\centerline{{\bf\huge 5.~E~L~E~K~T~R~O~M~A~G~N~E~T~I~C~K~�}}
\vspace*{1cm}
\centerline{{\bf\huge P~O~L~E}}
\zeroequation{5}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 1. Elektromagnetick� indukce}
\vspace*{2cm}
\setcounter{page}{183}
Vlo��me-li vodi� do statick�ho (stacion�rn�ho) elektrick�ho pole, budou se
na jeho povrchu indukovat elektrick� n�boje. Tomuto jevu se ��k�
elektrostatick� indukce. Mohli bychom o�ek�vat, �e vlo��me-li vodi� ve
tvaru uzav�en� smy�ky do vn�j��ho magnetick�ho pole (tj. do pole jin�
smy�ky prot�kan� stacion�rn�m proudem), bude se ve smy�ce indukovat
elektrick� proud. Nic takov�ho se v�ak ned�je. Kdy� Faraday prov�d�l
(1831) experimenty tohoto druhu, v�iml si v�ak, �e p�i zapnut� a vypnut�
elektromotorick�ho nap�t� v prvn� smy�ce se objevily kr�tkodob� proudov�
impulsy v druh� smy�ce. Tak dosp�l k objevu {\em elektromagnetick� indukce},
kter� se projevuje u prom�nn�ch, nestacion�rn�ch proud�.
Uva�me vodi� ve tvaru ty�ky orientovan� ve sm�ru osy $x$, kter� se pohybuje
kolmo k magnetick�mu poli ve sm�ru osy $y$ rychlost� $\vec v$ (obr. 5.1).
Na voln� n�boje ve vodi�i bude p�sobit Lorentzova s�la, kter� uvnit� vodi�e
vyvol� ekvivalentn� elektrick� pole
\begin{displaymath}
\vec E\;=\;-~\vec v\times \vec B\;.
\end{displaymath}
T�m dojde k p�erozd�len� n�boje a polarizaci vodi�e. Mohlo by se zd�t divn�,
�e uvnit� vodi�e p�sob� elektrick� pole a mohli bychom se pt�t, co se s
t�mto polem stane v soustav� sou�adn� spojen� s vodi�em. Pak jde o statick�
vodi� a pole uvnit� mus� b�t nulov�. V tomto p��pad� v�ak pole skute�n�
vymiz�, proto�e p�i p�echodu ke klidov� soustav� vznikne pole $\vec E=
\vec v\times \vec B$, kter� vykompenzuje s�lu se strany magnetick�ho pole. Uvnit�
vodi�e je pak pole nulov� a vn� vodi�e je pole vytv��eno povrchov�m n�bojem,
kter� ov�em existuje v ka�d� vzta�n� soustav�.
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.1
\hspace*{6cm}
obr. 5.2
\vspace*{1cm}
\end{figure}
M�jme nyn� uzav�enou smy�ku obd�ln�kov�ho tvaru (obr. 5.2) v rovin� kolm�
k magnetick�mu poli, se stranou $a$ ve sm�ru osy $y$ a stranou $b$ ve sm�ru
osy $x$ pohybuj�c� se sm�rem $y$ rychlost� $\vec v$. Bude-li magnetick� pole
homogenn�, dojde pouze k p�erozd�len� n�boj� na smy�ce. Bude-li v�ak pole
ve sm�ru pohybu smy�ky nehomogenn�, bude pr�ce sil magnetick�ho pole
p�sob�c�ch na n�boj pod�l uzav�en� smy�ky r�zn� od nuly:
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec F~\cdot ~d\vec l\;=\;q~v~(B_{1}-B_{2})~b\;=\;{\cal E}^{ind}~q,
\end{displaymath}
kde ${\cal E}^{ind}$ je indukovan� elektromotorick� nap�t�.
Za �asov� interval $dt$ se smy�ka posune o vzd�lenost $vdt$ ve sm�ru osy $y$.
Magnetick� induk�n� tok smy�kou se p�itom zm�n� o
\begin{displaymath}
d\Phi \;=\;(B_{2}-B_{1})~b~v~dt\;.
\end{displaymath}
Porovn�n�m obou vztah� zjist�me, �e v obvodu se indukuje elektromotorick�
nap�t�
\begin{equation} \label{Farad}
{\cal E}^{ind}\;=\;-\frac{d\Phi }{dt}\;.
\end{equation}
Vztah (\ref{Farad}) vyjad�uje Faraday�v {\em z�kon elektromagnetick� indukce}.
Plat� zcela obecn�, bez ohledu na to, jak�m zp�sobem doch�z� ke zm�n�
induk�n�ho toku $\Phi $. Na�i �vahu o pohybu smy�ky bychom mohli postupn�
zobec�ovat na libovoln� pohyb smy�ky obecn�ho tvaru nebo na p��pad, kdy
smy�ka z�st�v� v klidu a v �ase se m�n� magnetick� indukce. V
elektromagnetick�ch stroj�ch se nej�ast�ji smy�ka ot��� v homogenn�m
magnetick�m poli a t�m se m�n� induk�n� tok.
D�le�it� je, �e indukovan� elektromotorick� nap�t� p�sob� v opa�n�m sm�ru,
ne� zm�na, kter� je vyvolala. Vyjad�uje to znam�nko minus v (\ref{Farad})
a s touto situac� jsme se vlastn� u� setkali p�i studiu diamagnetismu. Toto
pravidlo o sm�ru p�soben� indukovan�ho emn se naz�v� {\em Lenzovo pravidlo}.
Uva�me dv� nehybn� vodiv� smy�ky ve vakuu. Nech� v prvn� (prim�rn�) smy�ce
dojde ke zm�n� elektrick�ho proudu. Tato zm�na vyvol� zm�nu magnetick�ho pole
vytv��en�ho touto smy�kou, a tedy i zm�nu induk�n�ho toku druhou (sekund�rn�)
smy�kou. V n� se pak indukuje emn a za�ne prot�kat indukovan� proud. Ten
te�e v takov�n sm�ru, aby j�m vytv��en� magnetick� pole p�sobilo proti zm�n�
induk�n�ho toku (z�porn� zp�tn� vazba). Kdyby tomu tak nebylo, zm�na
magnetick�ho pole by se zv�t�ovala nade v�echny meze. Doch�z� tedy k t�mto
zm�n�m:
\begin{displaymath}
\frac{dI_{1}}{dt}~\to~\frac{dB_{1}}{dt}~\to~\frac{d\Phi_{12}}{dt}~\to~
{\cal E}_{2}^{ind}~\to ~I_{2}~\to~B_{2}\;.
\end{displaymath}
Z�kon elektromagnetick� indukce je projevem obecn� vlastnosti hmoty, kterou
ozna�ujeme jako setrva�nost, a je p�irozenou reakc� odporu proti zm�n�. Tato
vlastnost zaji��uje stabilitu p��rodn�ch proces�.
Indukovan� proudy vznikaj� nejen v r�zn�ch vodi��ch, ale i v t�m�e vodi�i,
dojde-li ke zm�n� magnetick�ho toku. V masivn�cvh vodi��ch se projevuj� jako
tzv. {\em v��iv�} neboli {\em Foucaultovy proudy}, kter�ch se vyu��v�
nap��klad k tlumen� oscilac� pohybliv�ch ��st� elektrick�ch p��stroj�.
P�edstavuj� vlastn� magnetick� t�en�. Existenci v��iv�ch proud� mus�me br�t
v �vahu p�i konstrukci transform�torov�ch jader, stator� a rotor� dynam a
elektromotor� i jinde, kde jsou ne��douc�m jevem. \\
Jev elektromagnetick� indukce m� i dal�� zaj�mav� d�sledek spo��vaj�c�
v tom, �e st��dav� proudy a elektromagnetick� vlny nepronikaj� p��li�
hluboko do objemu vodi�� a z�st�vaj� soust�ed�ny v tenk� povrchov� vrstv�.
��k� se tomu {\em skinefekt} podle anglick�ho skin = k��e. Tak st��dav�
proudy prot�kaj�c� vodi�em nejsou rozlo�eny rovnom�rn� po jeho pr��ezu,
ale prot�kaj� v povrchov� vrstv� t�m ten��, ��m je frekvence proudu a
konduktivita vodi�e vodi�e vy���. �e�en�m Maxwellov�ch rovnic s uv�en�m
Faradayova z�kona elektromagnetick� indukce (viz nap�. knihu Sedl�k, �toll:
Elekt�ina a magnetismus) lze ur�it tlou��ku t�to povrchov� vrstvy jako
\begin{equation} \label {skin}
\Delta \;=\;\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}~\omega \sigma }}\;.
\end{equation}
Zde $\omega $ je �hlov� frekvence st��dav�ho proudu, $\sigma $ konduktivita
vodi�e; relativn� permeabilitu vodi�e klademe rovnu jedn�. \\
Faraday�v z�kon elektromagnetick� indukce lze vyj�d�it i v diferenci�ln�m
tvaru. M�me
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec E\cdot d\vec l\;=\;-\frac{d}{dt}~\int_{S}\vec B\cdot d\vec S
\end{displaymath}
a pou�ijeme-li Stokesovu v�tu, dostaneme na lev� stran� plo�n� integr�l rotace
$\vec E$, odkud
\begin{equation} \label{Faradd}
\hbox{rot}~\vec E\;=\; -~\frac{\partial \vec B}{\partial t}\;.
\end{equation}
V �asov� prom�nn�m poli tedy u� nen� elektrick� pole potenci�ln� a je sv�z�no
s polem magnetick�m. M��eme zase shrnout Maxwellovy rovnice pro �asov� prom�nn�
pole ve vakuu a srovnat je s rovnicemi pro stacion�rn� pole (4.28). Nyn� m�me
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}~~~~~~~~~~\hbox{rot}~
\vec B\;=\;\mu_{0}~\vec j~+~?
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Maxk}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec B}{\partial t}~~~~~~~~~~\hbox{div}~
\vec B\;=\;0\;.
\end{equation}
Rovnice pro div $\vec E$ (Gauss�v z�kon) a div $\vec B$ pova�ujeme za platn� i v
p��pad� nestacion�rn�ho pole, ot�zkou pouze z�st�v�, zda bude v �asov�
prom�nn�m poli platit rovnice pro rot $\vec B$. Na prvn� pohled je z�ejm�
ur�it� nesymetrie t�chto rovnic - rotace elektrick�ho pole z�vis� na zm�n�
magnetick�ho pole a dala by se o�ek�vat i obr�cen� z�vislost. M�me v�ak k
dospozici je�t� rovnici kontinuity vyjad�uj�c� z�kon zachov�n� elektrick�ho
n�boje, kter� m� pro nestacion�rn� proud tvar (3.8). Aplikujeme-li operaci
divergence na Amp�r�v z�kon, dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{div~rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\hbox{div}~\vec j\;=\;0.
\end{displaymath}
To ov�em plat� jen ve stacion�rn�m poli, obecn� m�me
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec j\;=\;-~\frac{\partial \rho }{\partial t}\;.
\end{displaymath}
Zkus�me tedy nahradit otazn��ek v rovnic�ch (\ref{Maxk}) a napsat
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\vec j+\alpha ~
\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;,
\end{displaymath}
kde $\alpha $ je t�eba ur�it porovn�n�m s rovnic� kontinuity. Pak m�me
\begin{displaymath}
\hbox{div~rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\hbox{div}~\vec j\;+\;\alpha ~\hbox{div}~
\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;=\;\mu_{0}~\hbox{div}~\vec j\;+\;
\frac{\alpha }{\varepsilon_{0}}~\frac{\partial \rho }{\partial t}\;=\;
\mu_{0}~\left( ~\hbox{div}~\vec j\;+\;\frac{\alpha }{\varepsilon_{0}\mu_{0}}~
\frac{\partial \rho }{\partial t}~\right) \;=\;0\;.
\end{displaymath}
Rovnice kontinuity bude spln�na, polo��me-li
\begin{displaymath}
\alpha \;=\;\varepsilon_{0}~\mu_{0}\;=\;\frac{1}{c^{2}}\;.
\end{displaymath}
T�m dost�v�me soustavu Maxwellov�ch rovnic ve vakuu konsistentn� se z�konem
zachov�n� n�boje pro �asov� obecn� prom�nn�, nestacion�rn� pole
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}~~~~~~~~~~\hbox{rot}~\vec B
\;=\;\mu_{0}~\vec j\;+\;\frac{1}{c^{2}}~\frac{\partial \vec E}{\partial t}
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Maxn}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec B}{\partial t}~~~~~~~~~~\hbox{div}
~\vec B\;=\;0\;.
\end{equation}
Nov� dopln�n� �len
\begin{equation} \label{posuv}
\mu_{0}~\varepsilon_{0}~\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;=\;\frac{1}{c^{2}}
~\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;=\;\mu_{0}~\vec j_{M}
\end{equation}
vyjad�uje Maxwell�v posuvn� proud ve vakuu a dosp�li jsme k n�mu pouze na
z�klad� teoretick� �vahy, bez odvol�n� na experiment�ln� poznatek. Existence
tohoto proudu o hustot� $\vec j_{M}$ byla skute�n� experiment�ln� prok�z�na
a� po Maxwellov�ch prac�ch a tak byl odhalen zvl�tn� druh elektrick�ho,
nestacion�rn�ho proudu, kter� nen� spojen s p�emis�ov�n�m n�boj�.
P���ina toho, pro� nebyl pozorov�n d��ve tkv� v koeficientu $1/c^{2}$, kter�
je velmi mal�. Posuvn� proud se tak projev� a� p�i velmi rychl�ch zm�n�ch
elektrick�ho pole, vysokofrekven�n�ch proudech, kdy tak� �asov� derivace
$\partial \vec E/\partial t$ je velk�. P�i pomal�ch zm�n�ch pole, nap��klad
p�i pr�myslov�ch frekvenc�ch 50 nebo 60 Hz, m��eme tedy Maxwell�v posuvn�
proud zanedbat a pou��vat soustavu rovnic s Amp�rov�m z�konem bez otazn��ku
v (\ref{Maxk}). P�itom p�edpokl�d�me, �e magnetick� pole z�st�v� �m�rn�
voln�mu proudu $\vec j$, �e sta�� sledovat jeho zm�ny. Elektromagnetick�
pole spl�uj�c� soustavu rovnic (\ref{Maxk}) naz�v�me {\em kvazistacion�rn�}.
V tomto a n�sleduj�c�m odstavci se budeme zab�vat pr�v� kvazistacion�rn�mi
proudy a obvody.
P�i vysok�ch frekvenc�ch posuvn� proud zanedbat nelze a je t�eba pou��vat
kompletn� soustavu Maxwellov�ch rovnic (\ref{Maxn}). V takov�m p��pad�
doch�z� k vyza�ov�n� elektromagnetick�ch vln. Skute�n�, kdybychom cht�li po
oby�ejn�m elektrick�m veden� p�en�et vysokofrekven�n� proudy, zm�nilo by se
n�m toto veden� v ant�nu. P�edpov�� existence elektromagnetick�ch vln byla
jedn�m z nejv�t��ch �sp�ch� Maxwellovy teorie. Maxwell p�edev��m ustanovil,
�e sv�tlo je p���n� elektromagnetick� vln�n� - proto se tak� v soustav�
Maxwellov�ch rovnic objevila rychlost sv�tla ve vakuu $c$. D�le zjistil,
�e soustava rovnic pro elektromagnetick� pole ve vakuu {\em bez n�boj� a
proud�}, tj p�i $\rho =0,~\vec j=0$,
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;0~~~~~~~~~~\hbox{rot}~\vec B\;=\;\frac{1}{c^{2}}
~\frac{\partial \vec E}{\partial t}
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Maxo}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec B}{\partial t}~~~~~~~~~~\hbox{div}
~\vec B\;=\;0
\end{equation}
m� netrivi�ln� �e�en�. Elektromagnetick� pole se m��e odtrhnout od n�boj�
a proud� a za��t samostatn� existovat v podob� elektromagnetick� vlny.
Soustava Maxwellov�ch rovnic tak tak� nab�v� kr�sn� symetrie. \\
Vr�t�me se ke kvazistacion�rn�mu poli. Uva�me proudovou smy�ku, pro n�
m��eme definovat induk�nost $L$. Zavedli jsme ji definic� (4.69) a hraje
pro smy�ku podobnou �lohu jako kapacita pro nabit� vodi�. Naz�v�me ji
{\em vlastn� induk�nost�} smy�ky.
M�me-li v prostoru v�ce smy�ek, budou vz�jemn� induk�n� prov�z�ny sv�mi
magnetick�mi toky a m��eme op�t ps�t soustavu line�rn�ch rovnic vyjad�uj�c�ch
vztahy mezi proudy a magnetick�mi toky ve smy�k�ch, jako u kapacit rovnice
(2.47). Potom m�me
\begin{equation} \label{indu}
\Phi_{i}\;=\;L_{ik}~I_{k}\;.
\end{equation}
Koeficienty $L_{ik}$ se naz�vaj� {\em induk�n�mi koeficienty}, koeficienty
s r�zn�mi indexy jsou {\em vz�jemn� induk�nosti}, kter� n�kdy ozna�ujeme jako
$L_{ik}=M_{ik}$. V soustav� SI m���me induk�nosti v jednotk�ch henry (H).
Pro vz�jemn� induk�nosti plat� op�t {\em v�ta o vz�jemnosti} $M_{ik}=M_{ki}$,
kterou m��eme dok�zat bu� z energetick� �vahy (nez�le�� na po�ad� v jak�m
proudy v jednotliv�ch smy�k�ch nab�haj�) nebo n�sleduj�c�m zp�sobem.
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 5.3}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
M�jme dv� smy�ky jako na obr. 5.3. Induk�n� tok smy�kou m��eme vyj�d�it
pomoc� vektorov�ho potenci�lu jako
\begin{displaymath}
\Phi\;=\;\int_{S}~\vec B\cdot d\vec S\;=\;\int_{S}~\hbox{rot}~\vec A\cdot
d\vec S\;=\;\oint_{l}~\vec A\cdot d\vec l\;.
\end{displaymath}
Potom podle (4.32)
\begin{equation} \label{vzin}
M_{12}\;=\;\frac{\Phi_{12}}{I_{2}}\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\oint_{l_{1}}
\oint_{l_{2}}~\frac{d\vec l_{1}\cdot d\vec l_{2}}{R}\;.
\end{equation}
V�sledek nez�vis� na po�ad� index� 1 a 2, ��m� je v�ta o vz�jemnosti dok�z�na.
\\
Induk�nost m��eme definovat i pomoc� Faradayova z�kona (dynamick� definice
induk�nosti). V $i$-t� smy�ce se indukuje emn
\begin{displaymath}
{\cal E}_{i}^{ind}\;=\;-~\frac{d\Phi_{i}}{dt}\;=\;-~\sum_{k}~L_{ik}~
\frac{dI_{k}}{dt}\;.
\end{displaymath}
Pro jednu smy�ku tedy
\begin{equation} \label{inddy}
{\cal E}^{ind}\;=\;-~\frac{d\Phi }{dt}\;=\;-~L~\frac{dI}{dt}\;.
\end{equation}
\\
S uv�en�m indukovan�ho emn bude Ohm�v z�kon v uzav�en�m obvodu zn�t
\begin{equation} \label{ohmi}
{\cal E}\;=\;R~I\;+\;L~\frac{dI}{dt}
\end{equation}
a Joule�v z�kon
\begin{equation} \label{Jouli}
{\cal E}~I\;=\;R~I^{2}\;+\;L~I~\frac{dI}{dt}\;,
\end{equation}
kde pod $R$ jsme zahrnuli i vnit�n� odpory zdroj�. ��st v�konu emn se tedy
nevratn� m�n� v tepelnou energii a ��st se spot�ebov�v� na kompenzaci zm�n
induk�n�ho toku. Prot�k�-li smy�kou stacion�rn� proud, musel postupn�
nar�stat od nulov� hodnoty a ��st pr�ce vn�j��ho zdroje se m�nila v energii
magnetick�ho pole smy�ky. Ke zv�t�en� induk�n�ho toku o $d\Phi $ bylo t�eba
vykonat pr�ci $dA=Id\Phi $, tak�e celkov� pr�ce k vytvo�en� magnetick�ho
pole smy�ku je rovna
\begin{equation} \label{eners}
W\;=\;\int ~L~I~\frac{dI}{dt}~dt\;=\;\int_{0}^{I}~L~I~dI\;=\;\frac{1}{2}~L~
I^{2}\;=\;\frac{1}{2}~I~\Phi \;.
\end{equation}
Ur��me-li celkovou energii magnetick�ho pole vyvolan�ho proudem ve smy�ce
m��eme pak jej� induk�nost stanovit podle (\ref{eners}).
Tak� energii soustavy proudov�ch smy�ek m��eme ur�it integrov�n�m hustoty
energie magnetick�ho pole ( 4.36) v cel�m prostoru:
\begin{displaymath}
W\;=\;\frac{1}{2}~\sum_{i}~I_{i}~\Phi_{i}\;=\;\frac{1}{2}~\sum_{i}~I_{i}~
\int_{S_{i}}\vec B_{i}~\cdot ~d\vec S_{i}\;=\;\frac{1}{2}~\sum_{i}~I_{i}~
\int_{S_{i}}~(\hbox{rot}~\vec A_{i})~\cdot ~d\vec S_{i}\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{1}{2}~\sum_{i}~I_{i}\oint_{l_{i}}\vec A~\cdot ~d\vec l_{i}\;=\;
\frac{1}{2}~\sum_{i}~\int_{V_{i}}~(\vec A_{i}~\cdot ~\vec j_{i})~dV_{i}\;=\;
\frac{1}{2}~\int_{\infty}~(\vec A~\cdot ~\vec j)~dV\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{1}{2\mu_{0}}~
\int_{\infty }~\vec A~\cdot ~\hbox{rot}~\vec B~dV\;=
\;\frac{1}{2\mu_{0}}~
\int_{\infty }~\hbox{div}~(\vec B\times \vec A)~dV\;+\;\frac{1}{2\mu_{0}}~
\int_{\infty }~\vec B~\cdot ~\hbox{rot}~\vec A~dV\;=
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{mages}
=\;\frac{1}{2\mu_{0}}~\int_{S\to \infty}~\vec B\times \vec A~\cdot ~d\vec S\;
+\;\frac{1}{2\mu_{0}}~\int_{\infty }~B^{2}~dV\;=\;\int_{\infty }~w_{m}~dV\;.
\end{equation}
Objemov� integrov�n� jsme roz���ili z objem� smy�ek na cel� prostor - pokud
v n�m nete�e proud je jeho p��sp�vek k $\vec A\cdot \vec j$ nulov�. P�i
rozp�n�m� plochy $S$ do nekone�na jsme brali v �vahu, �e pole $\vec B$
kles� jako $1/r^{2}$ a vektorov� potenci�l jako $1/r$, tak�e plo�n� integr�l
jde k nule.
\newpage
1. \underline{Silov� ��inky magnetick�ho pole na pohybuj�c� se vodi�} \\
Mechanick� ��inky spojen� s elektromagnetickou indukc� jsou z�kladem
elektromotor�. Na obr. 5.4 je pohybliv� vodi� hmotnosti $m$ ,kter� m��e
voln� klouzat po dvou nekone�n�ch vodiv�ch kolejnic�ch v rovin� kolm� k
magnetick�mu poli. Pro jednoduchost zanedb�me odpor vodi�e a ��st� kolejnic
vytv��ej�c�ch smy�ku.
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 5.4}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Nech� v obvodu p�sob� konstantn� emn {\cal E} tak, �e obvodem prot�k� proud
$I$ proti sm�ru hodinov�ch ru�i�ek. Na pohybliv� vodi� p�itom p�sob� s�la o
velikosti
\begin{displaymath}
F\;=\;I~b~B\;=\;m~\frac{dv}{dt}
\end{displaymath}
a tento vodi� se za�ne pohybovat prom�nnou rychlost� $v(t)$. P�i pohybu se
m�n� induk�n� tok smy�kou a vznik� v n�m indukovan� nap�t� $-bBv(t)$. Z
Ohmova z�kona
\begin{displaymath}
I(t)\;=\;\frac{1}{R}~[{\cal E}~-~b~B~v(t)]
\end{displaymath}
a dosad�me-li za $I$ z v�razu pro s�lu, dostaneme nehomogenn� rovnici pro
$v(t)$:
\begin{displaymath}
\frac{dv}{dt}~+~\frac{B^{2}b^{2}}{mR}~v\;=\;\frac{{\cal E}Bb}{mR}\;.
\end{displaymath}
Jej� �e�en� je
\begin{displaymath}
v(t)\;=\;\frac{{\cal E}}{Bb}~\left(1~-~\hbox{e}^{-\frac{B^{2}b^{2}}{mR}t}
\right) \;.
\end{displaymath}
Rychlost vodi�e tedy postupn� poroste k ust�len� hodnot� $v_{\infty }=
{\cal E}/Bb$. Celkov� v�kon emn je
\begin{displaymath}
{\cal E}~I\;=\;R~I^{2}\;+\;I~B~b~v\;.
\end{displaymath}
Spot�ebuje se jednak na ohmick� ztr�ty, jednak na pohon vodi�e. Vznikl
line�rn� motor, kter� ov�em nem��e pracovat trvale. \\
M��eme si p�edstavit opa�nou situaci, kdy v obvodu emn nep�sob�, ale vn�j��
s�la pohybuje vodi�em. M�-li se vodi� pohybovat konstantn� rychlost�, je
t�eba, aby tato s�la byla kompenzov�na silou magnetickou, tj. byla rovna
\begin{displaymath}
F\;=\;-I~B~b\;=\;-\frac{{\cal E}^{ind}Bb}{R}\;=\;\frac{B^{2}b^{2}}{R}~v\;.
\end{displaymath}
Potom vznikne elektrick� gener�tor a v n�m bude vznikat indukovan� nap�t�
\begin{displaymath}
{\cal E}^{ind}\;=\;-\frac{FR}{bB}\;,
\end{displaymath}
pokud ov�em d�lka kolejnic dovol� pokra�ovat v pohybu.
\vspace*{3mm}
2. \underline{Induk�nost solenoidu} \\
Na obr. 5.5 je zn�zorn�n solenoid kone�n� d�lky $l$ a polom�ru $R$.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 5.5}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Pokud zanedb�me okrajov� efekty a budeme pova�ovat pole v solenoidu za
homogenn�, m��eme ur�it jeho induk�nost bu� pomoc� statick� definice,
dynamick� definice nebo z energie nahromad�n� v solenoidu. Induk�n� tok
pr��ezem solenoidu
\begin{displaymath}
\Phi\;=\;B~S\;=\;\mu_{0}~I~n.\pi R^{2}
\end{displaymath}
mus�me br�t jako $N$-n�sobn�, kde $N$ je celkov� po�et z�vit�. Tak dostaneme
\begin{displaymath}
L\;=\;\frac{N~\Phi}{I}\;=\;\mu_{0}~n~V~\frac{N}{l}\;=\;\mu_{0}~n^{2}~V\;.
\end{displaymath}
Zde $V$ je objem solenoidu a $n$ po�et z�vit� na jednotku d�lky. T�� v�sledek
bychom pochopiteln� dostali ze vztahu $L=2W/I^{2}$, kde $W$ je celkov�
magnetick� energie v objemu solenoidu. P�esn� v�po�et s ohledem na okrajov�
efekty d�v�
\begin{displaymath}
L\;=\;k~\mu_{0}~n^{2}~V,~~~~\hbox{kde}~~~~~k\;=\;1-\frac{8R}{3\pi l}+
\frac{R^{2}}{2l^{2}}-\frac{R^{4}}{4l^{4}}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
3. \underline{Vlastn� induk�nost p��m�ch vodi��} \\
Chcemeli ur�it vlastn� induk�nost p�ipadaj�c� na jednotku d�lky nekone�n�ho
p��m�ho vodi�e prot�kan�ho proudem $I$, m��eme postupovat tak, �e v axi�ln�
rovin� plo�n� p�s jednotkov� ���ky vych�zej�c� kolmo z vodi�e a ur��me
celkov� induk�n� tok t�mto p�sem (obr. 5.6).
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.6
\hspace*{6cm}
obr. 5.7
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Tok diferenci�ln� plo�kou $dS$ bude $d\Phi =Bdr$, a tedy
\begin{displaymath}
L_{l}\;=\;\frac{\Phi_{l}}{I}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~\int_{0}^{\infty }~
\frac{dr}{r}\;.
\end{displaymath}
Tento integr�l, jak zn�mo, diverguje p�i $r\to 0$ i p�i $r\to \infty $.
Nen� to chyba p��rody, ale na�e - nekone�n� dlouh� ani nekone�n� tenk�
vodi�e neexistuj�. P�ipust�me-li, �e vodi� m� kone�n� pr��ez polom�ru $R$,
m��eme ur�it p��sp�vek $L_{li}$ k vlastn� induk�nosti d�ky induk�n�mu toku
uvnit� pln�ho vodi�e. Tam je magnetick� indukce
\begin{displaymath}
B\;=\;\frac{\mu_{0}~I~r}{2\pi ~R^{2}}\;.
\end{displaymath}
Je-li vodi� dut�, je v n�m magnetick� pole nulov� a tato ��st vlastn�
induk�nosti (naz�v�me ji vnit�n� induk�nost�) odpad�. Induk�n� tok plo�kou
ve vodi�i ve vzd�lenosti $r<R$ od osy obep�n� ov�em jen ��st proudu rovnou
$r^{2}/R^{2}$-tin� celkov�ho proudu. Mus�me tok proto br�t jako $r^{2}/R^{2}$
-n�sobn�. Potom vnit�n� induk�nost vodi�e na jednotku d�lky bude
\begin{equation} \label{vnii}
L_{li}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi ~R^{4}}~\int_{0}^{R}~r^{3}~dr\;=\;
\frac{\mu_{0}}{8\pi }\;.
\end{equation}
Pro $r\to \infty $ nem��eme v p��pad� jednoho nekone�n�ho vodi�e divergenci
integr�lu odstranit. Je to t�m, �e i v p��pad� �e proud p�ich�z� a odch�z�
z nekone�na, mus�, lidov� �e�eno, j�t jednou tam a jednou zp�tky. M� tedy
smysl uva�ovat induk�nost dvojlinky na jednotku d�lky (obr. 5.7). Pak sta��
uva�ovat tok p�sem jednotkov� ���ky mezi ob�ma vodi�i; po stran�ch dvojlinky
se toky obou vodi�� vyru��. Je-li $l$ vzd�lenost os obou vodi�� a $R$ jejich
polom�r, a jsou-li vodi�e dut�, dostaneme
\begin{displaymath}
L_{l}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~\left( ~\int_{R}^{l-R}~\frac{dr}{r}\;+\;
\int_{R}^{l-r}~\frac{dr}{l-r}~\right)
\end{displaymath}
a provedeme-li v druh�m integr�lu substituci $l-r=s$, dostaneme
\begin{displaymath}
L_{l}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }\left( ~\int_{R}^{l-R}~\frac{dr}{r}\;+\;
\int_{R}^{l-R}~\frac{ds}{s}~\right) \;,
\end{displaymath}
neboli
\begin{equation} \label{indjd}
L_{l}\;=\;\frac{\mu_{0}}{\pi }~\ln \frac{l-R}{R}\;.
\end{equation}
Nejsou-li vodi�e dut�, je t�eba p�i��st je�t� vnit�n� induk�nost (\ref{vnii})
od ka�d�ho vodi�e, tj. $\mu_{0}/4\pi $.
P�ipomeneme-li si v�raz pro kapacitu dvojlinky na jednotku d�lky (2.56),
zjist�me, �e plat�
\begin{equation} \label{kapind}
L_{l}~C_{l}\;=\;\varepsilon_{0}~\mu_{0}\;=\;\frac{1}{c^{2}}\;.
\end{equation}
\vspace*{3mm}
4. \underline{Vlastn� induk�nost koaxi�ln�ho kabelu} \\
M�jme koaxi�ln� kabel tvo�en� dv�ma dut�mi vodi�i o polom�rech $R_{1}<R_{2}$,
tak�e magnetick� pole je soust�ed�no v prostoru mezi vodi�i. Energii tohoto
pole p�ipadaj�c� na jednotku d�lky ur��me jako
\begin{displaymath}
W_{l}\;=\;\frac{1}{2\mu_{0}}~\int_{V}~B^{2}~dV\;=\;\frac{1}{2\mu_{0}}~
\int_{R_{1}}^{R_{2}}~B^{2}~2\pi ~r~dr\;=\;\frac{\mu_{0}~I^{2}}{4\pi }~
\int_{R_{1}}^{R_{2}}~\frac{dr}{r}\;=\;\frac{\mu_{0}~I^{2}}{4\pi }~\ln
\frac{R_{2}}{R_{1}}\;.
\end{displaymath}
Induk�nost bude tedy
\begin{equation} \label{indkoj}
L_{l}\;=\;\frac{2~W_{l}}{I^{2}}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~\ln
\frac{R_{2}}{R_{1}}\;.
\end{equation}
Nebude-li vnit�n� vodi� dut�, p�i�te se vnit�n� induk�nost (\ref{vnii}).
Srovn�n�m s kapacitou na jednotku d�lky (2.55) zjist�me, �e op�t plat�
(\ref{kapind}).
\vspace*{3mm}
5. \underline{Vlastn� induk�nost kruhov� smy�ky} \\
M�me ur�it induk�nost kruhov� smy�ky prot�kan� proudem. V�me ji�, �e smy�ku
nebudeme moci pova�ovat za nekone�n� tenkou, n�br� mus�me j� p�ipsat kone�n�
pr��ez o polom�ru $R\ll r$, kde $r$ je polom�r smy�ky. K ur�en� vlastn�
induk�nosti bychom m�li ur�it celkov� induk�n� tok plochou ohrani�enou
osovou kru�nic� smy�ky. M��eme ji op�t rozd�lit na induk�nost vnit�n� a
vn�j��. Vnit�n� induk�nost je spojena s tokem mezikru��m plochy $\pi R
(2r-R)$ uvnit� vodi�e a vn�j�� s tokem plochou kruhu o polom�ru $r-R$.
U vnit�n� induk�nosti dost�v�me z (\ref{vnii})
\begin{displaymath}
L_{i}\;=\;\frac{\mu_{0}}{8\pi }~.~2\pi~r\;=\;\frac{\mu_{0}~r}{4}\;.
\end{displaymath}
Pokud jde o vn�j�� induk�nost, museli bychom zn�t pr�b�h magnetick�ho pole
na cel� kruhov� plo�e ohrani�en� smy�kou. Proto�e vn� smy�ky m��eme pova�ovat
proud za tekouc� po nekone�n� tenk� osov� kru�nici, je �loha ekvivalentn�
v�po�tu vz�jemn� induk�nosti dvou tenk�ch koncentrick�ch kruhov�ch smy�ek
o polom�rech $r$ a $r-R$. V�po�et nen� snadn�, vede na eliptick� integr�ly
a lze jej naj�t nap��klad v knize Petr��lka, �afrata: Elekt�ina a magnetismus.
Jako p�ibli�n� v�sledek dost�v�me
\begin{displaymath}
L_{e}\;=\;\mu_{0}~r\left( ~\ln \frac{8r}{R}\;-\;\frac{7}{4}~\right) \;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
6. \underline{Vz�jemn� induk�nost dvou smy�ek a c�vek} \\
M�jme dv� souos� kruhov� smy�ky o polom�rech $R_{2}\ll R_{1}$, jejich� st�edy
jsou vzd�leny o v��ku $h$ (obr. 5.8).
\begin{figure}
\vspace*{9cm}
\centerline{obr. 5.8}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Magnetick� pole na ose velk� smy�ky
\begin{displaymath}
B\;=\;\frac{1}{2}~\mu_{0}~I_{1}~\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1}^{2}+h^{2})^{3/2}}
\end{displaymath}
m��eme pova�ovat v plo�e mal� smy�ky p�ibli�n� za homogenn�, tak�e vz�jemn�
induk�nost bude
\begin{displaymath}
M_{12}\;=\;\frac{\pi \mu_{0}}{2}~
\frac{R_{1}^{2}~R_{2}^{2}}{(R_{1}^{2}+h^{2})^{3/2}}\;.
\end{displaymath}
Budou-li smy�ky v t�e rovin�, dostaneme
\begin{displaymath}
M_{12}\;=\;\frac{\mu_{0}~S_{2}}{2~R_{1}}\;.
\end{displaymath}
\\
M�jme nyn� dv� c�vky o polom�rech $R_{1},~R_{2}$, po�tech z�vit� na
jednotku d�lky $n_{1},~n_{2}$ a v��k�ch $l_{1},~l_{2}$. Uva�me dva p��pady: \\
a) Ob� c�vky maj� stejn� rozm�ry, jsou dostate�n� dlouh� a navinuty na
spole�n�m j�d�e, tak�e induk�n� tok jimi proch�zej�c� je toto�n�. Ob� c�vky
se li�� pouze po�tem z�vit�, tak�e pro jejich vlastn� a vz�jemn� induk�nosti
plat�:
\begin{displaymath}
L_{1}\;=\;\mu_{0}~n_{1}^{2}~V,~~~L_{2}\;=\;\mu_{0}~n_{2}^{2}~V,~~~
M_{12}\;=\;\mu_{0}~n_{1}~n_{2}~V\;,
\end{displaymath}
tak�e
\begin{equation} \label{vzai}
M_{12}\;=\;\sqrt{L_{1}~L_{2}}\;.
\end{equation}
Uveden� v�raz p�edstavuje nejvy��� mo�nou hodnotu vz�jemn� induk�nosti dvou
c�vek, kdy� je jejich induk�n� vazba nejt�sn�j��. \\
b) Prvn� c�vka je dostate�n� dlouh�, druh� o mnohem men��m polom�ru je do
n� koaxi�ln� zasunuta. Pak dostaneme
\begin{displaymath}
M_{12}\;=\;\mu_{0}~n_{1}~n_{2}~V_{2}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
7. \underline{Transform�tor} \\
Prozkoumejme bl�e vztah mezi vlastn�mi a vz�jemn�mi induk�nostmi dvou c�vek.
Zanedb�me-li jejich ohmick� odpory a p�edpokl�d�me-li, �e v prim�rn� c�vce
p�sob� emn ${\cal E}_{1}$, dostaneme pro obvody obou c�vek
\begin{displaymath}
{\cal E}_{1}\;-\;L_{1}~\frac{dI_{1}}{dt}\;-\;M_{12}~\frac{dI_{2}}{dt}\;=\;0,~~~~
L_{2}~\frac{dI_{2}}{dt}\;+\;M_{21}~\frac{dI_{1}}{dt}\;=\;0.
\end{displaymath}
Vyj�d��me-li z druh� rovnice $dI_{2}/dt$ a ozna��me vz�jemnou induk�nost
prost� $M$, dostaneme
\begin{displaymath}
{\cal E}_{1}\;-\;L_{1}~\left( ~1-\frac{M^{2}}{L_{1}~L_{2}}~\right) ~
\frac{dI_{1}}{dt}\;=\;0\;.
\end{displaymath}
V prvn� smy�ce tedy p�sob� efektivn� vlastn� induk�nost
\begin{displaymath}
L_{ef}\;=\;L_{1}~(~1\;-\;k^{2}~)\;,~~~~~k\;=\;
\frac{M}{\sqrt{L_{1}~L_{2}}}\;.
\end{displaymath}
Veli�inu $k$ naz�v�me �initelem vazby mezi smy�kami; je roven maxim�ln� 1.
\\
Induk�n� v�zan�ch c�vek se pou��v� v transform�toru, kde jsou c�vky uspo��d�ny
jako v p��pad� a) p�edchoz� �lohy. Potom z�ejm� $L_{1}/M=M/L_{2}=n_{1}/n_{2}$.
Nech� je v obvodu prim�rn� c�vky zapojen odpor $R_{1}$ a p�sob� zde st��dav�
emn $\cal E$(t), v obvodu sekund�rn� c�vky odpor $R_{2}$. Potom plat�
\begin{displaymath}
{\cal E}_{1}(t)\;-\;L_{1}~\frac{dI_{1}}{dt}\;-\;M~\frac{dI_{2}}{dt}\;=\;R_{1}~
I_{1}\;,~~~~-~L_{2}~\frac{dI_{2}}{dt}\;-\;M~\frac{dI_{1}}{dt}\;=\;R_{2}~I_{2}\;.
\end{displaymath}
V sekund�rn�m obvodu rozli��me t�i p��pady: \\
a) $R_{2}\to \infty $, transform�tor napr�zdno. Potom $I_{2}=0$ a na svork�ch
sekund�rn� c�vky zjist�me indukovan� nap�t�, kter� m� p�i mal�m odporu $R_{1}$
velikost
\begin{displaymath}
{\cal E}_{2}^{ind}\;=\;\frac{n_{2}}{n_{1}}~{\cal E}_{1}\;.
\end{displaymath}
b) $R_{2}=0$, transform�tor nakr�tko. Z rovnice pro sekund�rn� obvod plyne
\begin{displaymath}
I_{2}\;=\;-~\frac{L_{1}}{M}\;=\;-~\frac{n_{1}}{n_{2}}~I_{1}\;.
\end{displaymath}
c) $R_{2}\not=0$, mal�. Proud v sekund�rn�m obvod� bereme jako v p��pad�
transform�toru nakr�tko a dosazen�m $dI_{2}/dt$ do rovnice pro prim�rn�
obvod dostaneme rovnici
\begin{displaymath}
{\cal E}_{1}\;-\;L_{1}~(~1\;-\;k^{2}~)~\frac{dI_{1}}{dt}\;=\;
\left( ~R_{1}\;+\;\frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}~R_{2}~\right) ~I_{1}\;.
\end{displaymath}
V prim�rn�m obvodu tedy p�sob� efektivn� induk�nost a efektivn� odpor.
\vspace*{2cm} {\bf\Large 2. Kvazistacion�rn� obvody}
\vspace*{1cm}
Nejd��ve prozkoum�me takzvan� {\em p�echodov� stavy} v elektrick�ch obvodech,
kter� nast�vaj� p�i zapnut� a vypnut� zdroje emn. Na obr. 5.9 jsou zn�zorn�ny
RC obvod (s odporem a kondenz�torem v s�rii) a LC obvod (s odporem a c�vkou
v s�rii) s p�ep�na�em, kter� umo��uje zapnout a vypnout zdroj konstantn�ho
emn.
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{3cm}
a)
\hspace*{7cm}
b)
\vspace*{2mm}
\centerline{obr. 5.9}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Je-li $U$ nap�t� a $Q$ n�boj na kondenz�toru, potom v RC obvodu p�i
zapojen�m emn m�me
\begin{displaymath}
{\cal E}\;-\;U\;=\;R~I\;,~~~Q\;=\;C~U\;,~~~I\;=\;\frac{dQ}{dt}
\end{displaymath}
a pro zm�nu n�boje na kondenz�toru m�me diferenci�ln� rovnici
\begin{displaymath}
\frac{dQ}{dt}\;+\;\frac{1}{R~C}~Q\;=\;\frac{{\cal E}}{R}\;.
\end{displaymath}
Obecn� �e�en� t�to rovnice se skl�d� z obecn�ho �e�en� homogenn� rovnice a
partikul�rn�ho (zvl�tn�ho) �e�en� nehomogenn� rovnice:
\begin{displaymath}
Q(t)\;=\;\hbox{konst}~.~\hbox{e}^{-\frac{t}{RC}}\;+\;{\cal E}~C\;.
\end{displaymath}
Konstantu mus�me pak ur�it v�dy z po��te�n�ch podm�nek.
Nehomogenn� rovnice odpov�d� zapnut�mu zdroji emn, homogenn� rovnice stavu
bez zapojen�ho emn. Zapneme-li zdroj v okam�iku $t=0$, kdy je kondenz�tor
nenabit�, poroste na n�m n�boj (a nap�t�) podle z�kona
\begin{displaymath}
Q\;=\;{\cal E}~C~\left( ~1\;-\;\hbox{e}^{-\frac{t}{RC}}~\right) ~,~~~~
U\;=\;\frac{Q}{C}\;.
\end{displaymath}
Vypneme-li zdroj v okam�iku $t_{0}$, kdy bylo na kondenz�toru dosa�eno
nap�t� $U_{0}$, bude n�boj (a nap�t�) klesat podle z�kona
\begin{displaymath}
Q\;=\;U_{0}~C~\hbox{e}^{-\frac{t-t_{0}}{RC}}\;.
\end{displaymath}
Tento pr�b�h zm�ny n�boje na kondenz�toru p�i jeho nab�jen� a vyb�jen� vid�me
na obr. 5.10.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 5.10}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Vid�me, �e nap�t� na kondenz�toru nab�h� a kles� s charakteristickou dobou
$\tau_{C}=RC$, kter� ��k�me �asov� konstanta obvodu. P�i vyb�jen� kondenz�toru
klesne za tuto dobu nap�t� na $1/\hbox{e}$-tinu. To je t�eba m�t na pam�ti
- kondenz�tory o velk� kapacit� zkratovan� p�es zna�n� odpor pot�ebuj�
dostate�n� �as k tomu, aby nap�t� na nich pokleslo na bezpe�nou hodnotu.
Charakteristick� tvar nap�ov�ho pulsu na obr. 5.10 m��e b�t vyu�it v
impulsov� technice; vhodnou volbou parametr� obvodu m��eme takto generovat
pulsy troj�heln�kov�ho nebo pilovit�ho pr�b�hu. Podotkn�m�, �e pilovit�
nap�t� pot�ebujeme nap��klad k rozm�t�n� elektronov�ho paprsku na televizn�
obrazovce.
Pr�b�h proudu v obvodu dostaneme snadno zderivov�n�m n�boje podle �asu; p�i
nab�jen� a vyb�jen� tak m�me:
\begin{displaymath}
I\;=\;\frac{dQ}{dt}\;=\;\frac{{\cal E}}{R}~\hbox{e}^{-\frac{t}{RC}}\;,~~~
I\;=\;-~\frac{U_{0}}{R}~\hbox{e}^{-\frac{t-t_{0}}{RC}}\;.
\end{displaymath}
Pr�b�h proudu vid�me na obr. 5.11. \\
\begin{figure}
\vspace*{85mm}
\centerline{obr. 5.11}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Podobn� bychom mohli analyzovat pom�ry v RL obvodu. Pak bychom �e�ili
diferenci�ln� rovnici
\begin{displaymath}
\frac{dI}{dt}\;+\;\frac{R}{L}~I\;=\;\frac{{\cal E}}{L}
\end{displaymath}
s v�sledkem p�i zapnut� a vypnut� emn
\begin{displaymath}
I\;=\;\frac{{\cal E}}{R}~\left( ~1\;-\;\hbox{e}^{-\frac{R}{L}t}~\right) \;,
~~~~~I\;=\;I_{0}~\hbox{e}^{-\frac{R}{L}(t-t_{0})}\;.
\end{displaymath}
Vid�me, �e tentokr�t �asov� pr�b�h proudu odpov�d� �asov�mu pr�b�hu n�boje
u RC obvodu na obr. 5.10 s �asovou konstantou $\tau_{L}=L/R$. \\
P�ejdeme nyn� k s�riov�mu RLC obvodu. Plat� v n�m
\begin{displaymath}
{\cal E}\;-\;U\;-\;L~\frac{dI}{dt}\;=\;R~I~,~~~~~I\;=\;\frac{dQ}{dt}\;=\;
C~\frac{dU}{dt}\;.
\end{displaymath}
Nejvhodn�j�� z�ejm� bude vyj�d�it z t�chto vztah� diferenci�ln� rovnici pro
$U$:
\begin{equation} \label{RLC}
\frac{d^{2}U}{dt^{2}}\;+\;\frac{R}{L}~\frac{dU}{dt}\;+\;\frac{1}{LC}~U\;=\;
\frac{{\cal E}}{LC}\;.
\end{equation}
To je ale rovnice pro vynucen� kmity harmonick�ho oscil�toru, kterou jsme
v mechanice zapisovali ve tvaru
\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\;+\;2~\delta ~\frac{dx}{dt}\;+\;\omega_{0}^{2}~x\;=\;f\;.
\end{displaymath}
P�itom jsme ozna�ili {\em vlastn� frekvenci} obvodu
\begin{equation} \label{vlfr}
\omega_{0}\;=\;\frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{equation}
(tzv. {\em Thomson�v vzorec}), {\em dekrement �tlumu}
\begin{equation} \label{dekr}
\delta \;=\;\frac{R}{2L}
\end{equation}
a frekvenci
\begin{equation}
\omega \;=\;\sqrt{\omega_{0}^{2}\;-\;\delta^{2}}\;.
\end{equation}
Uva�me nap�ed �e�en� homogenn� rovnice, kdy emn ${\cal E}=0$.
V p��pad� slab�ho �tlumu ($\delta^{2}-\omega_{0}^{2}<0$) se bude nap�t�
v obvodu m�nit harmonicky podle z�kona
\begin{displaymath}
U(t)\;=\;U_{0}~\hbox{e}^{-\delta t}~\sin (\omega t+\varphi_{0})
\end{displaymath}
Amplitudu $U_{0}$ a f�zovou konstantu $\varphi_{0}$ mus�me ov�em ur�it
z po��te�n�ch podm�nek. Proud $I$ najdeme jako
\begin{displaymath}
I(t)\;=\;C~\frac{dU}{dt}\;=\;C~U_{0}~\hbox{e}^{-\delta t}~[-~\delta \sin
(\omega t+\varphi_{0})\;+\;\omega \cos (\omega t+\varphi_{0})]\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{CU_{0}\omega }{\sin \alpha }~\hbox{e}^{-\delta t}~
[\sin(\omega t+\varphi_{0})~\cos \alpha
\;+\;\cos (\omega t+\varphi_{0})~\sin \alpha ]\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;I_{0}~\hbox{e}^{-\delta t}~\sin (\omega t+\varphi_{0}+\alpha)\;.
\end{displaymath}
P�itom jsme zavedli veli�inu $\alpha $, kter� vyjad�uje f�zov� rozd�l
mezi nap�t�m a proudem v obvodu vztahem
\begin{displaymath}
\hbox{cotg}~\alpha \;=\;-~\frac{\delta }{\omega }\;.
\end{displaymath}
P�i nulov�m �tlumu je $\hbox{cotg}~\alpha =0$ a proud je posunut v��i nap�t�
pr�v� o $\pi /2$. Obvod p�itom kmit� na vlastn� frekvenci
$\omega =\omega_{0}$. P�i kritick�m �tlumu ($\delta =\omega_{0}$) a
siln�m �tlumu ($\delta^{2}-\omega_{0}^{2}>0$) nast�v� aperiodick� re�im a
nap�t� i proud v obvodu klesaj� exponenci�ln� k nule. \\
Nech� nyn� v obvodu p�sob� harmonick� emn ${\cal E}=
{\cal E}_{0}\cos \Omega t $. Amplituda vynucuj�c� s�ly je tedy $f_{0}=
{\cal E}_{0}/LC$.
Potom mus�me �e�it nehomogenn� rovnici pro vynucen� kmity, kter� je sou�tem
obecn�ho �e�en� homogenn� rovnice a partikul�rn�ho �e�en� nehomogenn� rovnice.
�e�en� homogen� rovnice je v�dy tlumeno a brzy klesne k nule. Obvod za�ne
oscilovat na frekvenci vynucen�ch kmit� $\Omega $ bez �tlumu. Energie
pohlcovan� na odporu bude dod�vana zdrojem emn. M�me tak �e�en�
\begin{displaymath}
U(t)\;=\;U_{0}~\sin(\Omega ~t\;+\;\varphi_{0}),
\end{displaymath}
kde amplitudu kmit� $U_{0}$ a f�zovou konstantu $\varphi_{0}$ m��eme naj�t
stejn�m zp�sobem jako v p��pad� vynucen�ch kmit� mechanick�ho oscil�toru.
Dostaneme tak
\begin{equation} \label{rezo}
\hbox{tg}~\varphi_{0}\;=\;\frac{\omega_{0}^{2}~-~\Omega^{2}}{2\delta ~\Omega}
\;=\;\frac{1}{R}~\left( ~\frac{1}{\Omega ~C}\;-\;\Omega ~L~\right) \;,
\end{equation}
\begin{equation} \label{rezon}
U_{0}\;=\;\frac{f_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2})^{2}+4\delta^{2}
\Omega^{2}}}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}}{LC}~
\frac{1}{\sqrt{1+\hbox{tg}^{2}~\varphi_{0}}}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}}{RC\Omega }
~\cos \varphi_{0}\;.
\end{equation}
Pro proud dostaneme
\begin{equation} \label{rezona}
I(t)\;=\;C~\frac{dU}{dt}\;=\;C~U_{0}~\Omega \cos (\Omega t+\varphi_{0})\;=\;
I_{0}~\cos (\Omega t+\varphi_{0})\;,
\end{equation}
tak�e amplituda proudu je
\begin{equation} \label{amplp}
I_{0}\;=\;C~U_{0}~\Omega \;=\;\frac{{\cal E}_{0}}{R}~\cos \varphi_{0}\;.
\end{equation}
Proud a nap�t� na kondenz�toru jsou tedy vz�jemn� posunuty o $\pi /2$ a proud
je posunut vzhledem k emn o $\varphi_{0}$. Situace je zn�zorn�na na obr. 5.12.
\begin{figure}
\vspace*{10cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.12
\hspace*{6cm}
obr. 5.13
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Amplituda nap�t� (a proudu) dosahuje maxima na rezonan�n� frekvenci
\begin{equation} \label{rezof}
\Omega_{r}\;=\;\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\delta^{2}}\;=\;
\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{2L^{2}}}\;,
\end{equation}
a to
\begin{equation} \label{amplo}
U_{0max}\;=\;\frac{f_{0}}{2~\delta \sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}}\;=\;
\frac{{\cal E}_{0}}{RC\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}}\;.
\end{equation}
P�i $\Omega =0$ nast�v� statick� v�chylka $U_{0st}=f_{0}/\omega_{0}^{2}$.
Tangens $\varphi_{0}$ se m�n� od $\pi /2$ do $-\pi /2$ a p�i rezonanci je
roven nule. To je rezonance v amplitud�.
Pokud jde o rezonanci v energii, mus�me ur�it z�vislost $I_{0}^{2}$ na
$\Omega $. Pro energii nahromad�nou v obvodu m�me
\begin{equation} \label{rezen}
W\;=\;\frac{1}{2}~L~I_{0}^{2}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}^{2}~\Omega^{2}}{2L
[~(~\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}~)^{2}+4~\delta^{2}\Omega^{2}~]}\;.
\end{equation}
Maximum energie v rezonanci odpov�d�
\begin{displaymath}
W_{max}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}^{2}}{8L\delta^{2}}\;.
\end{displaymath}
Z rezonan�n� k�ivky v energii (obr. 5.13) m��eme ur�it dekrement �tlumu.
Z mechaniky v�me, �e ���ka t�to rezonan�n� k�ivky v polovin� v��ky je rovna
pr�v� $2~\delta $. �initel jakosti obvodu je pak roven
\begin{equation} \label{Q}
Q\;=\;\frac{\omega_{0}}{2~\delta }\;=\;\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\;.
\end{equation}
\vspace*{2mm}
Zb�v� vy�et�it ot�zku, jak� v�kon vyv�j� zdroj emn v RLC obvodu. Okam�it�
v�kon, z�visl� na �ase je
\begin{displaymath}
P\;=\;{\cal E}~I\;=\;{\cal E}_{0}~I_{0}~\cos \Omega t~\cos (\Omega t+
\varphi_{0})\;=\;{\cal E}_{0}~I_{0}~(~\cos^{2}\Omega t~\cos \varphi_{0}\;-\;
\cos \Omega t \sin \Omega t~\sin \varphi_{0}~)\;.
\end{displaymath}
Prvn� �len se naz�v� v�kon �inn�, druh� v�kon jalov�. Vyst�edujeme-li toti�
okam�it� v�kon v �ase, druh� �len vymiz� a prvn� d�
\begin{equation} \label{vyk}
<P>\;=\;\frac{1}{2}~{\cal E}_{0}~I_{0}~\cos \varphi_{0}\;=\;{\cal E}_{ef}~
I_{ef}~\cos \varphi_{0}\;.
\end{equation}
Zavedli jsme efektivn� hodnoty emn a proudu ${\cal E}_{ef}={\cal E}_{0}/
\sqrt{2},~~~I_{ef}=I_{0}/\sqrt{2}$. Veli�inu $\cos \varphi_{0}$ naz�v�me
{\em ��in�k}. Je-li ��in�k roven jedn�, lze tedy st�edn� v�kon ur�it jako
sou�in efektivn�ch hodnot emn a proudu. Jinak z�le�� i na p��tomnosti
kapacity a induk�nosti v obvodu. Maxim�ln� v�kon je odeb�r�n p�i rezonanci,
naopak bl��-li se $\varphi_{0}$ k $\pm \pi /2$, kles� v�kon k nule.
\vspace*{2mm}
Elektrick� obvody v nich� p�sob� harmonicky prom�nn� emn naz�v�me
{\em st��dav�mi}. Tak� pro n� m��eme pou��vat Ohm�v z�kon a Kirchhoffova
pravidla a �e�it je jako elektrick� s�t�. Mus�me v�ak vz�t v �vahu, �e emn
a proudy jsou pops�ny jednak sv�mi amplitudami jednak f�zov�mi konstantami,
mohou b�t vz�jemn� f�zov� posunuty. S��t�n� vz�jemn� f�zov� posunut�ch
sinusov�ch a kosinusov�ch proud� a nap�t� by bylo velmi slo�it�. Nav�c
p�edpokl�d�me, �e v cel� s�ti je jedna spole�n� �hlov� frekvence $\Omega $.
Jeden zp�sob, jak takov� s�t� �e�it, je p�echod ke komplexn�m obraz�m emn
a proud� naz�van�m {\em f�zory}. F�zory m��eme p�itom zn�zor�ovat v komplexn�
rovin� vektorov�mi diagramy. Provedeme p�i�azen�
\begin{displaymath}
A_{0}~\cos(\Omega t+\alpha )~~\to A_{0}~\hbox{e}^{\hbox{i}\alpha }~= \hat A\;.
\end{displaymath}
Lze se p�esv�d�it, �e po��t�n� s goniometrick�mi funcemi d� tou� v�slednou
amplitudu a f�zovou konstantu jako po��t�n� s f�zory. V�sledkem je ov�em
komplexn� ��slo; chceme-li dostat �asov� pr�b�h dan� veli�iny, sta�� vyn�sobit
$\hbox{e}^{\hbox{i}\Omega t}$ a vz�t re�lnou ��st.
Uva�me v��e zkouman� s�riov� RLC obvod. Emn a proudu m��eme p�i�adit f�zory
$\hat {\cal E}={\cal E}_{0}$ a $\hat I=I_{0}\hbox{e}^{\hbox{i}\varphi_{0}}$.
Pro f�zory m��eme napsat Ohm�v z�kon v komplexn�m tvaru jako
\begin{equation} \label{Ohmk}
Z\;=\;\frac{\hat {\cal E}}{\hat I}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}}{I_{0}}~
\hbox{e}^{-\hbox{i}\varphi_{0}}\;=\;Z_{0}~\hbox{e}^{-\hbox{i}\varphi_{0}}\;.
\end{equation}
Komplexn� veli�ina $Z$ se naz�v� {\em impedance} obvodu. Podle (\ref{rezo})
a (\ref{amplp}) zjist�me, �e velikost impedance je
\begin{displaymath}
Z_{0}\;=\;\frac{{\cal E}_{0}}{I_{0}}\;=\;\sqrt{R^{2}+\left( \Omega L-
\frac{1}{\Omega C}\right) ^{2}}
\end{displaymath}
a tangens jej�ho argumentu
\begin{displaymath}
\hbox{tg}~\alpha \;=\;-\hbox{tg}~\varphi_{0}\;=\;\frac{1}{R}\left( \Omega L
-\frac{1}{\Omega C}\right) \;.
\end{displaymath}
Je to tedy komplexn� ��slo
\begin{equation} \label{imped}
Z\;=\;R~+~\hbox{i}~X\;=\;R~+~\hbox{i}~\left( \Omega L\;-\;\frac{1}{\Omega C}
~\right) \;.
\end{equation}
Re�lnou ��st impedance $R$ naz�v�me {\em rezistance}, imagin�rn� ��st $X$
{\em reaktance}. Ta se skl�d� z {\em induktance} $\Omega L$ a {\em kapacitance}
$1/\Omega C$. Vodivosti odpov�d� p�evr�cen� hodnota impedance
\begin{displaymath}
Y\;=\;\frac{1}{Z}\;=\;G\;+\;\hbox{i}~S\;
\end{displaymath}
naz�van� {\em admitance}. Jej� re�ln� ��st $G$ je {\em konduktance} a
imagin�rn� ��st $S$ {\em susceptance}.
\vspace*{3mm}
1. \underline{Paraleln� RLC obvod} \\
Na obr. 5.14 je zn�zorn�n paraleln� RLC obvod.
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.14
\hspace*{6cm}
obr. 5.15
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.16
\hspace*{6cm}
obr. 5.17
\vspace*{1cm}
\end{figure}
P�i takov�m paraleln�m zapojen� se s��taj� admitance:
\begin{displaymath}
Y\;=\;\hbox{i}~\Omega ~C\;+\;\frac{1}{R+\hbox{i}~\Omega ~L}
\end{displaymath}
Tato admitance je re�ln� na rezonan�n� frekvenci
\begin{displaymath}
\omega_{0}\;=\;\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{L^{2}}}
\end{displaymath}
a v ide�ln�m p��pad� $R=0$ bude na rezonan�n�m kmito�tu nulov�. V tom p��pad�
se paraleln� obvod chov� jako nekone�n� odpor; v�echna energie osciluje v
obvodu a neproch�z� d�le.
Bude-li obvod zapojen zp�soby zn�zorn�n�mi na obr. 5.15, 5.16, 5.17, budou
odpov�daj�c� rezonan�n� frekvence rovny
\begin{displaymath}
\omega_{0}\;=\;\sqrt{\frac{1}{LC-R^{2}C^{2}}}\;,~~~\omega_{0}\;=\;
\frac{1}{\sqrt{LC}}
\;,~~~\omega_{0}\;=\;\frac{1}{\sqrt{LC}}\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
2. \underline{Trojf�zov� proud} \\
P�i p�enosu pr�myslov�ch st��dav�ch proud� se pou��v� trojf�zov� soustavy.
Gener�tor v elektr�rn� produkuje t�i st��dav� nap�t�, kter� jsou f�zov�
posunuta v�dy o $2\pi /3$. Uspo��d�me-li tato nap�t� do troj�heln�ka
(obr. 5.18) a budou-li amplitudy v�ech t�� nap�t� stejn�, bude z�ejm�
sou�et jejich f�zor� nulov�:
\begin{displaymath}
\hat U_{1}\;+\;\hat U_{2}\;+\;\hat U_{3}\;=\;0\;.
\end{displaymath}
Ur��me proud prot�kaj�c� kter�mkoli vodi�em veden�. Nap��klad do vrcholu 3
vt�k� v�tv� 2-3 proud $\hat I_{1}=I_{0}\hbox{e}^{\hbox{i}\varphi }$, kter�
se rozd�l� na proud $\hat I_{2}=I_{0}\hbox{e}^{\hbox{i}(\varphi +2\pi /3)}$
ve v�tvi 3-1 a proud $\hat I=I_{max}\hbox{e}^{\hbox{i}\alpha }$ vych�zej�c�
veden�m z vrcholu 3. Polo��me-li $\varphi =0$, dostaneme z Kirchhoffova
z�kona
\begin{displaymath}
\hat I\;=\;\hat I_{1}\;-\;\hat I_{2}\;=\;I_{0}~\left( ~1\;-\;
\hbox{e}^{\hbox{i}2\pi /3}~\right)\;=\;I_{0}~\sqrt{3}~\hbox{e}^{-\hbox{i}
\pi /6}\;,
\end{displaymath}
a tedy
\begin{displaymath}
I_{max}\;=\;\sqrt{3}~I_{0}\;.
\end{displaymath}
Vektorov� diagram skl�d�n� t�chto proud� je na obr. (5.19).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.18
\hspace*{6cm}
obr. 5.19
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Podobn� bychom uk�zali, �e p�i uspo��d�n� do hv�zdy (obr. 5.20) bude v�sledn�
proud �tvrt�m (nulov�m) vodi�em roven nule. Pro nap�t� tentokr�t plat� vztah
$U_{max}=\sqrt{3}~U_{0}$, tak�e p�i efektivn� hodnot� nap�t� mezi dv�ma
vrcholy 380 V dost�v�me mezi kter�mkoli vrcholem a "nul�kem" 22O V.
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 5.20}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 3. Maxwellovy rovnice elektromagnetick�ho pole}
\vspace*{1cm}
V p�edchoz�m odstavci jsme na z�klad� z�kona elektromagnetick� indukce a
z�kona zachov�n� elektrick�ho n�boje odvodili kompletn� soustavu Maxwellov�ch
rovnic ve vakuu pro vektor intenzity elektrick�ho pole a vektor magnetick�
indukce (\ref{Maxn}). P�i �e�en� t�chto rovnic vych�z�me z toho, �e magnetick�
pole je solenoid�ln� ($\hbox{div}~\vec B=0$) a tak m��eme zav�st vektorov�
potenci�l vztahem $\vec B=\hbox{rot}~\vec A$. Dosazen�m do rovnice elmg
indukce dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec B}{\partial t}\;=\;-~\hbox{rot}~
\frac{\partial \vec A}{\partial t}\;.
\end{displaymath}
Tedy
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\left( \vec E\;+\;\frac{\partial \vec A}{\partial t}~\right)
\;=\;0\;.
\end{displaymath}
Pole $\vec E$ sice potenci�ln� nen�, ale zato je potenci�ln� pole uveden�
v z�vorce. M��eme proto zav�st skal�rn� potenci�l $\varphi $ vztahem
\begin{equation} \label{spot}
\vec E\;+\;\frac{\partial \vec A}{\partial t}\;=\;-~\hbox{grad}~\varphi \;.
\end{equation}
Budeme tak �e�it soustavu rovnic pro skal�rn� a vektorov� potenci�l
$\varphi (x,y,z,t),~~\vec A(x,y,z,t)$ a pak najdeme vektory pol� ze vztah�
\begin{equation} \label{epot}
\vec E\;=\;-~\hbox{grad}~\varphi \;-\;\frac{\partial \vec A}{\partial t}\;,~~
~~~\vec B \;=\;\hbox{rot}~\vec A\;.
\end{equation}
Dosazen�m do Maxwellov�ch rovnic dostaneme pom�rn� komplikovan� vztahy
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\left( \hbox{grad}~\varphi \;+\;\frac{\partial \vec A}{\partial t}
~\right) \;=\;-~\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\hbox{rot~rot}~\vec A\;=\;\mu_{0}~\vec j\;-\;\varepsilon_{0}\mu_{0}~
\frac{\partial }{\partial t}~\left( \hbox{grad}~\varphi \;+\;
\frac{\partial \vec A}{\partial t}\right) \;.
\end{displaymath}
Lze je upravit na
\begin{displaymath}
\Delta ~\varphi \;=\;-~\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}\;-\;
\frac{\partial }{\partial t}~\hbox{div}~ \vec A
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Delta \vec A\;-\; \varepsilon_{0}\mu_{0}~
\frac{\partial^{2}\vec A}{\partial t^{2}}\;=\;-~\mu_{0}~\vec j\;+\;
\hbox{grad}~\left(~\hbox{div}~\vec A\;+\;\varepsilon_{0}\mu_{0}~
\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right) \;.
\end{displaymath}
Skal�rn� a vektorov� potenci�l v�ak nejsou ur�eny jednozna�n� a m��eme na
n� kl�st dodate�n� podm�nky. M��eme nap��klad po�adovat spln�n� {\em
Lorentzovy kalibra�n� (cejchovac�) podm�nky}
\begin{equation} \label{Lorcp}
\hbox{div}~\vec A\;+\;\varepsilon_{0}\mu_{0}~
\frac{\partial \varphi }{\partial t}\;=\;0\;.
\end{equation}
Potom se soustava rovnic pro potenci�ly drasticky zjednodu�� a nav�c se ob�
rovnice stanou symetrick�mi:
\begin{equation} \label{rovp}
\Delta ~\varphi \;-\;\frac{1}{c^{2}}~
\frac{\partial^{2}\varphi }{\partial t^{2}}\;=\;-~
\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}\;,~~~~~\Delta ~\vec A\;-\;\frac{1}{c^{2}}~
\frac{\partial^{2}\vec A}{\partial t^{2}}\;=\;-~\mu_{0}~\vec j\;.
\end{equation}
Zavedeme-li nov� oper�tor zvan� {\em d'Alemberti�n}, kter� je vlastn�
zobecn�n�m "laplasi�nem", vztahem
\begin{displaymath}
\Box\;=\;\Delta\;-\;\frac{1}{c^{2}}~\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\;,
\end{displaymath}
m��eme zapsat rovnice pro potenci�ly elektromagnetick�ho pole ve velmi
jednoduch�m a p�ehledn�m tvaru
\begin{equation} \label{pote}
\Box ~\varphi \;=\;-~\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}\;,~~~~~~~~~~~
\Box ~\vec A\;=\;-~\mu_{0}~\vec j\;.
\end{equation}
�e�en�m t�to soustavy nehomogenn�ch parci�ln�ch diferenci�ln�ch rovnic
p�i zadan�ch hustot�ch n�boje a proudu dostaneme potenci�ly a z nich pak
podle (\ref{epot}) ur��me vektory pol�. V obecn�m p��pad� to m��e b�t i
obt�n� �loha. \\
Najdeme jedno �e�en� Maxwellov�ch rovnic ve vakuu, kter� popisuje rovinnou
{\em elektromagnetickou vlnu}. Na potenci�ly nalo��me podm�nky $\hbox{div}
~\vec A=0,~~~\varphi =0$, kter� jsou v souladu s Lorentzovou podm�nkou.
D�le budeme p�edpokl�dat, �e v�echny veli�iny z�vis� pouze na sou�adnici
$z$ (sm�r ���en� rovinn� vlny) a $t$. Sta�� tedy hledat pouze vektorov�
potenci�l z d'Alembertovy rovnice $\Box \vec A=0$, kter� m� tvar
\begin{displaymath}
\frac{\partial^{2}\vec A}{\partial z^{2}}\;-\;\frac{1}{c^{2}}~
\frac{\partial^{2}\vec A}{\partial t^{2}}\;=\;0\;.
\end{displaymath}
�e�en�m t�to rovnice je funkce
\begin{displaymath}
\vec A\;=\;\vec A_{0}~\cos (\omega ~t\;-\;k~z\;+\;\alpha ),
\end{displaymath}
kter� p�edstavuje rovinnou vlnu ����c� se f�zovou rychlost�
\begin{equation} \label{fazr}
v_{f}\;=\;\frac{\omega }{k}\;=\;c\;.
\end{equation}
Z podm�nky $\hbox{div}~\vec A=0$ plyne $\partial A_{z}/\partial z=0,~~~
A_{z}=\hbox{konst}=0$ (konstantn� nenulov� �e�en� n�s nezaj�m�), a vektorov�
potenci�l je tedy kolm� ke sm�ru ���en� vlny $z$. M��eme proto v jeho sm�ru
zvolit t�eba osu $x$: $\vec A\equiv(A,0,0)$. Elektrick� a magnetick� pole
vlny tedy bude
\begin{equation} \label{vlna}
\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec A}{\partial t}\;,~~~~~\vec B\;=\;\hbox{rot}~
\vec A\;,
\end{equation}
a jejich jedin� nenulov� slo�ky
\begin{equation} \label{vlny}
E_{x}\;=\;\omega ~A_{0}~\sin (\omega ~t\;-\;k~z\;+\;\alpha ),~~~
B_{y}\;=\;k~A_{0}~\sin (\omega ~t\;-\;k~z\;+\;\alpha )\;.
\end{equation}
Elektrick� a magnetick� pole se m�n� podle t�ho� harmonick�ho z�kona,
ve f�zi, a v�echny t�i vektory $\vec E,~\vec B,~\vec k$ (vektor $\vec k$ ve
sm�ru ���en� vlny naz�v�me vlnov�m vektorem) tvo�� pravoto�ivou soustavu,
jak je vid�t na obr. 5.21. \footnote{Elektromagnetick� vlna je tedy p���n�
a pravoto�iv�. Mohla by vzniknout ot�zka, zda existuj� tak� levoto�iv�
elektromagnetick� vlny. Tato ot�zka v�ak nen� zcela na m�st� vzhledem k
tomu, �e magnetick� indukce p�edstavuje axi�ln� vektor. P�ejdeme-li inverz�
k levoto�iv� soustav� sou�adnic, zm�n� vektory $\vec E$ a $\vec k$ znam�nko,
zat�mco vektor $\vec B$ nikoli. Vlna se tedy stane levoto�ivou. Je ov�em
z�ejm�, �e zm�na soustavy sou�adnic nem��e nic zm�nit na fyzik�ln�m
charakteru elektromagnetick� vlny, tak�e oba popisy jsou zcela rovnocenn�.}
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm}
obr. 5.21
\hspace*{6cm}
obr. 5.22
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Elektromagnetick� vlna p�en�� energii $W$ a hybnost $\vec P$ a je tedy pln�
re�ln�m fyzik�ln�m objektem. Hustotu toku energie (energii p�enesenou za
jednotku �asu jednotkou plochy) naz�v�me {\em Poynting�v vektor} $\vec S$.
Z�kon zachov�n� energie m��eme matematicky vyj�d�it jako rovnici kontinuity
\begin{equation} \label{kont}
\frac{\partial w}{\partial t}\;+\;\hbox{div}~\vec S\;=\;0\;.
\end{equation}
Zde $w$ je objemov� hustota energie elektromagnetick�ho pole. Tuto hustotu
pro pole ve vakuu jsme ji� ur�ili jako (4.37). Pomoc� Maxwellov�ch rovnic
m��eme z�kon zachov�n� energie upravit na tvar
\begin{displaymath}
\frac{\partial }{\partial t}~\left( \frac{\varepsilon_{0}~E^{2}}{2}\;+\;
\frac{B^{2}}{2~\mu_{0}}\right) \;=\;\varepsilon_{0}~\vec E~\cdot ~
\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;+\;\frac{1}{\mu_{0}}~\vec B~\cdot ~
\frac{\partial \vec B}{\partial t}\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{1}{\mu_{0}}~(~\vec E~\hbox{rot}~\vec B\;-\;\vec B~\hbox{rot}~\vec E~)
\;=\;\frac{1}{\mu_{0}}~\hbox{div}~(\vec B\times \vec E)\;.
\end{displaymath}
Odtud Poynting�v vektor
\begin{equation} \label{Poyn}
\vec S\;=\;\frac{1}{\mu_{0}}~\vec E\times \vec B\;=\;\vec E\times \vec H\;,
\end{equation}
Hustota hybnosti p�en�en� elektromagnetickou vlnou je $\vec S/c^{2}$.
Dopad�-li tedy elektromagnetick� vlna kolmo na n�jakou plochu a je na n�
zcela pohlcena, p�edala jednotce t�to plochy za dobu $\Delta t$ z�rove�
hybnost obsa�enou v objemu $c~\Delta t$ (obr. 5.22). Vyvinula tedy mechanick�
tlak
\begin{equation} \label{tlak}
p\;=\;\frac{\Delta P}{\Delta t}\;=\;\frac{1}{\Delta t}~\frac{S}{c^{2}}~
c~\Delta t\;=\;\frac{S}{c}\;.
\end{equation}
Je-li plocha dokonale odraziv�, bude tlak elektromagnetick� vlny dvojn�sobn�.
\vspace*{5mm}
Maxwellovy rovnice jsou rovnicemi makroskopick�mi, vystupuj� v nich n�boje,
proudy a pole m��en� na�imi makroskopick�mi p��stroji a mohou b�t tak p��mo
konfrontov�ny z experimentem. V minul�m stolet�, kdy� bylo zji�t�no, �e z
kov� mohou vyl�t�vat elektrony a �e l�tka je vlastn� tvo�ena nabit�mi
��sticemi, vytvo�il Lorentz takzvanou elektronovou teorii hmoty. Neznal sice
je�t� stavbu atomu, ale p�edstavoval si l�tku jako vakuum, v n�m� jsou
rozlo�eny a pohybuj� se nabit� ��stice. Tyto ��stice jsou pops�ny rozlo�en�m
{\em mikroskopick�ch} n�bojov�ch a proudov�ch hustot, kter� ov�em nejsou
p��mo m��iteln�, a tak vznikaj� {\em mikroskopick�} elektrick� a magnetick�
pole pod�izuj�c� se rovnic�m stejn�ho tvaru jako jsou rovnice Maxwellovy.
Rovnice pro mikroskopick�, lok�ln� pole a hustoty se naz�vaj� {\em Lorentzovy
rovnice} a m��eme je zapsat jako
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E_{l}\;=\;\frac{\rho_{l}}{\varepsilon_{0}}~~~~~~~~~~
\hbox{rot}~\vec B_{l}\;=\;\mu_{0}~\vec j_{l}\;+\;\varepsilon_{0}\mu_{0}~
\frac{\partial \vec E_{l}}{\partial t}
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Lorr}
\hbox{rot}~\vec E_{l}\;=\;-~\frac{\partial \vec B_{l}}{\partial t}~~~~~~~~~~
\hbox{div}~\vec B_{l}\;=\;0\;.
\end{equation}
Od Lorentzov�ch rovnic m��eme p�ej�t k rovnic�m Maxwellov�m tak, �e
mikroskopick� veli�iny vyst�edujeme p�es dostate�n� velk� prostorov� a
�asov� intervaly. U n�boj� a proud� pak mus�me rozli�ovat veli�iny v�zan�
v l�tce a veli�iny voln�. Ozna��me
\begin{displaymath}
<\vec E_{l}>\;=\;\vec E\;,~~~<\vec B_{l}>\;=\;\vec B\;,~~~<\rho_{l}>\;=\;
\rho + \rho_{v}\;,~~~<\vec j_{l}>\;=\;\vec j+\vec j_{m}+\vec j_{p}\;.
\end{displaymath}
Podle (2.42), (4.54) a (3.10) m�me pro v�zan� n�boje, magnetiza�n� a
polariza�n� proudy
\begin{displaymath}
\rho_{v}\;=\;-~\hbox{div}~\vec P\;,~~~\vec j_{m}\;=\;\hbox{rot}~\vec M,~~~
\vec j_{p}\;=\;\frac{\partial \vec P}{\partial t}\;.
\end{displaymath}
Zavedeme-li nyn� vektory
\begin{displaymath}
\vec D\;=\;\varepsilon_{0}~\vec E\;+\;\vec P\;,~~~\vec H\;=\;\frac{1}{\mu_{0}}
~\vec B\;-\;\vec M\;,
\end{displaymath}
dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}+
\frac{\rho_{v}}{\varepsilon_{0}}\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}-
\frac{\hbox{div}~\vec P}{\varepsilon_{0}}
\end{displaymath}
odkud po vyn�soben� $\varepsilon_{0}$ m�me
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec D\;=\;\rho \;,
\end{displaymath}
kde $\rho $ je hustota pouze voln�ch n�boj�.
D�le
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\vec j+\mu_{0}~\vec j_{m}+\mu_{0}~\vec j_{p}+
\varepsilon_{0}~\mu_{0}\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;=\;\mu_{0}~\vec j
+\mu_{0}~\hbox{rot}~\vec M+\mu_{0}~\frac{\partial \vec P}{\partial t}+
\mu_{0}~\varepsilon_{0}~\frac{\partial \vec E}{\partial t}\;.
\end{displaymath}
D�len�m $\mu_{0}$ dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec H\;=\;\vec j+\frac{\partial \vec D}{\partial t}\;,
\end{displaymath}
kde $\vec j$ je hustota pouze voln�ch proud�. \\
Tak dosp�v�me ke kone�n� podob� Maxwellov�ch rovnic pro obecn�
elektromagnetick� pole v l�tkov�m prost�ed�
\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec D\;=\;\rho ~~~~~~~~~~\hbox{rot}~\vec H\;=\;\vec j\;+\;
\frac{\partial \vec D}{\partial t}
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Mxxxx}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;-~\frac{\partial \vec B}{\partial t}~~~~~~~~~~
\hbox{div}~\vec B\;=\;0\;.
\end{equation}
Tyto rovnice je t�eba doplnit vztahy
\begin{displaymath}
\vec D\;=\;\varepsilon ~\vec E\;,~~~~~\vec B\;=\;\mu ~\vec H\;,~~~~~
\varepsilon_{0}~\mu_{0}\;=\;\frac{1}{c^{2}}
\end{displaymath}
a hrani�n�mi podm�nkami
\begin{displaymath}
\hbox{Div}~\vec D\;=\;\sigma ~~~~~~~~~~\hbox{Rot}~\vec H\;=\;\alpha
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Mxxxh}
\hbox{Rot}~\vec E\;=\;0~~~~~~~~~~\hbox{Div}~\vec B\;=\;0\;.
\end{equation}
\newpage
\vspace*{3cm}{\bf\Large P��klady}
\vspace*{1cm}
5.1 Dlouh�m p��m�m vodi�em te�e proud $I$. Ur�ete magnetick� induk�n� tok
obd�ln�kovou smy�kou um�st�nou podle obr. 5.23. Vzdaluje-li se smy�ka od
vodi�e rychlost� $v$ ur�ete indukovan� emn.
\begin{flushright}
$\left[ ~\frac{\mu_{0}Il}{2\pi }\ln \frac{a_{2}}{a_{1}}\;,~~~
\frac{\mu_{0}I}{2\pi }\frac{(a_{2}-a_{1})lv}{a_{1}a_{2}}~\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\centerline{obr. 5.23}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
5.2 Dv� dlouh� dokonale vodiv� kolejnice jsou od sebe vzd�leny 0,5 m a
spojeny odporem 0,2 $\Omega $. Po nich klou�e dokonale vodiv� ty� rychlost�
4 $\hbox{m.s}^{-1}$. Kolmo k rovin� kolejnic p�sob� magnetick� pole 0,5 T.
Ur�ete indukovan� emn, s�lu pot�ebnou k udr�en� konstantn� rychlosti,
mechanick� a tepeln� v�kon v tomto za��zen�.
\begin{flushright}
[1 V,~~1,25 N,~~5 W,~~5 W]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.3 Ur�ete vlastn� induk�nost a magnetickou energii solenoidu o polom�ru
1 cm a d�lce 50 cm s 6 z�vity na 1 cm d�lky, prot�k�-li z�vity proud 1 A.
\begin{flushright}
[71 $\mu $H,~~3,5.$10^{-5}$ J]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.4 Ur�ete vlastn� induk�nost toroid�ln� c�vky mal�ho pr��ezu 1
$\hbox{cm}^{2}$ o polom�ru st�edov� kru�nice 5 cm, s celkov�m po�tem z�vit�
$N$=100.
\begin{flushright}
$[4.10^{-6}$ H]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.5 Ur�ete vlastn� induk�nost toroidu obd�ln�kov�ho pr��ezu o vnit�n�m
polom�ru \newline
10 cm, vn�j��m polom�ru 20 cm a v��ce 5 cm, je-li na n�m navinuto 1 000
z�vit�.
\begin{flushright}
[6,93 mH]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.6 Kovov� kotou� polom�ru 10 cm rotuje s frekvenc� 60 Hz kolem osy v
homogenn�m magnetick�m poli 0,2 T kolm�m k rovin� kotou�e. Najd�te potenci�ln�
rozd�l mezi st�edem a okrajem kotou�e. Jak� bude tento rozd�l bez magnetick�ho
pole?
\begin{flushright}
[0,377 V,~~4,0.$10^{-9}$ V]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.7 �tvercov� smy�ka o stran� 10 cm rotuje v homogenn�m magnetick�m poli
0,2 T kolem osy rovnob�n� s rovinou �tverce a kolm� k poli s frekvenc� 50 Hz.
V okam�iku $t=0$ le�� smy�ka v rovin� kolm� k poli. Ur�ete z�vislost
indukovan�ho emn na �ase.
\begin{flushright}
$[0,2\pi \sin 100\pi t]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.8 Jak� maxim�ln� emn se m��e indukovat v c�vce se 4 000 z�vity o st�edn�m
polom�ru 12 cm rotuj�c� s frekvenc� 30 Hz v zemsk�m magnetick�m poli o indukci
$5.10^{-5}$ T?
\begin{flushright}
[1,73 V]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.9 Dv� c�vky jsou induk�n� v�z�ny vz�jemnou induk�nost� 5 H. Jak se mus�
m�nit proud v prim�rn� c�vce, aby se v sekund�rn� indukovalo konstantn� emn
1 V? M��e se takto indukovat trvale?
\begin{flushright}
[- 0,2 t+ konst, ne]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.10 Dv� c�vky maj� induk�nosti 0,2 H, 0,3 H a vz�jemnou induk�nost 0,1 H.
Jak� bude v�sledn� induk�nost p�i zapojen� t�chto c�vek do s�rie?
\begin{flushright}
[0,7 H nebo 0,3 H, podle zp�sobu zapojen�]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.11 Kondenz�tor o kapacit� 0,1 $\mu $F s po��te�n�m nap�t�m 1 000 V se
vyb�j� p�es odpor 10 $\Omega $. Za jakou dobu poklesne velikost n�boje na
kondenz�toru na �rove� jednoho elementr�rn�ho n�boje?
\begin{flushright}
$[3,4.10^{-5}\hbox{s}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.12 Kondenz�tor o kapacit� 100 $\mu $F je nabit na 10 000 V. Vyb�j�me jej
p�es odpor \newline
1 k$\Omega $. Za jak dlouho se m��eme kondenz�toru bez nebezpe��
dot�kat?
\begin{flushright}
[asi za 0,5 - 1 s, podle na�� t�lesn� n�tury]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.13 Doka�te, �e energie rozpt�len� na odporu b�hem vyb�jen� kondenz�toru
je pr�v� rovna energii, kter� byla v kondenz�toru nahromad�na.
\vspace*{4mm}
5.14 C�vka m� odpor 100 $\Omega $. Jsou-li p��vody c�vky zkratov�ny v dob�,
kdy c�vkou proch�z� ust�len� proud, klesne proud v c�vce na jednu desetinu
p�vodn� hodnoty za \newline
0,01 s. Jak� je vlastn� induk�nost c�vky?
\begin{flushright}
[435 mH]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.15 K nabit� akumul�toru je pot�eba 20 amp�rhodin ust�len�ho proudu. Za
jak dlouho se akumul�tor nabije st��dav�m proudem o efektivn� hodnot� 1 A,
kter� usm�rn�me dvoucestn�m usm�r�ova�em?
\begin{flushright}
[22,2 h]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.16 Prostor mezi deskami kondenz�toru je vypln�n dielektrikem o relativn�
permitivit� 3 a rezistivit� $10^{8}~\Omega .\hbox{m}$. Ur�ete �asovou
konstantu kondenz�toru.
\begin{flushright}
$[2,65.10^{-3} \hbox{s}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.17 S�riov� RLC obvod m� vlastn� frekvenci $f_{0}$=600 kHz, kapacitu 370 pF
a odpor 15 $\Omega $. Ur�ete �initel jakosti obvodu.
\begin{flushright}
[50]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.18 S�riov� obvod m� kapacitu 0,1 $\mu$F a induk�nost 0,1 H. Jak� mus� b�t
odpor $R$, aby nastal pr�v� p��pad kritick�ho �tlumu?
\begin{flushright}
[2 k$\Omega $]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.19 S�riov� rezonan�n� obvod $R=0,1 ~\Omega ,~L=1~ H,~C=100~\mu F$ je
p�ipojen ke zdroji st��dav�ho nap�t� o amplitud� 1 V. Jak� bude amplituda
nap�t� a proudu p�i rezonanci?
\begin{flushright}
[1 000 V, 10 A]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
5.20 M�jme spot�ebi� o re�ln� impedanci $R$, kter� p�i efektivn�m nap�t�
120 V vyv�j� v�kon 60 W. Chceme provozovat tento spot�ebi� na t�m� v�konu
p�i efektivn� hodnot� nap�t� 240 V v s�ti 50 Hz. Jakou induk�nost nebo jakou
kapacitu bychom museli p�ed�adit?
\begin{flushright}
[1,32 H nebo 7,67 $\mu $F]
\end{flushright}
\newpage
\centerline{{\bf\huge S~O~U~S~T~A~V~Y~~~F~Y~Z~I~K~�~L~N~�~C~H}}
\vspace*{1cm}
\centerline{{\bf\huge J~E~D~N~O~T~E~K}}
\vspace*{2cm}
Z�kladem dne�n�ch m�rov�ch soustav je syst�m metrick�, kter� se zrodil v
obdob� Velk� francouzsk� revoluce. Jednotka {\em metr} byla p�vodn� definov�na
z d�lky kvadrantu zemsk�ho poledn�ku jako jeho desetimiliont� ��st a
realizov�na v podob� tzv. archivn�ho metru z r. 1799. Bylo to platinov�
prav�tko pr��ezu 25 kr�t 4 mm, kter� slou�ilo jako m�ra koncov�
a je dnes ulo�eno v Louvru. V r.1869 bylo upu�t�no od poledn�kov� definice a
za metr prohl�ena d�lka prototypu. Nov� prototyp zvan� mezin�rodn� metr byl
zhotoven r.1889 a p�edstavuje kolejni�ku z platiny a iridia (9:1) o pr��ezu
20 kr�t 20 mm. Vzd�lenost metru je na n�m vyzna�ena dv�ma vrypy, je to tedy
m�ra ��rkov�. V roce 1960 byla d�lka metru stanovena pomoc� vlnov� d�lky
sv�tla a� kone�n� r. 1983 byla p�ijata dne�n� definice: \newline
{\em metr je d�lka rovnaj�c� se vzd�lenosti, kterou ub�hne sv�tlo ve vakuu za
1/299 792 458 s.} Pokud by se tedy poda�ilo d�le zp�esnit hodnotu rychlosti
sv�tla ve vakuu, z�stala by jej� ��seln� hodnota stejn� a zm�nil by se metr.\\
Jednotka hmotnosti, {\em kilogram}, byla rovn� stanovena pomoc� prototypu.
Je j�m rovnostrann� platino - iridiov� v�lec o pr�m�ru 38 mm a je ulo�en v
S\`evres u Pa��e. Byl zhotoven r. 1889 a od t� doby se nepoda�ilo naj�t
vhodnou p��rodn� definici jednotky hmotnosti. \\
Pokud jde o jednotku �asu, {\em sekundu}, byla p�vodn� stanovov�na z
astronomick�ch m��en�, jako 1/86 400 st�edn�ho slune�n�ho dne, pak z
d�lky tropick�ho roku a v r.1967 byla sekunda definov�na jako {\em doba trv�n�
9 192 631 770 period z��en�, kter� p��slu�� p�echodu mezi dv�ma velmi jemn�mi
hladinami z�kladn�ho stavu atomu cesia 133}. \\
V roce 1875 byla uzav�ena mezin�rodn� metrick� konvence mezi 17 st�ty (v�etn�
Rakousko-Uherska), jejich� po�et se od t� doby neust�le zv�t�oval.
�eskoslovensko k n� p�istoupilo jako nov� st�t 1922. Nejvy���m org�nem
konvence je Gener�ln� konference pro m�ry a v�hy, kter� se sch�z� ka�d�
�ty�i roky v Pa��i a upravuje ot�zky jednotek a m��en�. Ot�zky jednotek a
m��en� elektrick�ch a magnetick�ch veli�in byly zprvu upravov�ny na
mezin�rodn�ch elektrotechnick�ch kongresech, z nich� prvn� se se�el v Pa��i
r. 1881.
Elektrick� a magnetick� jednotky p�vodn� navazovaly na soustavu CGS
(centimetr - gram - sekunda) a vych�zely ze symetrie Coulombov�ch z�kon�
pro elektrick� a magnetick� n�boje:
\begin{displaymath}
F\;=\;k_{1}~\frac{Q_{1}~Q_{2}}{r^{2}}\;,~~~~~F\;=\;k_{2}~
\frac{M_{1}~M_{2}}{r^{2}}\;.
\end{displaymath}
Polo��me-li zde konstanty $k_{1},~k_{2}$ rovny jedn� a bezrozm�rn�, dostaneme
nez�visl� jednotky pro elektrick� a magnetick� n�boj s t�m� rozm�rem
$\hbox{L}^{3/2}\hbox{M}^{1/2}\hbox{T}^{-1}$. Intenzitu magnetick�ho pole
$\vec H$ pak definujeme analogicky intenzit� elektrick�ho pole jako s�lu
p�sob�c� na jednotkov� magnetick� n�boj.
Vedle Coulombov�ch z�kon� m�me v�ak je�t� dal�� silov� z�kon, podle n�ho�
nekone�n� p��m� vodi� vyvol�v� v okol� magnetick� pole o velikosti intenzity
\begin{displaymath}
H\;=\;k_{3}~\frac{2~I}{r}\;.
\end{displaymath}
Tento z�kon spojuje elektrick� a magnetick� veli�iny. Proto�e jednotky t�chto
veli�in byly ji� ur�eny volbou konstant $k_{1},~k_{2}$, nen� konstanta $k_{3}$
nez�visl� a je mo�no ji zm��it. To u�inil Weber a s p�ekvapen�m zjistil, �e
tato konstanta je rovna p�evr�cen� hodnot� rychlosti sv�tla ve vakuu.
Obecn� plat� mezi t�mito konstantami vztah $k_{1}k_{2}/k_{3}=c^{2}$. M��eme
tedy v�dy dv� z nich volit a t�et� je pak ur�ena. Polo��me-li $k_{1}$ a
$k_{3}$ rovny jedn�, dostaneme elektrostatickou soustavu CGSE, polo��me-li
$k_{2}$ a $k_{3}$ rovny jedn�, magnetickou soustavu CGSM, polo��me-li $k_{1}$
a $k_{2}$ rovny jedn�, vyjde n�m $k_{3}=1/c$ a dostaneme Gaussovu absolutn�
soustavu. Ta se dosud b�n� pou��v� v zahrani�n� fyzik�ln� literatu�e. M� tu
v�hodu, �e vektory intenzity elektrick�ho a magnetick�ho pole, elektrick� a
magnetick� indukce maj� v n� v�echny stejn� rozm�r a nevyskytuj� se v n�
nefyzik�ln� konstanty $\varepsilon_{0}$ a $\mu_{0}$. Zato se v �ad� vzorc�,
nap��klad u magnetick� Lorentzovy s�ly, objevuje koeficient $1/c$.\\
Proto�e jednotky nap�t�, proudu a odporu v soustav�ch CGS nem�ly vhodnou
velikost pro praktick� u�it�, zavedl mezin�rodn� elektrotechnick� kongres
v Chicagu r. 1893 tazvan� praktick� jednotky: ohm jako $10^{9}$ CGSM,
amp�r jako $10^{-1}$ CGSM a volt jako $10^{8}$ CGSM. Z�rove� definoval i
experiment�ln� prototypy t�chto jednotek (ohm jako odpor rtu�ov�ho sloupce za
definovan�ch podm�nek, amp�r jako proud, kter� p�i elektrol�ze vylou�� z
roztoku dusi�nanu st��brn�ho ur�it� mno�stv� st��bra a volt jako ur�itou ��st
nap�t� Westonova �l�nku). Sou�in voltu a amp�ru d�v� jednotku v�konu jeden
watt rovn� $10^{7}$ jednotek v�konu CGS. Aby se dos�hl soulad mezi t�mito
praktick�mi elektrotechnick�mi jednotkami a mechanick�mi jednotkami, p�e�lo
se od soustavy CGS k soustav� MKS (metr - kilogram - sekunda), kde je jednotkou
v�konu pr�v� watt.
V roce 1882 navrhl Heaviside takzvanou racionalizaci elektrick�ch a
magnetick�ch jednotek (vlastn� normov�n� toku silo�ar na jednotku prostorov�ho
�hlu) a konstanty $k_{1},~k_{2}$ dostaly tvar
\begin{displaymath}
k_{1}\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\;,~~~~~k_{2}\;=\;
\frac{1}{4\pi \mu_{0}}\;.
\end{displaymath}
Pokud by elektrick� a magnetick� n�boj byly skute�n� dv� nez�visl� veli�iny,
bylo by mo�no nez�visle volit konstanty $\varepsilon_{0},~~~\mu_{0}$ a t�m
ur�it soustavu jednotek. V Gaussov� absolutn� soustav� by sta�ilo zvolit
$\varepsilon_{0}=\mu_{0}=1/4\pi $. Proto�e se v�ak uk�zalo, �e magnetick�
n�boj je v�z�n s n�bojem elektrick�m a pro konstanty $\varepsilon_{0},\mu_{0}$
plat� vztah (4.10), m��eme vlastn� volit jen jednu konstantu.\\
A tak Gener�ln� konference v roce 1948 rozhodla polo�it
$\mu_{0}=4\pi .10^{-7}~\hbox{m.kg.s}^{-2}\hbox{A}^{-2}$ a definovat tak
jako z�kladn� jednotku pro elektromagnetick� veli�iny {\em amp�r} (viz
definice na str. 146). T�m vznikla soustava MKSA. Pozd�ji byly dopln�ny
z�kladn� veli�iny z dal��ch oblast� fyziky, a to jednotka teploty {\em
kelvin} (jako {\em 273,16t� ��st termodynamick� teploty trojn�ho bodu vody},
1954), jednotka sv�tivosti {\em kandela} (jako {\em sv�tivost zdroje, kter�
vys�l� monochromatick� z��en� frekvence 540.$10^{12}$ Hz a jeho� z��ivost v
dan�m sm�ru �in� 1/683 watt� na steradi�n}, 1979) a jednotka l�tkov�ho
mno�stv� {\em mol} (jako {\em l�tkov� mno�stv� soustavy, kter� obsahuje pr�v� tolik
element�rn�ch jedinc�, kolik je atom� v 0,012 kg uhl�ku 12}, 1971).
V roce 1960 p�ijala Gener�ln� konference soustavu MKSA dopl�ovanou o dal��
jednotky jako ucelenou soustavu fyzik�ln�ch jednotek pod n�zvem le Syst\`eme
International d'Unit�s (SI), kter� je postupn� uz�ko�ov�na v dal��ch zem�ch.
U n�s byla zavedena z�konem z r. 1962 a v�len�na do norem. Soustava SI
nen� ov�em uzav�ena, ka�d� �ty�i roky se sch�z� Gener�ln� konference a
vn�� dal�� zm�ny a up�esn�n�. I kdy� je ot�zka soustavy fyzik�ln�ch
jednotek jist� d�le�it�, nen� na druh� stran� t�eba ji p�ece�ovat. Jestli�e
p�i �e�en� n�jak�ho fyzik�ln�ho probl�mu se uk�e v�hodn�j�� pou��t jednotek
jin�ch, fyzik nev�h� to u�init. Jedna v�c jsou toti� z�kony a normy lidsk�,
kter� mohou b�t na konferenc�ch m�n�ny, jin� v�c jsou z�kony p��rodn�, kter�
m�n�ny b�t nemohou.
Uvedeme p�ehled nejd�le�it�j��ch mechanick�ch a elektromagnetick�ch fyzik�ln�ch veli�in a
jejich jednotek. V posledn�m sloupci uv�d�me p�evodn� koeficient $k$ mezi
soustavou SI a soustavou Gaussovou\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|c|c|c|}
\hline
\vspace*{5mm}
veli�ina & rozm�r & jednotka & k \\
\hline
frekvence & $\hbox{T}^{-1}$ & Hz & - \\
\hline
rychlost & $\hbox{LT}^{-1}$ & $\hbox{m.s}^{-1}$ & - \\
\hline
zrychlen� & $\hbox{LT}^{-2}$ & $\hbox{m.s}^{-2}$ & - \\
\hline
hybnost & $\hbox{LMT}^{-1}$ & $\hbox{kg.m.s}^{-1}$ & - \\
\hline
s�la & $\hbox{LMT}^{-2}$ & N & - \\
\hline
tlak & $\hbox{L}^{-1}\hbox{MT}^{-2}$ & Pa & - \\
\hline
energie & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-2}$ & J & - \\
\hline
v�kon & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-3}$ & W & - \\
\hline
proud & I & A & $3.10^{9}$ \\
\hline
n�boj & TI & C & $3.10^{9}$ \\
\hline
intenzita el. pole & $\hbox{LMT}^{-3}\hbox{I}^{-1}$ & $\hbox{V.m}^{-1}$
& 1/$3.10^{4}$ \\
\hline
potenci�l, emn & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-3}\hbox{I}^{-1}$ & V & 1/300 \\
\hline
el. indukce & $\hbox{L}^{-2}\hbox{TI}$ & $\hbox{C.m}^{-2}$ & $12\pi .10^{5}$ \\
\hline
el. induk�n� tok & TI & C & $12\pi .10^{9}$ \\
\hline
el. dip�l. moment & LTI & C.m & $3.10^{11}$ \\
\hline
polarizace & $\hbox{L}^{-2}\hbox{TI}$ & $\hbox{C.m}^{-2}$ & $3.10^{5}$ \\
\hline
kapacita & $\hbox{L}^{-2}\hbox{M}^{-1}\hbox{T}^{4}\hbox{I}^{2}$ & F &
$9.10^{11}$ \\
\hline
odpor & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-3}\hbox{I}^{-2}$ & $\Omega $ & $1/9.10^{11}$ \\
\hline
vodivost & $\hbox{L}^{-2}\hbox{M}^{-1}\hbox{T}^{3}\hbox{I}^{2}$ & S &
$9.10^{11}$ \\
\hline
mg. indukce & $\hbox{MT}^{-2}\hbox{I}^{-1}$ & T & $10^{4}$ \\
\hline
mg. induk�n� tok & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-2}\hbox{I}^{-1}$ & Wb & $10^{8}$ \\
\hline
intenzita mg. pole & $\hbox{L}^{-1}\hbox{I}$ & $\hbox{A.m}^{-1}$ &
$4\pi .10^{-3}$ \\
\hline
mg. dip�l. moment & $\hbox{L}^{2}\hbox{I}$ & $\hbox{A.m}^{2}$ & $10^{3}$ \\
\hline
magnetizace & $\hbox{L}^{-1}\hbox{I}$ & $\hbox{A.m}^{-1}$ & $10^{-3}$ \\
\hline
induk�nost & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-2}\hbox{I}^{-2}$ & H & $10^{9}$ \\
\hline
mmn & I & A & $4\pi .10^{-1}$ \\
\hline
mg. odpor & $\hbox{L}^{-2}\hbox{M}^{-1}\hbox{T}^{2}\hbox{I}^{2}$ &
$\hbox{H}^{-1}$ & $4\pi .10^{-7}$ \\
\hline
mg. vodivost & $\hbox{L}^{2}\hbox{MT}^{-2}\hbox{I}^{-2}$ & H & $10^{7}/4\pi $ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
{\bf{\Large Ot�zky:}} \newline
01. Z�kladn� postul�ty STR, Lorentzovy transformace a jejich d�sledky \newline
02. Relativistick� skl�d�n� rychlost�, aberace \newline
03. Hmotnost, hybnost a energie v STR \newline
04. Z�kladn� postul�ty OTR a jej� experiment�ln� ov��en� \newline
05. Elektrick� n�boj v klidu a za pohybu \newline
06. Coulomb�v z�kon a jeho experiment�ln� ov��en� \newline
07. Element�rn� n�boj a metody jeho ur�ov�n� \newline
08. Energie soustavy n�boj�, hustota energie elektrick�ho pole \newline
09. Gauss�v z�kon \newline
10. Maxwellovy rovnice elektrostatick�ho pole a jejich �e�en� \newline
11. Multip�lov� rozvoj elektrostatick�ho pole \newline
12. Elektrick� dip�l a jeho pole \newline
13. Elektrick� dvojvrstva \newline
14. Vektor elektrick� polarizace, polarizovan� t�lesa \newline
15. Vodi�e v elektrostatick�m poli \newline
16. Z�kladn� �loha elektrostatiky a jej� �e�en� \newline
17. Kapacita, kondenz�tor, energie kondenz�toru \newline
18. Elektrostatick� pole v dielektriku, vektor elektrick� indukce \newline
19. Stacion�rn� elektrick� proud a pole \newline
20. Rovnice kontinuity elektrick�ho proudu \newline
21. Ohm�v z�kon v integr�ln�m a diferenci�ln�m tvaru \newline
22. Klasick� teorie vodivosti, vodivost elektrolyt� a plyn� \newline
23. Tolman�v - Stewart�v pokus \newline
24. Vodivost kondenzovan�ch l�tek, supravodivost \newline
25. Elektromotorick� nap�t� a jeho zdroje \newline
26. Kirchoffovy z�kony a �e�en� s�t� \newline
27. Joule�v z�kon v integr�ln�m a diferenci�ln�m tvaru \newline
28. Elektrick� pole pohybuj�c�ho se n�boje \newline
29. S�ly mezi pohybuj�c�mi se n�boji, s�la Lorentzova \newline
30. Magnetick� indukce a vektorov� potenci�l \newline
31. Maxwellovy rovnice stacion�rn�ch pol� \newline
32. Amp�r�v z�kon \newline
33. Biot�v - Savart�v z�kon \newline
34. Transformace slo�ek elektrick�ho a magnetick�ho pole \newline
35. S�ly p�sob�c� mezi elektrick�mi proudy \newline
36. Magnetick� tlak a hustota energie magnetick�ho pole \newline
37. Pohyb nabit� ��stice v elektrick�m a magnetick�m poli \newline
38. Hall�v jev \newline
39. Induk�nost, solenoid a energie solenoidu \newline
40. Faraday�v z�kon elektromagnetick� indukce \newline
41. Maxwellovy rovnice elektromagnetick�ho pole, posuvn� proud \newline
42. Elektromagnetick� vlna \newline
43. P�echodov� stavy v RC a RL obvodu \newline
44. Impedance \newline
45. Rezonance v s�riov�m RLC obvodu \newline
46. Magnetick� dip�l a jeho pole \newline
47. Vektor magnetizace a intenzity magnetick�ho pole, magnetika \newline
48. Magnetick� obvody \newline
49. Maxwellovy rovnice v l�tkov�m prost�ed�, vztah k Lorentzov�m rovnic�m
\newline
50. Soustavy jednotek ve fyzice
\newpage
{\bf\huge Obsah}
\vspace*{3mm}
{\bf\Large Matematick� apar�t} .............................................
...................3 \newline
1. Skal�rn� a vektorov� pole .................................................
..................3 \newline
2. Gradient skal�rn�ho pole ..............................................
......................5 \newline
3. Divergence vektorov�ho pole .............................................
...................7 \newline
4. Rotace vektorov�ho pole ................................................
....................11 \newline
5. Oper�tory $\vec a\nabla $ a $\Delta $ ..................................
........................................14 \newline
6. Vektorov� pole potenci�ln� a solenoid�ln� ..............................
...................15 \newline
7. N�kter� integr�ln� v�ty vektorov� anal�zy ..............................
..................18 \\
{\bf\Large 1. Z�klady teorie relativity} .....................................
................20 \newline
1.1 Speci�ln� teorie relativity ..............................................
..................20 \newline
1.2 Lorentzovy transformace a jejich d�sledky ..............................
...............26 \newline
1.3 Relativistick� dynamika .................................................
................34 \newline
1.4 O obecn� teorii relativity ..............................................
...................37 \\
{\bf\Large 2. Elektrostatika} .............................................
........................42 \newline
2.1 Elektrick� n�boj ......................................................
.....................42\newline
2.2 Elektrostatick� pole ......................................................
................49 \newline
2.3 Elektrick� dip�l a vektor polarizace ..................................
...................62 \newline
2.4 Vodi�e v elektrostatick�m poli .........................................
..................70 \newline
2.5 Dielektrika v elektrostatick�m poli ......................................
.................79 \\
{\bf\Large 3. Stacion�rn� elektrick� pole} .................................
.................94 \newline
3.1 Elektick� proud .......................................................
....................94 \newline
3.2 Vlastnosti stacion�rn�ho proudu ..........................................
..............98 \newline
3.3 Z�klady teorie vodivosti ............................................
....................112 \newline
3.4 Zdroje elektromotorick�ho nap�t� .........................................
.............124 \\
{\bf\Large 4. Stacion�rn� magnetick� pole } ...............................
..............134 \newline
4.1 S�ly p�sob�c� mezi pohybuj�c�mi se n�boji ...........................
.................134 \newline
4.2 Vlastnosti magnetickho pole .........................................
..................140 \newline
4.3 Magnetick� dip�l a vektor magnetizace ...................................
............159 \newline
4.4 Magnetika v magnetick�m poli ...........................................
..............164 \newline
4.5 Pohyb nabit�ch ��stic v elektrick�ch a magnetick�ch pol�ch ...........
..............171 \\
{\bf\Large 5. Elektromagnetick� pole} ....................................
.................183 \newline
5.1 Elektromagnetick� indukce .............................................
................183 \newline
5.2 Kvazistacion�rn� obvody ..................................................
..............195 \newline
5.3 Maxwellovy rovnice elektromagnetick�ho pole ............................
............203 \\
{\bf\Large Soustavy fyzik�ln�ch jednotek}.................................
.................211
\newpage
\centerline{{\bf\Large P�edmluva}}
\vspace*{1cm}
P�edkl�dan� skripta jsou ur�ena student�m prvn�ho ro�n�ku Fakulty jadern� a
fyzik�ln� in�en�rsk� �VUT v Praze jako pom�cka p�i studiu z�kladn�ho kursu
fyziky ve druh�m semestru. Mohou ov�em slou�it i dal��m z�jemc�m a student�m
vy���ch ro�n�k� k vyhled�n� pot�ebn� informace. Vych�zej� s mnohalet�
pedagogick� zku�enosti autora s v�ukou p�edm�tu Elekt�ina a magnetismus a
ve srovn�n� s d��ve pou��van�mi skripty jsou pojata p�ehledn�ji a
systemati�t�ji, t�sn�ji sleduj� p�edn�kov� v�klad. Aplikace teorie na
konkretn� probl�my jsou vy�len�ny do ��slovan�ch �loh, k procvi�en�
l�tky a p��prav� ke zkou�k�m slou�� p��klady za jednotliv�mi kapitolami
a z�v�re�n� ot�zky. Skripta tvo�� jeden celek s p�ipravovan�mi skripty autora
Mechanika.
Skripta nemaj� ov�em nahradit u�ebnice a dal�� monografickou
literaturu, se kterou mus� studenti fyzik�ln�ch a fyzik�ln� in�en�rsk�ch
obor� pracovat. V tomto ohledu je k dispozici u�ebnice autor� B. Sedl�ka a
I. �tolla "Elekt�ina a magnetismus" (Academia, Karolinum 1993), kde je
mo�no naj�t odkazy i na dal�� literaturu a tak� informaci o historick�m v�voji
poznatk� o elekt�in� a magnetismu. Klasickou u�ebnic�, v n� je st�le mo�no
naj�t cenn� pou�en�, je kniha V. Petr��lky a S. �afraty "Elekt�ina a
magnetismus" z r. 1953.
Autor d�kuje v�em, kde v pr�b�hu mnoha let p�isp�li ke zdokonalov�n� v�uky
tohoto p�edm�tu a p�edev��m odhalov�n� chyb a omyl� (co� je ov�em proces
nikdy nekon��c�), spolupracovn�k�m na kated�e fyziky, student�m a zejm�na
recenzentovi. \\
Praha z��� 1994
\begin{flushright}
I. �toll
\end{flushright}
\newpage
{\bf\huge 2.~~~~2.~~~~2.~~~~~2.}
\vspace*{5cm}
{\bf\Large 2. Lorentzovy transformace a jejich d�sledky}
\vspace*{2cm}
{\bf\Large 2. Lorentzovy transformace a jejich d�sledky}
\vspace*{2cm}
{\bf\Large 2.Lorentzovy transformace a jejich d�sledky}
