voln�ch ($\rho $), v�zan�ch
($\rho_{v}$) , a celkovou hustotu $\rho_{c}=\rho +\rho_{v}$. Hustota
v�zan�ch n�boj� v�ak souvis� s vektorem polarizace vztahem
(\ref{sigro}). M��eme tedy ps�t Maxwellovu rovnici
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{1}{\varepsilon_{0}}~(\rho +\rho_{v})\;=\;
\frac{1}{\varepsilon_{0}}~(\rho -\hbox{div}\vec P)\;.
\end{displaymath}
Vyn�sob�me-li tuto rovnici $\varepsilon_{0}$, p�evedeme -~div$\vec P$
na levou stranu a zavedeme vektor
\begin{equation} \label{eind}
\vec D\;=\;\varepsilon_{0}\vec E+\vec P\;,
\end{equation}
m��eme zapsat soustavu Maxwellov�ch rovnic pro elektrostatick� pole v
dielektriku jako
\begin{equation} \label{Maxed}
\hbox{div}~\vec D\;=\;\rho\;,~~~~~~\hbox{rot}~\vec E\;=\;0\;.
\end{equation}
��elnost zaveden� vektoru $\vec D$, kter� naz�v�me {\em vektorem
elektrick� indukce}, je v tom, �e se pak m��eme omezit pouze na
zad�n� objemov� hustoty {\em voln�ch} n�boj�; vlastnosti v�zan�ch
n�boj� v dielektriku jsou ji� ve vektoru $\vec D$ obsa�eny. Tak
Gauss�v z�kon pro tok elektrick� indukce bude zn�t
\begin{equation} \label{Gaud}
\Psi \;=\;\oint_{S}\vec D \cdot d\vec S\;=\;\int_{V}\rho ~dV\;,
\end{equation}
kde $\rho $ je hustota voln�ch n�boj�. Nejsou-li v dielektriku voln�
n�boje, nemaj� induk�n� ��ry zdroje a musej� se uzav�rat do sebe. Tak�
je odtud z�ejmo, �e na hranici dvou dielektrik, tj. na plo�e, kde jsou
pouze v�zan� plo�n� n�boje, budou norm�lov� slo�ky vektoru elektrick�
indukce spojit� na rozd�l od slo�ek intenzity pole, kter� zde maj�
skok $\sigma_{v}/ \varepsilon_{0}$. Naproti tomu vektor elektrick�
indukce nem� tak obecn� v�znam jako vektor intenzity elektrick�ho
pole, kter� ur�uje s�lu mezi n�boji. Nem��eme tak� nap��klad udat
obecn� vztah pro rotaci $\vec D$.
Soustava rovnic (\ref{Gaud}) nem� pln� ur�en� �e�en� a bylo by ji
t�eba je�t� doplnit o vztah mezi vektory $\vec E$ a $\vec D$. Z
definice je patrno �e tyto vektory nemus� m�t obecn� ani stejn� sm�r.
Vektor $\vec P$ m��e b�t konstantn�, nez�visl� na vn�j��m elektrick�m
poli. Takov� dielektrika naz�v�me {\em ide�ln� tvrd�mi}. P��kladem
ide�ln� tvrd�ch dielektrik mohou b�t takzvan� {\em elektrety}, kter�
p�edstavuj� obdobu permanentn�ch magnet�. Z�sk�vaj� se nap��klad p�i
tuhnut� sm�si ur�it�ch prysky�ic, vosk� a dal��ch l�tek ve vn�j��m
elektrick�m poli.
V�t�ina dielektrik se v�ak polarizuje teprve pod vlivem vn�j��ho
elektrick�ho pole. Pokud atomy �i molekuly dielektrika maj� vlastn�
elektrick� dip�lov� momenty (takov�m dielektrik�m se ��k� {\em
pol�rn�}), budou se tyto dip�ly ve vn�j��m elektrick�m poli nat��et
ve sm�ru pole. Mluv� o tzv. orienta�n� polarizaci. Pokud tyto ��stice
vlastn� momenty nemaj�, budou se v elektrick�m poli indukovat. Jak
v�me, indukovan� momenty jsou o n�kolik ��d� men�� ne� vlastn�. V obou
p��padech m��eme o�ek�vat, �e pro nep��li� siln� pole bude vektor
polarizace �m�rn� intenzit� pole; takov� dielektrika naz�v�me {\em
ide�ln� m�kk�mi}. Potom
\begin{equation} \label{esusc}
\vec P\;=\;\varepsilon_{0}\chi \vec E\;.
\end{equation}
Konstantu �m�rnosti $\chi $ naz�v�me {\em elektrickou
susceptibilitou}.
Pro dostate�n� siln� pole u n�kter�ch dielektrik (naz�van�ch {\em
feroelektrika}) pozorujeme jev {\em hystereze}. Spo��v� v tom, �e
p�i r�stu intenzity pole se p��m� �m�rnost (\ref{esusc}) naru�uje,
doch�z� k nasycen� (saturaci) polarizace, kter� se bl�� ur�it�
hodnot� $P_{s}$. p�i zmen�ov�n� intenzity nekles� ji� polarizace po
p�vodn� k�ivce (takzvan� panensk� k�ivka), ale dielektrikum z�st�v� i
p�i nulov�m poli zpolarizov�no na �rovni takzvan� {\em remanentn�
polarizace} $P_{r}$. Teprve p�i reverzaci pole na hodnotu {\em
koercitivn�ho pole} $E_{k}$ vrac� se polarizace k nule. Proces se
opakuje s polarizac� v opa�n�m sm�ru a hodnota polarizace tak opisuje
uzav�enou {\em hysterezn� k�ivku} (obr. 2.32).
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.32 \hspace*{6cm} obr. 2.33 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Vra�me se k p�edpokladu, �e mezi polarizac� a intenzitou pole plat�
vztah p��m� �m�rnosti. Potom m��eme ps�t
\begin{equation} \label{epsr}
\vec D\;=\;\varepsilon_{0}\vec E+\vec P\;=\;\varepsilon_{0}\vec E+
\varepsilon_{0}\chi \vec E\;=\;\varepsilon_{0}(1+\chi)\vec E\;=\;
\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\vec E\;=\;\varepsilon \vec E\;.
\end{equation}
Vektor elektrick� indukce je tedy �m�rn� vektoru intenzity
elektrick�ho pole s koeficientem �m�rnosti $\varepsilon $, kter�
naz�v�me {\em absolutn� permitivitou} dielektrika. V soustav� jednotek
SI, kde byla form�ln� zavedena rozm�rn� konstanta $\varepsilon_{0}$,
naz�van� permitivitou vakua, je absolutn� permitivita sou�inem t�to
konstanty a bezrozm�rn� tzv. {\em relativn� permitivity} dielektrika
$\varepsilon_{r}$. Pokud vektory elektrick� indukce a intenzity pole
nemaj� t�� sm�r (nap��klad v krystalech nebo v plazmatu um�st�n�m v
magnetick�m poli), bude m�t permitivita charakter tenzoru a dostaneme
\begin{equation} \label{epst}
D_{i}\;=\;\varepsilon_{ik}~E_{k}\;.
\end{equation}
V dielektriku jsme tedy zavedli veli�inu zvanou elektrick� indukce,
kter� m� v soustav� SI rozm�r [D]=$\hbox{L}^{-2}\hbox{TI}$ a m��� se v
coulombech na �tvere�n� metr a elektrick� induk�n� tok $\Psi $ s
rozm�rem $[\Psi ]= \hbox{TI}$ a m��en� v coulombech.
Podle (\ref{epsr}) plat� mezi relativn� permitivitou a elektrickou
susceptibilitou vztah
\begin{equation} \label{rdsu}
\varepsilon_{r}\;=\;1+\chi \;;
\end{equation}
Proto�e v elektrostatice je elektrick� susceptibilita v�dy kladn�,
bude relativn� permitivita dielektrik v�t�� ne� 1. Relativn�
permitivita dielektrika je d�le�itou makroskopickou charakteristikou
jeho elektrick�ch vlastnost�. Vlo��me-li dielektrikum do homogenn�ho
elektrick�ho pole mezi deskami rovinn�ho kondenz�toru, vzroste jeho
kapacita $\varepsilon_{r}$ - kr�t na
\begin{equation} \label{kondd}
C\;=\;\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\;.
\end{equation}
Proto�e n�boj na desk�ch kondenz�toru z�st�v� stejn�, klesne nap�t� a
intenzita pole v kondenz�toru - dielektrikum pole oslab�. N�zorn� je
to vid�t na obr. 2.33. Dielektrikum se polarizuje ve sm�ru p�vodn�ho
pole $\vec E_{0}$ a na hranic�ch dielektrika vznikaj� plo�n�
polariza�n� n�boje opa�n�ho znamen� ne� jsou n�boje na p��slu�n�ch
desk�ch kondenz�toru. Plo�n� hustota t�chto polariza�n�ch n�boj� je
p�itom rovna $\pm P$. Ty vytvo�� polariza�n� pole $\vec E_{p}=-\vec
P/\varepsilon_{0}$ a pro v�sledn� pole a polarizaci m��eme ps�t
\begin{equation}
\vec E\;=\;\vec E_{0}+\vec E_{p}\;=\;\vec E_{0}-
\frac{\vec P}{\varepsilon_{0}}\;,~~~~~\vec P\;=\;\varepsilon_{0}~(
\varepsilon_{r}-1)~\vec E\;.
\end{equation}
Vyj�d��me-li odtud v�sledn� pole a polarizaci vzhledem k p�vodn�mu
poli ve vakuu, dostaneme
\begin{equation} \label{dkon}
\vec E\;=\;\frac{1}{\varepsilon_{r}}~\vec E_{0}\;,~~~~~\vec P\;=\;
\varepsilon_{0}~\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}}~\vec E_{0}
\end{equation}
Odtud je z�ejmo, �e elektrick� pole v dielektriku je oslabov�no
$\varepsilon_{r}$ - kr�t. V p��pad� nehomogenn�ho pole m��eme v�dy
vz�t dostate�n� mal� objem, v n�m� lze pole pova�ovat za homogenn�
(obr. 2.34).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.34 \hspace*{6cm} obr. 2.35 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Tak pro Coulomb�v z�kon a objemovou hustotu elektrick�ho pole v
dielektriku m��eme nyn� ps�t
\begin{equation} \label{kulen}
F\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}~
\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\;,~~~~~w\;=\;
\frac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}E^{2}}{2}\;=\;
\frac{\vec E\cdot \vec D}{2}\;.
\end{equation}
Z vlastnost� vektor� $\vec E,~\vec D$ plynou t� podm�nky pro zm�nu
jejich slo�ek na rozhran� dvou dielektrik o permitivit�ch
$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ (viz obr. 2.35). Na tomto rozhran�
jsou plo�n� rozlo�eny pouze v�zan� n�boje, tak�e norm�lov� slo�ky
$\vec D$ jsou spojit�. Spojit�mi z�st�vaj� tak� te�n� slo�ky vektoru
$\vec E=\vec D/\varepsilon $, tak�e m�me
\begin{equation} \label{hrpd}
D_{1n}\;=\;D_{2n}\;,~~~~~\frac{D_{1t}}{\varepsilon_{1}}\;=\;
\frac{D_{2t}}{\varepsilon_{2}}\;,
\end{equation}
neboli
\begin{displaymath}
D_{1}\cos \theta_{1}\;=\;D_{2}\cos \theta_{2}\;,~~~~~
E_{1}\sin \theta_{1}\;=\;E_{2}\sin \theta_{2}\;.
\end{displaymath}
D�len�m t�chto vztah� dost�v�me "z�kon lomu" elektrick�ch silo�ar
(induk�n�ch �ar), kter� se li�� od Snelliova z�kona lomu sv�tla:
\begin{equation} \label{lomde}
\frac{\hbox{tg}\theta_{1}}{\hbox{tg}\theta_{2}}\;=\;
\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}\;.
\end{equation}
M��en�m relativn� permitivity dielektrik zjist�me, �e existuj� r�zn�
skupiny takov�ch l�tek, kter� se sv�m chov�n�m, v elektrick�m poli
zna�n� li��. Nav�c tato permitivita jev� i teplotn� z�vislost, kterou
m��eme v prvn�m p�ibl�en� vyj�d�it jako
\begin{equation} \label{pertep}
\varepsilon_{r}\;=\;C_{1}+\frac{C_{2}}{T}\;.
\end{equation}
Tak pro nepol�rn� dielektrika nach�z�me $C_{2}\approx 0$ a hodnoty
statick� permitivity $\varepsilon_{r}\approx 1~-~10$ :
\begin{displaymath}
\begin{array}{lc}
\hbox{l�tka} & \varepsilon_{r}
\vspace{3mm}\\
\hbox{vod�k} &~~~~ 1,00026 \\
\hbox{vzduch} &~~~~ 1,00060 \\
\hbox{oxid uhli�it�} &~~~~ 1,00097 \\
\hbox{olej} &~~~~ 2,24 \\
\hbox{benzen} &~~~~ 2,28 \\
\hbox{skla} &~~~~ 3,7 ~-~ 7,0 \\
\hbox{chlorid sodn�} &~~~~ 6,0
x\end{array}
\end{displaymath}
Pro pol�rn� dielektrika $C_{1}\approx 1 ~~\hbox{a}~~ \varepsilon
_{r}\approx 10 ~-~100$:
\begin{displaymath}
\begin{array}{lc}
\hbox{ethanol} &~~~~ 25,0\\
\hbox{nitrobenzen} &~~~~ 35,7\\
\hbox{voda} &~~~~ 81
\end{array}
\end{displaymath}
Ve dvac�t�ch letech byla zkoum�na nov� skupina l�tek zvan�ch {\em
feroelektrika} (n�kdy t� seignettoelektrika), kter� jevily extr�mn�
vysok� hodnoty relativn� permitivity (��dov� $10^{4}$) a u nich� byl
pozorov�n jev hystereze. Poprv� byly tyto vlastnosti pozorov�ny u
Seignettovy soli (v�nan sodnodraseln�), jin�m feroelektrikem je
titani�itan barnat� aj. Ve feroelektrick�m stavu existuj� v l�tce cel�
oblasti spont�nn� polarizace, zvan� dom�ny, kter� se pak ve vn�j��m
poli orientuj�. Feroelektrick� stav trv� jen pod tzv. {\em Curieovou
tepolotou}, p�i n� l�tka p�ech�z� do paraelektrick�ho stavu a jej�
permitivita prudce kles�.
Permitivita dielektrik se m�n� v p��pad� �asov� prom�nn�ch
elektrick�ch pol�; nap��klad permitivita vody ve vysokofrekven�n�m
poli (optick�ch frekvenc�) kles� a� na hodnotu 1,77. Vedle
feroelektrik existuj� t� l�tky zvan� {\em antiferoelektrika}, u nich�
permitivita pod Curieov�m bodem s rostouc� teplotou roste.
Feroelektrick� l�tky vykazuj� t� takzvan� {\em piezoelektrick� jev}
spo��vaj�c� v tom, �e elastickou deformac� se m�n� elektrick�
polarizace krystalu. Inverzn� jev se naz�v� {\em elektrostrikc�}; p�i
zm�n� pole, kter� m� za n�sledek zm�nu elektrick� polarizace, nast�v�
elektrostrik�n� deformace. Piezoelektrick� jev jev� i n�kter�
krystaly, kter� nejsou feroelektrick�; klasick�m p��kladem je k�emen,
u n�ho� byl tento jev P. Curiem v r. 1880 poprv� pozorov�n. Povrchov�
hustota n�boje u piezoelektrick�ch krystal� je �m�rn� mechanick�mu
nap�t�. Piezoelektrick� konstanta �in� pro k�emen
$2,3.10^{-12}~\hbox{CN}^{-1}$, pro krystal ADP
$5,0.10^{-11}~\hbox{CN}^{-1}$, pro Seignettovu s�l $2,3.10^{-9}~
\hbox{CN}^{-1}$ apod. Piezoelektrick� jev m� zna�n� uplatn�n� p�i
generaci ultrazvuku, stabilizaci kmito�tu apod. Souvis� s dal��m, tzv.
{\em pyroelektrick�m} jevem, kter� byl poprv� pozorov�n u turmal�nu,
kdy p�i zah��t� dielektrika doch�z� k objemov�m zm�n�m a objevuj� se
povrchov� n�boje.
\vspace*{3mm}
1. \underline{Dielektrick� koule ve vn�j��m elektrostatick�m poli}\\
Ur��me intenzitu elektrick�ho pole a polarizaci v objemu dielektrika
kulov�ho tvaru ve vn�j��m elektrostatick�m poli $\vec E$. Budeme �e�it
nap�ed obecn�j�� �lohu o kouli polom�ru $R$ z dielektrika s
permitivitou $\varepsilon_{i}$ obklopen� dielektrikem o permitivit�
$\varepsilon_{e}$. Na z�klad� �e�en� (\ref{koul}) budeme
p�edpokl�dat, �e pole uvnit� koule bude homogenn� a �m�rn� vn�j��mu
poli $\vec E$, pole vn� koule bude superpozic� homogenn�ho pole $\vec
E$ a pole dip�lu, jeho� moment bude rovn� �m�rn� poli $\vec E$. Do
st�edu koule um�st�me po��tek sf�rick� soustavy sou�adnic, osu $z$
vedeme ve sm�ru elektrick�ho pole $\vec E$ a �hel $\theta $ ode��t�me
od tohoto sm�ru. Pro pole uvnit� a vn� koule m�me tedy
\begin{displaymath}
\vec E_{i}\;=\;a~\vec E\;,~~~\vec E_{e}\;=\;\vec E+b~\left(
\frac{3Ez\vec r}{r^{5}}-\frac{\vec E}{r^{3}}\right) \;,
\end{displaymath}
kde $a$ a $b$ jsou konstanty, kter� mus�me ur�it z hrani�n�ch podm�nek
$E_{ti}=E_{te},~~D_{ni}=D_{ne}$ p�i $r=R$. M�me tedy
\begin{displaymath}
a~E~\sin \theta \;=\;E~\sin \theta-b~\frac{E\sin \theta }{R^{3}}\;,
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\varepsilon_{i}a~E~\cos \theta \;=\;\varepsilon_{e}\left[ E~\cos \theta +
\frac{3bE\cos \theta }{R^{3}}-\frac{bE\cos \theta }{R^{3}}\right] \;.
\end{displaymath}
Z prvn� podm�nky dostaneme vztah mezi konstantami $a,~b$
\begin{displaymath}
a\;=\;1-\frac{b}{R^{3}}
\end{displaymath}
a z druh�
\begin{displaymath}
\varepsilon_{i}\left( 1-\frac{b}{R^{3}}\right) \;=\;\varepsilon_{e}\left(
1+\frac{2b}{R^{3}}\right) \;,
\end{displaymath}
odkud
\begin{displaymath}
\frac{b}{R^{3}}\;=\;
\frac{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{e}}{2\varepsilon_{e}+\varepsilon_{i}}\;,
\end{displaymath}
tak�e
\begin{equation} \label{Landau}
E_{i}\;=\;\frac{3\varepsilon_{e}}{2\varepsilon_{e}+\varepsilon_{i}}~E\;.
\end{equation}
M�jme nyn� kouli z m�kk�ho dielektrika, kterou vlo��me do vn�j��ho
elektrick�ho pole (obr. 3.36).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.36 \hspace*{6cm} obr. 2.37 \vspace*{1cm}
\end{figure}
Pole uvnit� t�to koule bude homogenn�, bude m��it ve sm�ru vn�j��ho
pole $E_{0}$ a polo��me-li v (\ref{Landau})
$\varepsilon_{e}=\varepsilon_{0},~
\varepsilon_{i}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$, dostaneme pro pole
uvnit� koule
\begin{equation} \label{Landko}
E_{k}\;=\;\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}~E_{0}\;.
\end{equation}
K t�mu� v�sledku dosp�jeme, budeme-li pole uvnit� koule pova�ovat za
superpozici pole $E_{0}$ a pole polarizovan� koule (\ref{koul}). Ze
vztah�
\begin{displaymath}
E_{k}\;=\;E_{0}-\frac{1}{3\varepsilon_{0}}~P,~~P\;=\;\varepsilon_{0}
(\varepsilon_{r}-1)~E_{k}
\end{displaymath}
plyne
\begin{equation}
E_{k}\;=\;\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}~E_{0}\;,~~P\;=\;3\varepsilon_{0}
\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2}~E_{0}\;.
\end{equation}
Bude-li dielektrikum tvrd�, bude vektor $\vec P$ konstantn�, na
vn�j��m poli nez�visl�.
M�me-li v elektrick�m poli obecn� dielektrick� elipsoid, bude pole
uvnit� elipsoidu
\begin{equation} \label{elips}
\vec E_{el}\;=\;\vec E_{0}-N\frac{\vec P}{\varepsilon_{0}}\;,
\end{equation}
kde $N$ se naz�v� {\em depolariza�n� faktor}. P��pad $N=0$ odpov�d�
nekone�n� dlouh�mu v�lci, jeho� osa je rovnob�n� s polem, $N=1/3$
kouli, $N=1/2$ v�lci s osou kolmou k poli, $N=1$ rovinn� vrstv�. Je-li
elipsoid obecn� velmi prot�hl� ve sm�ru pole, depolariza�n� faktor
kles�. Naopak v ploch�m elipsoidu je depolariza�n� faktor bl�zk�
jedni�ce a pole v n�m je bl�zk� $E_{0}/\varepsilon_{r}$.
Ur��me je�t� energii polarizovan� dielektrick� koule ve vn�j��m poli.
U tvrd�ho dielektrika jde z�ejm� o energii dip�lu ve vn�j��m poli:
\begin{equation} \label{endik}
W\;=\;-(\vec P\cdot \vec E_{0})~V\;,
\end{equation}
kde $V$ je objem koule. V p��pad� m�kk�ho dielektrika se p�i��t�
energie pot�ebn� ke zpolarizov�n� dielektrika. Zm�n�-li se vektor
polarizace o $d\vec P$, zm�n� se energie koule o $(E_{0}\cdot d\vec
P)~V$. Proto�e $\vec P=k\vec E_{0}$, bude celkov� pr�ce
\begin{displaymath}
A\;=\;V\int_{0}^{P}\vec E_{0}\cdot d\vec P\;=\;kV\int_{0}^{P}\vec P\cdot
d\vec P\;=\;\frac{1}{2}(\vec E_{0}\cdot \vec P)V\;.
\end{displaymath}
Energie koule z m�kk�ho dielektrika tedy bude
\begin{equation} \label{endim}
W\;=\;-\frac{1}{2}(\vec P\cdot \vec E_{0})~V\;.
\end{equation}
\vspace*{3mm}
2. \underline{Kulov� dutina v dielektriku}\\
M�jme nyn� nekone�n� m�kk� dielektrikum, v n�m� je homogenn�
elektrick� pole s intenzitou $\vec E$, a v n�m kulovou dutinu polom�ru
$R$ (obr. 2.37). Pole uvnit� dutiny ur��me z (\ref{Landau}), kde
polo��me $\varepsilon_{i}=
\varepsilon_{0},~\varepsilon_{e}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$:
\begin{equation} \label{dutL}
E_{d}\;=\;\frac{3\varepsilon_{r}}{2\varepsilon_{r}+1}~E\;.
\end{equation}
N�kdy je t�eba ur�it pole v kulov� dutin� v tvrd�m dielektriku, kter�
z�st�v� homogenn� zpolarizov�no i po vy��znut� dutiny nebo v dutin�
vy��znut� pouze my�lenn�. Potom pole v dutin� bude superpozic�
homogenn�ho pole $\vec E$ od n�ho� ode��t�me pole polarizovan� koule
(na hranic�ch dutiny z�st�vaj� naindukov�ny povrchov� n�boje opa�n�ho
znamen� ne� n�boje odebran� s koul�). Potom z rovnic
\begin{displaymath}
E_{d}\;=\;E+\frac{1}{3\varepsilon_{0}}P,~~P\;=\;\varepsilon_{0}(
\varepsilon_{r}-1)E
\end{displaymath}
dostaneme
\begin{equation} \label{dutt}
E_{d}\;=\;\frac{\varepsilon_{r}+2}{3}~E\;.
\end{equation}
\vspace*{3mm}
3. \underline{Clausi�v - Mosottiho vztah}\\
Z mikroskopick� teorie dielektrika lze ur�it vztah mezi atomovou
polarizovatelnost� a elektrickou susceptibilitou, resp. relativn�
permitivitou dielektrika. U nepol�rn�ch l�tek jej vyjad�uje tzv. {\em
Clausi�v - Mosottiho vztah}. V�sledn� polarizace je z�ejm� d�na
sou�tem indukovan�ch elektrick�ch dip�l� v jednotce objemu. Je-li
koncentrace atom� rovna $n$, dost�v�me s pou�it�m (\ref{polar})
\begin{displaymath}
\vec P=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)~\vec E=\alpha n\vec E\;.
\end{displaymath}
Odtud
\begin{equation} \label{Clamo}
\varepsilon_{r}\;=\;1+\frac{\alpha n}{\varepsilon_{0}},~~~~~~~\chi\;=\;
\frac{\alpha n}{\varepsilon_{0}}\;.
\end{equation}
P�itom jsme v�ak nebrali v �vahu polariza�n� pole, tj. vz�jemn�
p�soben� mezi dip�ly. P�i mal� koncentraci ��stic (plyny) je m��eme
zanedbat. Ne tak u kapalin a pevn�ch l�tek. Za p�edpokladu, �e vliv
ostatn�ch dip�l� m��eme vyj�d�it makroskopicky, tj. zanedbat v
podstat� chaotick� mikroskopick� pole vyvol�van� nejbli���mi
sousedn�mi atomy, obklop�me dan� atom my�lenou kulovou plochou a
pou�ijeme v�razu pro pole uvnit� kulov� dutiny v dielektriku
(\ref{dutt}). Tak dostaneme
\begin{displaymath}
P\;=\;\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)~E\;=\;3\varepsilon_{0}~
\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2}~E_{d}\;=\;\alpha ~n~E_{d}\;,
\end{displaymath}
tak�e
\begin{equation} \label{Clamos}
\varepsilon_{r}\;=\;
\frac{1+\frac{2\alpha n}{3\varepsilon_{0}}}{1-\frac{\alpha n}{3\varepsilon_{0}}}
,~~~\chi\;=\;
\frac{\frac{\alpha n}{\varepsilon_{0}}}{1-\frac{\alpha n}{3\varepsilon_{0}}}
\;.
\end{equation}
Uveden� v�razy vyjad�uj� Clausi�v - Mosottiho vztah. Vid�me, �e takto
ur�en� hodnota permitivity dielektrika je teplotn� nez�visl� (pokud se
nem�n� koncentrace). P�i mal�ch hodnot�ch $n$ p�ech�z� v�sledek
(\ref{Clamo}) v (\ref{Clamos}). \vspace*{3mm}
4. \underline{Debyeova - Langevinova teorie orienta�n� polarizace}\\
V�imn�me si nyn� permitivity pol�rn�ch dielektrik. Vedle konstantn�,
teplotn� nez�visl� slo�ky atomov� polarizovatelnosti se z�ejm� uplatn�
uspo��d�v�n� ji� existuj�c�ch dip�lov�ch moment� ve vn�j��m poli, tj.
orienta�n� polarizovatelnost. Je mo�no o�ek�vat, �e s r�stem teploty a
rychlosti chaotick�ho pohybu se bude toto uspo��d�n� naru�ovat a
celkov� polarizace se bude zmen�ovat. Je-li koncentrace dip�l� $n$,
jejich velikost $p$ a ozna��me-li $\theta$ �hel, kter� sv�r� dip�l se
sm�rem pole, bude z�ejm� velikost vektoru polarizace d�na vztahem
\begin{displaymath}
P\;=\;n~p~\langle \cos \theta \rangle \;.
\end{displaymath}
Je tedy t�eba ur�it st�edn� hodnotu $\cos \theta$. Proto�e na tomto
kosinu z�vis� energie dip�lu v elektrick�m poli vztahem
\begin{displaymath}
\langle \cos \theta \rangle \;=\;- \frac{1}{pE}~\langle W \rangle ,
\end{displaymath}
jde o to ur�it st�edn� hodnotu energie. P�edpokl�d�me-li Boltzmannovo
rozd�len� pro po�et dip�l� s energi� $W$
\begin{displaymath}
n_{W}\;=\;\hbox{konst}~\hbox{e}^{-\frac{W}{kT}}
\end{displaymath}
($k$ je Boltzmannova konstanta), dostaneme integrov�n�m
\begin{displaymath}
\langle \cos \theta \rangle \;=\;- \frac{1}{pE}~~
\frac{\int_{0}^{\infty }~W~\hbox{e}^{-\frac{W}{kT}}~dW}{\int_{0}^{\infty }~
\hbox{e}^{-\frac{W}{kT}}~dW}\;=\;
\frac{\int_{0}^{\pi }~\cos \theta ~\hbox{e}^{a\cos \theta}~\sin \theta ~
d\theta }{\int_{0}^{\pi }~\hbox{e}^{a\cos \theta }~\sin \theta ~d\theta }
\;=\;\hbox{cotgh}~a~-~\frac{1}{a}\;=\;L(a)\;.
\end{displaymath}
Zde jsme ozna�ili bezrozm�rnou prom�nnou $a=(pE)/(kT)$. V�sledek
integrov�n� d� takzvanou Langevinovu funkci $L(a)$, kterou lze
rozlo�it do �ady pro mal� hodnoty $a$:
\begin{displaymath}
L{a}\;=\;\frac{a}{3}~-~\frac{a^{3}}{45}~+~\cdots \;.
\end{displaymath}
Uv��me-li jen prvn� �len tohoto rozvoje, dostaneme
\begin{equation} \label{Deblan}
P\;=\;\frac{npa}{3}\;=\;\frac{np^{2}}{3kT}~E,~~~~\chi \;=\;
\frac{np^{2}}{3\varepsilon_{0}kT},~~~~\varepsilon_{r}\;=\;1+
\frac{np^{2}}{3\varepsilon_{0}kT}\;.
\end{equation}
Jev�-li dielektrikum atomovou i orienta�n� polarizovatelnost, bude
teplotn� z�vislost relativn� permitivity d�na jako (\ref{pertep}) s
konstantami
\begin{equation} \label{prtep}
C_{1}\;=\;1~+~\frac{\alpha n}{\varepsilon_{0}}\;,\;C_{2}\;=\;
\frac{np^{2}}{3\varepsilon_{0}k}\;.
\end{equation}
Z�skan� v�sledek plat� ov�em za �ady zjednodu�uj�c�ch p�edpoklad�
($pE\ll kT$,~nep��li� velk� koncentrace dip�l�, mo�nost jejich voln�ho
ot��en�, mo�nost zanedbat vz�jemn� p�soben� mezi dip�ly), kter� nemus�
b�t v�dy spln�ny. \vspace*{3cm}
{\bf\Large P��klady}
\vspace*{1cm}
2.1 Dv� stejn� mal� kuli�ky o hmotnostech $m=1~\hbox{g}$ vis� na dvou
nit�ch d�lky $l=1~\hbox{m}$. Nabijeme-li je souhlasn�m n�bojem stejn�
velikosti $q$, rozestoup� se tak, �e niti budou sv�rat prav� �hel.
Ur�ete velikost n�boje $q$.
\begin{flushright}
$[1,5.10^{-6}~\hbox{C}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.2 Na dvou stejn�ch vodn�ch kapk�ch je po jednom p�ebyte�n�m
elektronu, p�i�em� s�la elektrick�ho odpuzov�n� je stejn� velk� jako
s�la gravita�n�ho p�itahov�n�. Ur�ete polom�r kapek.
\begin{flushright}
$[7,63.10^{-5}~\hbox{m}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.3 T�i n�boje $-e,~e,~-e$ jsou um�st�ny v uveden�m po�ad� ve stejn�ch
vzd�lenostech $a$. Ur�ete s�ly p�sob�c� na ka�d� n�boj a
elektrostatickou energii soustavy.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{3e^{2}}{4a^{2}},~~~-~
\frac{1}{8\pi \varepsilon_{0}}~\frac{3e^{2}}{a}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.4 Najd�te takov� geometrick� uspo��d�n� jednoho protonu a dvou
elektron� na jedn� p��mce, aby elektrostatick� energie soustavy byla
nulov�.
\begin{flushright}
$\left[ -~e,-~e,e,~\hbox{pom�r
vzd�lenost�}~\frac{1+\sqrt{5}}{2}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.5 Najd�te energii pot�ebnou k um�st�n� �ty� elektron� do vrchol�
�ty�st�nu o hran� $a=10^{-10}$m, v jeho� st�edu je proton.
\begin{flushright}
$[-~1,226.10^{-18}~\hbox{J}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.6 Atomov� j�dra t�k�ch prvk� m��eme pova�ovat za koule nabit� s
objemovou hustotou n�boje $\rho = \frac{4}{3}.10^{25}\hbox{C.m}^{-3}$.
Jak se zm�n� elektrostatick� energie p�i symetrick�m rozpadu j�dra
uranu na dv� stejn� j�dra palladia?
\begin{flushright}
$\left[ \Delta W=\frac{1}{4\pi \varepsilon
_{0}}~\frac{3}{5}~\frac{Q^{2}}{R} \left(
1-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\right) =6,65.10^{-11}~\hbox{J}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.7 Bodov� n�boj je um�st�n a) ve st�edu krychle, b) v jednom z roh�
krychle. Ur�ete tok intenzity elektrick�ho pole ka�dou ze st�n
krychle.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{1}{6}~\frac{q}{\varepsilon_{0}};~~~\frac{1}{24}~
\frac{q}{\varepsilon_{0}},~~0~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.8 Tenk� ty� nabit� s line�rn� hustotou n�boje $\tau $ je um�st�na na
ose $z$ mezi body $z=a, ~z=-a$. Ur�ete potenci�l v bodech na ose
$x>0$.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\tau }{2\pi \varepsilon_{0}}~\ln
\frac{a+\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.9 Ur�ete potenci�l ve st�edu desti�ky nabit� n�bojem $Q$, m�-li
desti�ka tvar a) kruhu o polom�ru $R$, b) �tverce o stran� $a$.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{Q}{2\pi \varepsilon_{0}R},~~~\frac{Q}{\pi
\varepsilon_{0}a} \ln (1+\sqrt{2})~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.10 Ur�ete potenci�l a velikost intenzity elektrick�ho pole na ose
kruhov�ho kotou�e polom�ru $R$ nabit�ho s plo�nou hustotou n�boje
$\sigma $.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\sigma
}{2\varepsilon_{0}}~(\sqrt{R^{2}+h^{2}}-|h|),~~~ \frac{\sigma
}{2\varepsilon_{0}}~\left(\pm1-\frac{h}{\sqrt{R^{2}+h^{2}}}
\right) ~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.11 Ur�ete velikost intenzity elektrick�ho pole ve st�edu kulov�
slupky polom�ru $R$, je-li jedna jej� polovina nabita s plo�nou
hustotou $\sigma $.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\sigma }{4\varepsilon_{0}}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.12 Z vodiv� m�dlov� bubliny polom�ru $R=2$cm nabit� na potenci�l
$\varphi =10^{4}$V vznikne po prasknut� kapka vody o polom�ru
$r=0,05$cm. Ur�ete potenci�l kapky.
\begin{flushright}
$[4.10^{5}~\hbox{V}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.13 Tenk� ty� je ohnuta do tvaru t�m�� uzav�en� kru�nice polom�ru
$r=0,5$m. Mezi konci z�st�v� mezera ���ky $d=2~\hbox{cm}$, ty� nese
n�boj $q=3,34.10^{-10}~\hbox{C}$. Ur�ete velikost a sm�r elektrick�ho
pole ve st�edu kru�nice.
\begin{flushright}
$[7,6.10^{-2}~\hbox{V.m}^{-1}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.14 M�jme kulovou slupku polom�ru $R$ nabitou s plo�nou hustotou
$\sigma $. V okol� vybran�ho bodu na t�to plo�e se��zneme mal� kulov�
vrchl�k o polom�ru $a\ll R$. Ur�ete velikost elektrick�ho pole
uprost�ed otvoru.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left( 1+\frac{1}{4}~
\frac{a^{2}}{R^{2}}\right)~ \right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.15 Intenzita elektrostatick�ho pole u povrchu Zem� je
$100~\hbox{V.m}^{-1}$ a m��� sm�rem dol�. Ur�ete n�boj a potenci�l
Zem�.
\begin{flushright}
$[-4.10^{5}~\hbox{C},~~~-6.10^{8}~\hbox{V}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\newpage 2.16 Jak� maxim�ln� n�boj se udr�� na kovov� kouli o polom�ru
$R=10~\hbox{cm}$, je-li dielektrick� pevnost vzduchu
$30~\hbox{kV.cm}^{-1}$?
\begin{flushright}
$[3,3.10^{-6}~\hbox{C}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.17 Bodov� n�boje jsou uspo��d�ny a) ve vrcholech rovnostrann�ho
troj�heln�ka o stran� $a$ v po�ad� $q,~q,~-2q$, b) ve vrcholech
�tverce o stran� $a$ v po�ad� $-q,~q,~q,~-q$, c) v po�ad�
$-q,~q,~-q,~q$. Ur�ete elektrick� dip�lov� moment soustavy.
\begin{flushright}
$[aq\sqrt{3},~~~2aq,~~~0~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.18 Ur�ete elektrick� dip�lov� moment tenk� ty�e d�lky $l$ a) jej�
jedna polovina je nabita kladn� a druh� z�porn� s line�rn� hustotou
n�boje $\tau $, b) jej� n�bojov� hustota roste line�rn� od
$-\tau_{0}$ na jednom konci k $+\tau_{0}$ na druh�m konci.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{l^{2}\tau }{4},~~~\frac{l^{2}\tau_{0}}{6}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.19 N�boj je rozlo�en na povrchu koule o polom�ru $R$ tak, �e na
jedn� polokouli je kladn� n�boj s hustotou $\sigma $, na druh�
polokouli z�porn� n�boj s hustotou $-\sigma $. Ur�ete elektrick�
dip�lov� moment koule. Jak� bude tento moment, budou-li ob� polokoule
nabity objemov� s opa�n�mi n�boji t�e velikosti objemov� hustoty
$\rho $ ?
\begin{flushright}
$\left[ 2\pi \sigma R^{3},~~~~~\frac{1}{2}~\pi \rho R^{4}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.20 Elektrick� dip�l o momentu $\vec p\equiv (0,p,0)$ le�� v bod�
$(x,0,0)$ v elektrick�m poli bodov�ho n�boje $q$ um�st�n�ho v po��tku.
Ur�ete s�lu $\vec F$ a moment silov� dvojice $\vec D$, kter� budou na
dip�l p�sobit.
\begin{flushright}
$\left[ F_{y}=\frac{qp}{4\pi \varepsilon_{0}x^{3}},~~~D_{z}=-~
\frac{qp}{4\pi \varepsilon_{0}x^{2}}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.21 �ty�i n�boje $q,~-q,~q,~-q$ jsou v tomto po�ad� rozm�st�ny v
roz�ch �tverce o stran� $a$. Ur�ete hlavn� kvadrup�lov� momenty
soustavy.
\begin{flushright}
$[3qa^{2},~-3qa^{2},~0~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.22 Ur�ete elektrick� kvadrup�lov� moment rota�n�ho elipsoidu.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{2}{5}~q~(c^{2}-a^{2})~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.23 Mra�no mal�ch rozm�r� nesouc� n�boj $Q=20~\hbox{C}$ je ve v��ce
$h=1~\hbox{km}$ nad povrchem Zem�. Ur�ete intenzitu elektrostatick�ho
pole vzbuzen�ho t�mto n�bojem na povrchu Zem� ve vzd�lenosti
$l=3~\hbox{km}$ od m�sta nad n�m� se vzn�� mrak.
\begin{flushright}
$[1,14.10^{4}~\hbox{V.m}^{-1}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\newpage 2.24 N�boj $q$ je ve vzd�lenosti $2R$ od st�edu uzemn�n�
vodiv� koule polom�ru $R$. Jakou pr�ci vykon�me, vzd�l�me-li tento
n�boj do nekone�na? Jak� bude v�sledek, bude-li koule izolov�na?
\begin{flushright}
$\left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{q^{2}}{6R},~~~
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{q^{2}}{24R}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.25 Mal� kuli�ka nesouc� n�boj $1,67.10^{-8}~\hbox{C}$ je ve
vzd�lenosti 3 cm od rovinn� kovov� st�ny, kter� je uzemn�na. Jakou
silou je kuli�ka ke st�n� p�itahov�na?
\begin{flushright}
$[6,9.10^{-4}~\hbox{N}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.26 Kolik elektron� tvo�� n�boj kuli�ky o hmotnosti
$10^{-11}~\hbox{g}$, jestli�e je udr�ov�na v rovnov�ze v deskov�m
kondenz�toru jeho� desky jsou od sebe vzd�leny 5 mm a jsou nabity na
nap�t� 76,5 V ?
\begin{flushright}
[40]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.27 Kovov� koule polom�ru $R$ je uzemn�na. Ve vzd�lenosti $2R$ od
st�edu koule je um�st�n bodov� n�boj $q$. Ur�ete n�boj $q'$ indukovan�
na kouli.
\begin{flushright}
$\left[-~\frac{q}{2}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.28 Jakou plochu by musely m�t elektrody deskov�ho kondenz�toru o
vzd�lenosti 1 mm aby kondenz�tor m�l kapacitu 1 F ?
\begin{flushright}
$[113~\hbox{km}^{2}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.29 Jakou silou se p�itahuj� desky kondenz�toru?
\begin{flushright}
$\left[ -~\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}S}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.30 M�jme v�lcov� kondenz�tor o polom�rech elektrod
$R_{1}=3~\hbox{cm},~ R_{2}=10~\hbox{cm}$ nabit� na nap�t� 450 V.
Ur�ete n�boj p�ipadaj�c� na jednotkovou d�lku, plo�nou hustotu n�boje
na ka�d�m z v�lc� a intenzitu elektrostatick�ho pole ve st�edu
vzd�lenosti mezi v�lci.
\begin{flushright}
$[2,1.10^{-8}~\hbox{C.m}^{-1},~~1,1.10^{-7}~\hbox{C.m}^{-2},~~3,3.10^{-8}~
\hbox{C.m}^{-2},~~~58,1~\hbox{V.cm}^{-1}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.31 Ur�ete nap�t� mezi dv�ma koncentrick�mi koulemi o polom�rech
$R_{1}< R_{2}$ a n�boj�ch $Q_{1},~Q_{2}$.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{Q_{1}}{4\pi
\varepsilon{0}}~\frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}}~ \right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.32 Ur�ete kapacitu veden� tvo�en�ho dv�ma rovnob�n�mi dr�ty d�lky 9
km, polom�ru 1 mm a vz�jemn� vzd�lenosti 15 cm.
\begin{flushright}
$[0,05~\mu F~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\newpage 2.33 Kondenz�tor (Geiger�v - M\"uller�v po��ta�) je tvo�en
dr�tem o polom�ru 5 mm a koaxi�ln�m v�lcem polom�ru 5 cm. Na jak�
maxim�ln� nap�t� m��eme kondenz�tor nab�t, je-li pr�razn� nap�t�
vzduchu $30~\hbox{kV.cm}^{-1}$ ? Jak se bude m�nit rozlo�en� pr�b�hu
nap�t� mezi elektrodami, budeme-li zmen�ovat polom�r vnit�n�
elektrody?
\begin{flushright}
$[3,45.10^{4}~\hbox{V}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.34 Ur�ete kapacitu mezi body $A,~B$ soustavy konden�tor� na obr.
2.38. V�echny kondenz�tory maj� stejnou kapacitu $C$.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{11}{5}~C~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm} obr. 2.38 \hspace*{6cm} obr. 2.39 \vspace*{1cm}
\end{figure}
2.35 Deskov� kondenz�tor je z poloviny zapln�n dielektrikem o
relativn� permitivit� $\varepsilon_{r}$, a to a) rovnob�n� s deskami,
b) kolmo k desk�m (viz obr. 2.40). Jak se zm�n� jeho kapacita?
\begin{flushright}
$\left[ \frac{2\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{r}+1},~~~
\frac{\varepsilon_{r}+2}{2} ~~~\hbox{kr�t}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.36 Prostor mezi deskami kondenz�toru je zapln�n dielektrikem, jeho�
permitivita se m�n� line�rn� od hodnoty $\varepsilon_{1}$ u jedn�
desky k $\varepsilon_{2}$ u druh� desky. Ur�ete jeho kapacitu.
\begin{flushright}
$\left[
\frac{(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1})~S}{\ln(\varepsilon_{2}/
\varepsilon_{1})~d}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.37 Deskov� vzduchov� kondenz�tor m� kapacitu $C_{0}$. Je p�ipojen ke
zdroji nap�t� $U_{0}$ a je na n�m nashrom�d�na energie $W_{0}$. Potom
je pono�en do oleje o relativn� permitivit� $\varepsilon_{r}$, p�i�em�
z�st�v� p�ipojen ke zdroji nap�t�. Jeho energie se zm�n� na $W_{1}$.
Nakonec jej odpoj�me od zdroje a vyjmeme z oleje. Bude na n�m nap�t�
$U_{2}$ a energie $W_{2}$.Ur�ete $W_{1},~~U_{2},~~W_{2}$.
\begin{flushright}
$[\varepsilon_{r}~W_{0},~~~\varepsilon_{r}~U_{0},~~\varepsilon_{r}^{2}~W_{0}~
] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.38 Ur�ete polarizovatelnost $\alpha $ atomu helia, je-li jeho
relativn� permitivita za norm�ln�ch podm�nek
$\varepsilon_{r}=1,000074$.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\alpha }{4\pi
\varepsilon_{0}}=0,219.10^{-30}~\hbox{m}^{3}~ \right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.39 Indukovan� elektrick� dip�lov� moment kuli�ky z vosku
($\varepsilon_{r}= 3$) v elektrick�m poli je 1,5 kr�t men�� ne� u
stejn� velk� sklen�n� kuli�ky. Jak� je relativn� permitivita skla?
\begin{flushright}
[5,5]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.40 Jak� bude velikost indukovan�ho dip�lov�ho momenmtu vodiv�
kuli�ky polom�ru $R$ v poli $E_{0}$, budeme-li br�t
$\varepsilon_{r}\rightarrow \infty ?$.
\begin{flushright}
$[4\pi \varepsilon_{0}R^{3}E_{0}~]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
2.41 M�me kondenz�tor s olejov�m dielektrikem ($\varepsilon_{r}=2,24$)
a intenzitou elektrick�ho pole $E=9.10^{6}~\hbox{V.m}^{-1}$. V oleji
vznikne bublina plynu. Jak� bude intenzita pole v bublin�?
\begin{flushright}
$[1,1.10^{7}~\hbox{V.m}^{-1}~]$
\end{flushright}
\end{document}
