\centerline{{\bf\huge M~A~T~E~M~A~T~I~C~K~�~~~A~P~A~R~�~T}}
\zeroequation{M}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 1. Skal�rn� a vektorov� pole}
\vspace*{1cm}
\setcounter{page}{3}
Ve fyzice nast�v� �asto pot�eba p�i�adit jednotliv�m bod�m prostoru skal�rn�
�i vektorovou veli�inu. Mluv�me pak o skal�rn�m �i vektorov�m poli.
{\em Skal�rn� pole\/} p�i�azuje ka�d�mu bodu v ur�it� oblasti prostoru
jednozna�n� re�ln� ��slo; m��e tedy b�t pops�no pomoc� funkce prostorov�ch
sou�adnic. V kart�zsk� soustav� sou�adnic m��eme polohu ka�d�ho bodu v
prostoru vyj�d�it jeho polohov�m vektorem (nep�kn� "r�diusvektorem")
$\vec r$ o sou�adnic�ch $x,\;y,\;z$, tedy $\vec r\;\equiv\;(x,y,z)$. Dan�
skal�rn� pole pak m��eme vyj�d�it jako funkci vektoru $\vec r$ nebo jako
funkci t�� prom�nn�ch $x,\;y,\;z$
\begin{equation}
f\;=\;f(\vec r)\;=\;f(x,y,z) .
\end{equation}
Podobn� {\em vektorov� pole\/} m��e b�t pops�no vektorovou funkc� $\vec F$.
Ta p�edstavuje uspo��danou trojici skal�rn�ch funkc� prostorov�ch sou�adnic:
\begin{equation}
\vec F(\vec r)\;=\;[F_{x}(x,y,z),\;F_{y}(x,y,z),\;F_{x}(x,y,z)] .
\end{equation}
Skal�rn� a vektorov� pole, kter� nez�vis� explicitn� na �ase se naz�vaj�
{\em stacion�rn�\/}. Obecn� pole mohou b�t ov�em �asov� z�visl�. Takov�
pole $f(x,y,z,t),\;\vec F(x,y,z,t)$, kter� jsou funkcemi t�� prostorov�ch
a jedn� �asov� sou�adnice se naz�vaj� {\em nestacion�rn�\/}.
Proto�e skal�rn� a vektorov� pole jsou pops�na funkcemi v�ce prom�nn�ch,
m��eme je parci�ln� derivovat. Pro skal�rn� pole m��eme vytvo�it t�i prvn�
parci�ln� derivace, pro vektorov� pole dev�t prvn�ch parci�ln�ch derivac�;
d�le m��eme po��tat parci�ln� derivace druh�ho a vy���ch ��d�. V�dy budeme
p�edpokl�dat, �e uva�ovan� funkce jsou dostate�n� hladk� a �e tyto
derivace existuj�.
�asto je t�eba vy�et�ovat vlastnosti dan�ho pole na ur�it� k�ivce. Pak lze
zav�st pojem {\em sm�rov� derivace.\/} Prob�h�-li bod $A$ po n�jak�
k�ivce, m��e b�t jeho poloha ur�ena d�lkou oblouku $s$ m��en�ho od pevn�ho
referen�n�ho bodu $A_{0}$ na t�to k�ivce (viz obr. M 1.).
\begin{figure}
\vspace*{10cm}
\centerline{obr. M 1.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Sou�adnice polohov�ho vektoru $\vec r$ m��eme vyj�d�it pomoc� parametru
$s$ jako $x\;=\;x(s),\;y\;=\;y(s),\;z\;=\;z(s).$ Jestli�e polohov� vektor
sv�r� s osami sou�adnic �hly $\alpha, \beta, \gamma$, plat� $\cos \alpha
\;=\;\frac{x}{r},\;\cos \beta\;=\;\frac{y}{r},\;\cos \gamma\;=\;\frac{z}{r}$,
p�i�em� pro sm�rov� kosiny plat� $\cos^{2} \alpha\;+\;\cos^{2} \beta
\;+\;\cos^{2} \gamma\;=\;1.$
Sledujme nyn� situaci, kdy se bod $A$ neomezen� p�ibli�uje po dan� k�ivce
k bodu $A_{0}$. Polohov� vektor $\vec r$ p�ejde v diferenci�ln� mal�
vektor $d\vec r\;=\;(dx,dy,dz)$ a bude m�t sm�r te�ny ke k�ivce v bod�
$A_{0}$ a velikost $ds$. Jednotkov� te�n� vektor $\vec t$ v bod� $A$
je pak mo�no vyj�d�it derivacemi sou�adnic podle parametru $s$:
\begin{equation}
\vec t\;=\;\left( \frac{dx}{ds},\;\frac{dy}{ds},\;\frac{dz}{ds}\right) \;=
\;(\cos \alpha,\;\cos \beta,\;\cos \gamma) .
\end{equation}
Z�skan� v�sledek nen� ovlivn�n volbou referen�n�ho bodu. P�echod k jin�mu
po��tku $A'_{0}$ by znamenal p�i��st konstantn� vektor spojuj�c� oba
po��tky; ten v�ak po derivov�n� podle parametru $s$ d� nulov� vektor.
M�jme nyn� skal�rn� pole $f(x,y,z)$. Toto pole na k�ivce m��eme vyj�d�it
slo�enou funkc� $f[x(s),y(s),z(s)]$ jedn� prom�nn� $s$. Podle pravidel pro
derivov�n� slo�en� funkce v�ce prom�nn�ch dost�v�me
\begin{equation} \label{smerd}
\left( \frac{df}{ds}\right) _{\vec t}\;=\;\frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds}\;+\;
\frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds}\;+\;\frac{\partial f}{\partial z}
\frac{dz}{ds}\;=\;\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha\;+\;
\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta\;+\;\frac{\partial f}{\partial z}
\cos \gamma .
\end{equation}
Tento v�raz p�edstavuje derivaci skal�rn�ho pole $f$ ve sm�ru dan�m
jednotkov�m vektorem $\vec t$. Je p�itom jedno po jak� k�ivce se bod
$A$ p�ibli�uje k bodu $A_{0}$ v n�m� derivaci ur�ujeme, pokud v�echny
tyto k�ivky maj� t�� te�n� vektor. Sm�rov� derivace je tedy lok�ln�
charakteristika pole v dan�m bod� z�visl� pouze na zvolen�m sm�ru.
Tak� vektorov� pole mohou z�viset na parametru, nap��klad na �ase nebo
d�lce k�ivky. Derivace vektoru podle skal�rn�ho parametru je definov�na
obdobn� jako derivace skal�rn� funkce
\begin{equation}
\frac{d\vec F(s)}{ds}\;=\;\lim_{\Delta s \to 0}\frac{\vec F(s\;+\;\Delta
s)\;-\;\vec F(s)}{\Delta s} .
\end{equation}
Vzhledem ke zp�sobu ode��t�n� vektor� se snadno p�esv�d��me, �e takto
definovan� derivace vektoru p�edstavuje vektor tvo�en� derivacemi
sou�adnic vektoru:
\begin{equation}
\frac{d\vec F}{ds}\;=\;\left( \frac{dF_{x}}{ds}\;,\;\frac{dF_{y}}{ds}\;,\;
\frac{dF_{z}}{ds}\right) .
\end{equation}
Pro derivov�n� sou�t� a sou�in� vektorov�ch funkc� (skal�rn�ho, vektorov�ho,
sou�inu vektorov� a skal�rn� funkce) plat� t� pravidla jako p�i derivov�n�
skal�rn�ch funkc�; u vektorov�ho sou�inu mus�me ov�em dodr�et po�ad�
derivovan�ch funkc�.
Speci�ln�, m�-li vektor $\vec F$ p�i zm�n� parametru konstantn� velikost
a prom�nn� sm�r, plat� $\vec F'\;\bot \;\vec F$. Zderivov�n�m $F^{2}\;=\;
\vec F \cdot \vec F\;=\;\hbox{konst}$ toti� dostaneme $2\vec F'\cdot \vec F\;=\;0$.
\vspace*{2cm} {\bf\Large 2. Gradient skal�rn�ho pole}
\vspace*{1cm}
Sm�rovou derivaci dan�ho skal�rn�ho pole $f(x,y,z)$ (\ref{smerd}) m��eme
vyj�d�it jako skal�rn� sou�in vektoru
\begin{equation} \label{grad}
\hbox{grad}\; f\;\equiv \; \nabla f\;=\;\left( \frac{\partial f}{\partial x}\;,
\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right)
\end{equation}
naz�van�ho {\em gradientem skal�rn�ho pole} $f(x,y,z)$ a jednotkov�ho
vektoru $\vec t$ v dan�m sm�ru. P�itom jsme zavedli diferenci�ln�
oper�tor
\begin{displaymath}
\nabla \;\equiv \;\left( \frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y}
,\;\frac{\partial}{\partial z}\right)
\end{displaymath}
naz�van� "oper�tor nabla".\footnote{Exotick� n�zev nabla je odvozen od
n�zvu f�nick�ho hudebn�ho n�stroje p��buzn�ho loutn�, jemu� se tvarem
podob�.} M��eme jej pova�ovat za form�ln� vektor, kter� n�soben (zprava)
skal�rn�m polem $f$ vyjad�uje gradient tohoto pole. Ur��me geometrick�
v�znam gradientu skal�rn�ho pole.
Mno�ina bod� s konstantn� hodnotou veli�iny $f$, kter� je ur�ena rovnic�
$f(x,y,z)\;=\;\hbox{konst}$, se naz�v� {\em ekvipotenci�ln� plochou\/} dan�ho
pole. Jedna z t�chto ploch bude proch�zet i bodem $A_{0}$. V tomto bod�
lze pak vzty�it norm�lu k ekvipotenci�ln� plo�e a stanovit jednotkov�
norm�lov� vektor $\vec n$. Skal�rn� pole n�m tak v ka�d�m bod� definuje
ur�it� v�zna�n� sm�r. Je snadn� se p�esv�d�it (viz obr. M 2.), �e sm�r
norm�ly k ekvipotenci�ln� plo�e je z�rove� sm�rem nejv�t�� zm�ny (nejv�t��ho
zhu�t�n�) ekvipotenci�ln�ch ploch. V norm�lov�m sm�ru protne toti� jednotkov�
vektor nejv�t�� mno�stv� t�chto ploch. V dvojrozm�rn�m p��pad� zemsk�ho
povrchu m��eme za skal�rn� pole pova�ovat nap��klad pole v��ek,
ekvipotenci�ln�m ploch�m pak odpov�daj� vrstevnice a norm�la k nim
ud�v� sm�r maxim�ln�ho stoup�n�.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. M 2.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. M 3.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Zvolme na okam�ik sou�adnou osu $z'$ ve sm�ru norm�ly $\vec n$ a druh�
dv� osy $x',y'$ k n� kolm� (obr. M 3.).
Sou�asn� m�jme libovoln� sm�r dan� jednotkov�m vektorem $\vec t'\;\equiv\;
(\cos \alpha',\;\cos \beta',\;\cos \gamma')$. Derivace v tomto sm�ru bude
analogicky (\ref{smerd})
\begin{equation} \label{smera}
\frac{df}{ds}\;=\;\frac{\partial f}{\partial x'}\cos \alpha'\;+\;
\frac{\partial f}{\partial y'}\cos \beta'\;+\;\frac{\partial f}{\partial z'}
\cos \gamma' .
\end{equation}
Osy $x$' a $y'$ jsou v�ak te�nami ke k�ivk�m, kter� le�� v ekvipotenci�ln�
plo�e, a proto $\frac{\partial f}{\partial x'}\;=\;
\frac{\partial f}{\partial y'}\;=\;0$. Vztah (\ref{smera}) se tak redukuje na
\begin{displaymath}
\frac{df}{ds}\;=\;\frac{\partial f}{\partial z'}\cos \gamma' .
\end{displaymath}
Maxim�ln� hodnotu nab�v� tedy derivace ve sm�ru $z'$, kdy $\cos \gamma' = 1$.
Derivace v dan�m obecn�m sm�ru je projekc� derivace ve sm�ru norm�ly
k ekvipotenci�ln� plo�e (bran� jako vektor) do tohoto sm�ru. Odtud zejm�na
plyne �e parci�ln� derivace $\frac{df}{dx},\;\frac{df}{dy},\;\frac{df}{dz}$
jsou sou�adnicemi vektoru o velikosti t�to maxim�ln� sm�rov� derivace.
V souladu s v�razem (\ref{grad}) m��eme tedy zav�st tuto definici:
{\em Gradient skal�rn�ho pole $f$ v dan�m bod� je vektor o velikosti
derivace ve sm�ru norm�ly k ekvipotenci�ln� plo�e a m� sm�r t�to
norm�ly\/}:
\begin{equation}
\hbox{grad}\; f\;=\;\nabla f\;=\;
\left( \frac {d\;f}{ds}\right)_{\vec n}\;\vec n_{0} .
\end{equation}
Je z�ejm�, �e vektor gradientu m��� v�dy sm�rem vzr�stu funkce $f$.
Operace gradientu p�i�azuje skal�rn�mu poli $f$ jednozna�n� vektorov�
pole $\vec F$:
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;\nabla f .
\end{displaymath}
��k�me, �e $f$ je skal�rn�m potenci�lem pole $\vec F$. Zp�tn� p�i�azen�
ji� jednozna�n� nen�; pole $f$ a $f\;+\;c$, kde $c$ je konstantn� skal�rn�
pole, maj� t�� gradient. Gradient je mo�no vytvo�it ke ka�d�mu skal�rn�mu
poli (pokud p��slu�n� parci�ln� derivace existuj�). Naproti tomu ne ka�d�
vektorov� pole je mo�no vyj�d�it jako gradient pole skal�rn�ho. Ta, u nich�
to mo�n� je, naz�v�me pole {\em potenci�ln�\/}.
Pro po��t�n� s gradienty plat� tato z�ejm� pravidla:
\begin{equation} \label{pravg}
\nabla c=0,~~~~\nabla (cf)=c\;\nabla f,~~~~\nabla (f_{1}\;+\;
f_{2})=\nabla f_{1}\;+\;\nabla f_{2},~~~~\nabla (f_{1}\;f_{2})=
f_{1}\;\nabla f_{2}\;+\;f_{2}\;\nabla f_{1} .
\end{equation}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 3. Divergence vektorov�ho pole}
\vspace*{1cm}
M�jme vektorov� pole $\vec F(x,y,z)$. Definujeme {\em tok pole\/} $\vec F$
plochou $S$ jako plo�n� integr�l
\begin{displaymath}
\Phi\;=\;\int_{S}\;\vec F\cdot d\vec S\;.
\end{displaymath}
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\hspace*{2cm}
obr. M 4.
\hspace*{6cm}
obr. M 5.
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Zde $dS$ je diferenci�ln� element plochy, jemu� jsme p�i�adili sm�r
vektoru norm�ly. Tuto norm�lu je ov�em t�eba orientovat; m��eme to
ud�lat nap��klad tak, �e stanov�me sm�r pohybu po obvodu plo�ky $dS$
a pou�ijeme pravidla pravoto�iv�ho �roubu (obr. M 4). Jde-li o tok
{\em uzav�enou plochou\/} $S$, kter� ohrani�uje objem $V$, budeme
pova�ovat za kladn� sm�r norm�ly ten, kter� sm��uje ven z objemu
$V$, a tok budeme ozna�ovat
\begin{displaymath}
\Phi\;=\;\oint_{S}\vec F\cdot d\vec S\;.
\end{displaymath}
Rozd�l�me nyn� objem $V$ p�ep�kami na $N$ men��ch objem� $V_{i}$.
Ur��me toky pole $\Phi_{i}$ plochami $S_{i}$ ohrani�uj�c�mi tyto
d�l�� objemy a budeme je s��tat. Ukazuje se, �e toky d�l��mi p�ep�kami
se v tomto sou�tu vz�jemn� vyru��. P�i s��t�n� tok� hrani�n� plochou
dvou sousedn�ch objem� objev� se toti� v�dy dvakr�t, jednou s kladn�m
a jednou se z�porn�m znam�nkem (viz obr. M 5.). Sum�rn� tok bude
proto roven pr�v� p�vodn�mu toku plochou $S$:
\begin{equation} \label{suma}
\sum_{i=1}^{N}\Phi_{i}\;=\;\sum_{i=1}^{N}\oint_{S_{i}}\vec F_{i}\cdot
d\vec S_{i}\;=\;\Phi \;.
\end{equation}
Zmen�ujeme-li objemy $V_{i}$, z�st�v� jejich sou�et $V$ konstantn�;
tot� plat� pro toky $\Phi_{i}$. Nab�z� se tedy mo�nost vytvo�it
pod�l t�chto dvou neomezen� se zmen�uj�c�ch veli�in a zkoumat
vlastnosti jeho limity.
Zvol�me v prostoru bod $A$ o sou�adnic�ch $x,y,z$ a obklop�me jej mal�m
objemem $\Delta V$. Tok plochou ohrani�uj�c� tento objem ozna��me
$\Delta \Phi$. Budeme nyn� d�lit tento objem na st�le men�� ��sti
libovoln�m zp�sobem a vy�len�me posloupnost t�chto ��st�
$\Delta V_{i}$, kter� st�le obsahuj� bod $A$ .Ozna��me
\begin{equation} \label{ddiv}
\hbox{div}\;\vec F\;=\;\lim_{\Delta V_{i} \to 0}
\frac{\Delta \Phi_{i}}{\Delta V_{i}} .
\end{equation}
Pokud limita na prav� stran� (\ref{ddiv}) existuje a nez�vis� na zp�sobu
d�len� objemu $\Delta V$, p�edstavuje n�m tok pole $\vec F$ v bod� $A$
vzta�en� k jednotce objemu a naz�v�me jej {\em divergenc� pole} $\vec F$
v bod� $A$ .
Vra�me se nyn� k objemu $V$ ohrani�en�mu plochou $S$ a upravme vztah
(\ref{suma}) takto:
\begin{equation} \label{sume}
\Phi\;=\;\oint_{S}\vec F\cdot d\vec S\;=\;\sum_{i=1}^{N}\Delta \Phi_{i}\;=\;
\sum_{i=1}^{N}\frac{\Delta \Phi_{i}}{\Delta V_{i}}\Delta V_{i}\;.
\end{equation}
Pokra�ujme p�itom v neomezen�m d�len� d�l��ch objem� $\Delta V_{i}$
dal��mi p�ep�kami a sledujme posloupnost neomezen� se zmen�uj�c�ch
objem�, kter� se stahuj� kolem bodu $A$. V limit� p�ejde tedy pod�l
$\frac{\Delta \Phi_{i}}{\Delta V_{i}}$ v divergenci div$\vec F$ a sumu
na prav� stran� (\ref{sume}) m��eme nahradit integr�lem p�es objem
$V$:
\begin{equation} \label{Gauss}
\oint_{S}\vec F\;\cdot \;d\vec S\;=\;\int_{V}\hbox{div}\vec F\;dV\;.
\end{equation}
{\em Tok vektorov�ho pole uzav�enou plochou je roven celkov� divergenci
v objemu uzav�en�m touto plochou}. Vztah (\ref{Gauss}) umo��uje p�ej�t
od objemov�ho integr�lu k plo�n�mu integr�lu p�es ohrani�uj�c� plochu
a naz�v� se {\em Gaussovou v�tou}.
Obecn� definice divergence (\ref{ddiv}) m� tu p�ednost, �e nez�vis� na
druhu pou�it�ch sou�adnic a d�v� pojmu divergence n�zorn� geometrick�
smysl. Vyj�d��me nyn� divergenci v kart�zsk�ch sou�adnic�ch podle
obr. M 6.
\begin{figure}
\vspace*{10cm}
\centerline{obr. M 6.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Uva�ujme element�rn� objem ve tvaru kv�dru o hran�ch $\Delta x,\;\Delta y,\;
\Delta z$ rovnob�n�ch s p��slu�n�mi kart�zsk�mi osami. Nech� jeho lev�
doln� zadn� vrchol m� sou�adnice $x,y,z$. Tok dvojic� rovnob�n�ch
podstav tohoto kv�dru (nap��klad horn� a doln�) bude
\begin{displaymath}
\Delta \Phi_{12}\;=\;\Delta \Phi_{2}\;+\;\Delta \Phi_{1}\;=\;
F_{z}(x,y,z+\Delta z)\Delta x\Delta y\;-\;F_{z}(x,y,z)\Delta x\Delta y\;=\;
\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z\;.
\end{displaymath}
Celkov� tok povrchem kv�dru
\begin{displaymath}
\Delta \Phi\;=\;\left( \frac{\partial F_{x}}{\partial x}\;+\;
\frac{\partial F_{y}}{\partial y}\;+\;\frac{\partial F_{z}}{\partial z}
\right) \;\Delta V, \qquad \Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z;.
\end{displaymath}
Podle definice divergence m�me tedy
\begin{equation} \label{dkart}
\hbox{div}\;\vec F\;=\;\frac{\partial F_{x}}{\partial x}\;+\;
\frac{\partial F_{y}}{\partial y}\;+\;\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\;=\;
\nabla \cdot \vec F\;.
\end{equation}
Oper�tor nabla umo��uje vyj�d�it divergenci vektorov�ho pole kompaktn�m
zp�sobem jako skal�rn� sou�in tohoto oper�toru a vektoru pole; po�ad�
obou t�chto symbol� nelze ov�em zam�nit. Volba element�rn�ho objemu ve
tvaru kv�dru neomezuje obecnost, nebo� objem libovoln�ho tvaru m��eme
z takov�ch mal�ch kv�dr� sestavit. Toky p�ep�kami mezi nimi se p�itom
vyru��.
Operace divergence p�i�azuje vektorov�mu poli $\vec F$ jednozna�n�
skal�rn� pole $f$:
\begin{displaymath}
f\;=\;\hbox{div}\;\vec F\;.
\end{displaymath}
Zp�tn� p�i�azen� ji� jednozna�n� nen�: pole $\vec F$ a $\vec F\;+\;\vec F'$,
kde div $\vec F'=0$, maj� tou� divergenci.
Pro po��t�n� s divergencemi plat� tato z�ejm� pravidla:
\begin{equation} \label{pravd}
\nabla \cdot \vec C=0,~~~~\nabla \cdot (c\vec F)=c\nabla \cdot \vec F,~~~~
\nabla \cdot (\vec F_{1}\;+\;\vec F_{2})=\nabla \cdot \vec F_{1}\;+\;\nabla
\cdot \vec F_{2},~~~~\nabla \cdot (f\vec F)=f\nabla \cdot \vec F\;+\;
\vec F\cdot \nabla f\;.
\end{equation}
Uva�me zvl�tn� p��pad, kdy objem $\Delta V$ t�sn� p�imyk� z obou stran
k n�jak� plo�e (nap��klad plo�e nespojitosti pole) a m� tvar ��sti
vrstvy o zanedbateln� tlou��ce \\ (obr. M 7.).
\begin{figure}
\vspace*{8cm}
\centerline{obr. M 7.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Tok $\Delta \Phi$ pak bude roven sou�tu tok� norm�lov�ch slo�ek pole
ob�ma podstavami tohoto objemu:
\begin{displaymath}
\Delta \Phi\;=\;(F_{1n}\;-\;F_{2n})\;\Delta S\;.
\end{displaymath}
Sm�r norm�ly k plo�e jsme zvolili za kladn�, m���-li z oblasti 2 do
oblasti 1. Provedeme-li �vahu o limitn�m zmen�ov�n� plochy $\Delta S$
v okol� bodu $A$ na plo�e, m��eme definovat takzvanou {\em plo�nou
divergenci} vztahem
\begin{equation} \label{pdiv}
\hbox{Div}\vec F\;=\;F_{1n}\;-\;F_{2n}\;=\;\vec n\;\cdot \;
(\vec F_{1}\;-\;\vec F_{2})\;.
\end{equation}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 4. Rotace vektorov�ho pole}
\vspace*{1cm}
M�jme vektorov� pole $\vec F(x,y,z)$. Definujeme {\em cirkulaci pole} pod�l
uzav�en� k�ivky $l$ jako k�ivkov� integr�l
\begin{displaymath}
\Gamma \;=\;\oint_{l}\vec F\cdot d\vec l \;.
\end{displaymath}
Zde $d\vec l$ je diferenci�ln� vektorov� element k�ivky ve sm�ru te�ny.
Jeho orientace je d�na dohodou o smyslu obch�zen� k�ivky, nap��klad
proti sm�ru hodinov�ch ru�i�ek. Uzav�en� k�ivka $l$ tvo�� hranici plochy
$S$; tato plocha nen� ov�em ur�ena jednozna�n� (na rozd�l od objemu
$V$ uvnit� uzav�en� plochy). Na plo�e obehnan� k�ivkou $l$ m��eme op�t
v�st d�lic� k�ivky, vytv��et soustavu d�l��ch ploch, po��tat cirkulace
pod�l jejich hranic a s��tat je. Ukazuje se, �e p��sp�vky k cirkulac�m
pod�l spole�n�ch hranic dvou sousedn�ch ploch se vz�jemn� vyru��.
Zachov�me-li toti� jednotn� smysl obch�zen� k�ivek, budeme takovou
spole�nou hranici obch�zet v�dy v opa�n�m sm�ru (viz obr. M 8.).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. M 8.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Sum�rn� cirkulace bude tedy rovna pr�v� p�vodn� cirkulaci pod�l k�ivky
$l$:
\begin{equation} \label{sumr}
\sum_{i=1}^{N}\Gamma_{i}\;=\;\sum_{i=1}^{N}\oint_{l_{i}}\vec F_{i}\cdot
d\vec l_{i}\;=\;\Gamma\;.
\end{equation}
Zvol�me v prostoru bod $A$ o sou�adnic�ch $x,y,z$, vedeme t�mto bodem rovinu
libovoln� orientace a vymez�me v t�to rovin� uzav�enou k�ivku mal�ch
rozm�r� obklopuj�c� bod $A$. Plochu omezenou touto k�ivkou ozna��me
$\Delta S$, cirkulaci pod�l t�to k�ivky $\Delta \Gamma$. Budeme nyn�
d�lit tuto plo�ku na men�� ��sti a vy�len�me posloupnost plo�ek obsahuj�c�ch
bod $A$. Budeme uva�ovat limitu
\begin{displaymath}
\lim_{\Delta S_{i} \to 0}\frac{\Delta \Gamma_{i}}{\Delta S_{i}}\;,
\end{displaymath}
pokud takov� limita existuje a nez�vis� na zp�sobu d�len� plo�ky
$\Delta S$. Tato limita bude v�ak p�esto z�visl� na volb� orientace
roviny proch�zej�c� bodem $A$ neboli na sm�ru norm�ly k element�rn�
plo�ce, na jej� hranici cirkulaci ur�ujeme. M��eme tedy (podobn�
jako u definice gradientu) pova�ovat tuto limitu za projekci ur�it�ho
vektoru do sm�ru norm�ly k plo�ce:
\begin{equation} \label{drot}
(\hbox{rot}\;\vec F)\;\cdot \;\vec n\;=\;\lim_{\Delta S_{i} \to 0}\frac{\Delta
\Gamma_{i}}{\Delta S_{i}}\;.
\end{equation}
Projekce vektoru rot $\vec F$ do dan�ho sm�ru p�edstavuje tedy pom�r
cirkulace pole po obvodu mal� kolm� plo�ky k velikosti t�to plo�ky.
Vektor $\hbox{rot}\;\vec F$ naz�v�me {\em rotac� pole} $\vec F$ v bod�
$A$\footnote{V anglosask� literatu�e se u��v� pro rotaci n�zvu a
ozna�en� curl $\vec F$. Poznamenejme je�t�, �e rotaci lze zav�st
t� stejn�m limitn�m pochodem jako u divergence, a to vztahem
\begin{displaymath}
\hbox{rot}\;\vec F\;=\;\lim_{\Delta V_{i} \to 0}
\frac{\Delta \vec G_{i}}{\Delta V_{i}},\qquad \hbox{kde}\;\;\;
\vec G\;=\;\oint_{S}d\vec S\times \vec F\;.
\end{displaymath}}.
Vra�me se nyn� k obecn� uzav�en� k�ivce $l$ obep�naj�c� plochu $S$.
Uprav�me vztah (\ref{sumr}) na
\begin{equation} \label{sums}
\Gamma\;=\;\oint_{l}\vec F\cdot d\vec l\;=\;\sum_{i=1}^{N}\Delta \Gamma_{i}\;=
\;\sum_{i=1}^{N}\frac{\Delta \Gamma_{i}}{\Delta S_{i}}\Delta S_{i}\;.
\end{equation}
Pro ka�d� bod $A$ na plo�e $S$ m��eme vytvo�it posloupnost neomezen� se
zmen�uj�c�ch d�l��ch plo�ek tento bod st�le obsahuj�c�ch. V limit�
p�ejde tedy pod�l $\frac{\Delta \Gamma_{i}}{\Delta S_{i}}$ v
rot $\vec F\;.\;\vec n$ a sumu na prav� stran� (\ref{sums}) m��eme
nahradit integr�lem p�es celou plochu $S$:
\begin{equation} \label{Stoks}
\oint_{l}\vec F\;\cdot \;d\vec l\;=\;\int_{S}\hbox{rot}\;\vec F\;\cdot
\;d\vec S\;.
\end{equation}
{\em Cirkulace vektorov�ho pole pod�l uzav�en� k�ivky je rovna celkov�mu
toku rotace pole libovolnou plochou, pro n� k�ivka $l$ p�edstavuje
hranici}. Vztah (\ref{Stoks}) umo��uje p�ej�t od plo�n�ho integr�lu ke
k�ivkov�mu integr�lu pod�l hranice a naz�v� se {\em Stokesovou v�tou}.
Obecn� definice rotace (\ref{drot}) m� tu p�ednost, �e nez�vis� na
druhu pou�it�ch sou�adnic a d�v� pojmu rotace n�zorn� geometrick�
smysl. Vyj�d��me nyn� rotaci v kart�zsk�ch sou�adnic�ch podle obr. M 9.
\begin{figure}
\vspace{9cm}
\centerline{obr. M 9.}
\vspace{1cm}
\end{figure}
Uva�ujme element�rn� plo�ku ve tvaru obd�ln�ka o stran�ch $\Delta x,\;
\Delta y$ rovnob�n�ch s p��slu�n�mi kart�zsk�mi osami. Nech� jeho
lev� zadn� vrchol m� sou�adnice $x,y,z$. P��sp�vek k cirkulaci pod�l
dvojice rovnob�n�ch stran (nap��klad lev� a prav�) bude
\begin{displaymath}
\Delta \Gamma_{12}\;=\;\Delta \Gamma_{1}\;+\;\Delta \Gamma_{2}\;=\;
F_{x}(x,y,z)\;\Delta x\;-\;F_{x}(x,y+\Delta y,z)\;\Delta x\;=\;
-\;\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\;\Delta x\Delta y\;.
\end{displaymath}
Celkov� cirkulace pod�l obvodu obd�ln�ka
\begin{displaymath}
\Delta \Gamma\;=\;\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}\;-\;
\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) \Delta S, \qquad \Delta S\;=\;
\Delta x\Delta y,\;
\end{displaymath}
a tedy
\begin{equation} \label{rkart}
\hbox{rot}\;\vec F\;=\;\left( \frac{\partial F_{z}}{\partial y}\;-\;
\frac{\partial F_{y}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{x}}{\partial z}\;-\;
\frac{\partial F_{z}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{y}}{\partial x}\;
-\;\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) \;=\;
\left| \begin{array}{ccc}
\vec x_{0} & \vec y_{0} & \vec z_{0} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &
\frac{\partial}{\partial z} \\
F_{x} & F_{y} & F_{z}
\end{array} \right|
\;=\;\nabla \;\times\;\vec F\;.
\end{equation}
Oper�tor nabla umo��uje vyj�d�it rotaci vektorov�ho pole kompaktn�m
zp�sobem jako vektorov� sou�in tohoto oper�toru a vektoru pole;
po�ad� obou t�chto symbol� nelze ov�em m�nit. Volba element�rn� plo�ky
ve tvaru obd�ln�ka op�t neomezuje obecnost v�sledku.
Operace rotace p�i�azuje vektorov�mu poli $\vec F$ jednozna�n� jin�
vektorov� pole $\vec G$:
\begin{displaymath}
\vec G\;=\;\hbox{rot}\;\vec F\;.
\end{displaymath}
Zp�tn� p�i�azen� ji� nen� jednozna�n�; pole $\vec F$ a $\vec F\;+\;\vec F'$,
kde rot$\;\vec F'\;=0$, maj� tou� rotaci.
Pro po��t�n� s rotacemi plat� tato z�ejm� pravidla:
\begin{equation} \label{pravr}
\nabla \times \vec C=\vec 0,~\nabla \times (c\vec F)=
c\nabla \times \vec F,~\nabla \times(\vec F_{1}\;+\;\vec F_{2})=
\nabla \times \vec F_{1}\;+\;\nabla \times \vec F_{2},~\nabla \times
(f\vec F)=f\nabla \times \vec F\;+\;\nabla f\times \vec F\;.
\end{equation}
Uva�me zvl�tn� p��pad, kdy element�rn� k�ivka $l$ t�sn� p�imyk� z obou
stran k n�jak� plo�e (nap��klad plo�e nespojitosti pole), tak�e jej�
�seky ve sm�ru kolm�m k t�to plo�e jsou zanedbateln� kr�tk� (obr. M 10.).
\begin{figure}
\vspace{6cm}
\centerline{obr. M 10.}
\vspace{1cm}
\end{figure}
Cirkulace bude pak rovna sou�tu integr�l� pod�l obou te�n�ch v�tv�:
\begin{displaymath}
\Delta \Gamma \;=\;(F_{1t}\;-\;F_{2t})\;\Delta l\;.
\end{displaymath}
Provedeme-li �vahu o limitn�m zkracov�n� v�tv� $\Delta l$ v okol� bodu
$A$ na plo�e, m��eme definovat takzvanou {\em plo�nou rotaci} vztahem
\begin{equation} \label{prot}
\hbox{Rot}\;\vec F\;=\;\vec n\times (\vec F_{1}\;-\;\vec F_{2}),~~~~~
|\hbox{Rot}\;\vec F|\;=\;F_{1t}\;-\;F_{2t}\;.
\end{equation}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 5. Oper�tory $(\vec a\nabla)$ a $\Delta$}
\vspace*{1cm}
Polo�me si ot�zku, jak vyj�d�it divergenci a rotaci vektorov�ho sou�inu
nebo gradient skal�rn�ho sou�inu dvou vektorov�ch pol�. K tomu ��elu
zavedeme dal�� oper�tor $(\vec a\nabla)$ p�edpisem
\begin{equation} \label{defa}
(\vec a\nabla)=a_{x}\frac{\partial }{\partial x}\;+\;a_{y}
\frac{\partial }{\partial y}\;+\;a_{z}\frac{\partial }{\partial z}\;.
\end{equation}
Tento {\em oper�tor "a-grad"} m��e p�sobit jak na skal�rn�, tak na
vektorov� pole:
\begin{equation}
(\vec a\nabla )f=a_{x}\frac{\partial f}{\partial x}\;+\;a_{y}
\frac{\partial f}{\partial y}\;+\;a_{z}\frac{\partial f}{\partial z}=
\vec a \cdot \nabla f\;,
\end{equation}
\begin{equation}
(\vec a\nabla )\vec F=a_{x}\frac{\partial \vec F}{\partial x}\;+\;
a_{y}\frac{\partial \vec F}{\partial y}\;+\;a_{z}
\frac{\partial \vec F}{\partial z}=\left (a_{x}\frac{\partial F_{x}}{\partial x}
\;+\;a_{y}\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\;+\;a_{z}
\frac{\partial F_{x}}{\partial z},\ldots \right) \;.
\end{equation}
Bude-li $\vec s$ jednotkov� vektor, potom v�raz $(\vec s\nabla )f$
je projekc� gradientu skal�rn�ho pole $f$ do sm�ru $\vec s$, a je tedy
toto�n� s derivac� pole v tomto sm�ru. Podobn� bychom mohli interpretovat
v�raz $(\vec s\nabla )\vec F$ jako derivaci vektorov�ho pole ve sm�ru
$\vec s$.
Nyn� m��eme vyj�d�it divergenci a rotaci vektorov�ho sou�inu a gradient
skal�rn�ho sou�inu dvou vektorov�ch pol�:
\begin{equation} \label{divv}
\hbox{div}\;(\vec F_{1}\times \vec F_{2})\equiv \nabla \cdot (\vec F_{1}\times
\vec F_{2})=\vec F_{2}\cdot (\nabla \times \vec F_{1})\;-\;\vec F_{1}
\cdot (\nabla\times \vec F_{2})\;,
\end{equation}
\begin{equation} \label{rotv}
\hbox{rot}\;(\vec F_{1}\times \vec F_{2})\equiv \nabla \times (\vec F_{1}
\times \vec F_{2})=(\vec F_{2}\nabla )\vec F_{1}\;-\;(\vec F_{1}\nabla )
\vec F_{2}\;+\;\vec F_{1}\nabla \cdot \vec F_{2}\;-\;\vec F_{2}\nabla
\cdot \vec F_{1}
\;,
\end{equation}
\begin{equation} \label{grads}
\hbox{grad}(\vec F_{1}\cdot \vec F_{2})\equiv \nabla(\vec F_{1}\cdot
\vec F_{2})=(\vec F_{1}\nabla )\vec F_{2}\;+\;(\vec F_{2}\nabla )
\vec F_{1}\;+\;\vec F_{1}\times (\nabla \times \vec F_{2})\;+\;
\vec F_{2}\times (\nabla
\times \vec F_{1})\;.
\end{equation}
O platnosti t�chto pon�kud komplikovan�j��ch, av�ak velmi u�ite�n�ch vzorc�
se m��eme p�esv�d�it alespo� rozeps�n�m p��slu�n�ch v�raz� v kart�zsk�ch
sou�adnic�ch.
Uv�dom�me-li si, �e oper�tory div a rot mohou p�sobit pouze na vektorov�
pole a oper�tor grad pouze na skal�rn� pole, m��eme z t�chto oper�tor�
sestavit p�t kombinac� oper�tor� druh�ho ��du: rot grad, div rot, div grad,
grad div a rot rot. Vyj�d�en�m v kart�zsk�ch sou�adnic�ch se snadno
p�esv�d��me, �e v�dy plat� rot grad $f=0$ a \\ div rot $\vec F=0$. Hlub��
v�znam t�chto vztah� bude objasn�n v n�sleduj�c�m odstavci.
Oper�tor div grad $\equiv \Delta$ naz�v�me {\em Laplaceov�m oper�torem}
a form�ln� odpov�d� �tverci oper�toru nabla:
\begin{displaymath}
\Delta \equiv \nabla \cdot \nabla \equiv \nabla^{2}\;.
\end{displaymath}
V kart�zsk�ch sou�adnic�ch m� z�ejm� tvar
\begin{equation} \label{Lapla}
\Delta =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\;+\;
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\;+\:
\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\;.
\end{equation}
Laplace�v oper�tor podobn� jako oper�tor $(\vec a\nabla )$ m��e p�sobit
jak na skal�rn� tak na vektorov� pole.
Pro dvojn�sobnou operaci rotace plat� vztah
\begin{equation} \label{rrot}
\hbox{rot rot}\vec F=\hbox{grad div}\vec F\;-\;\Delta\vec F\;;
\end{equation}
neboli
\begin{displaymath}
\nabla \times (\nabla \times \vec F)=\nabla (\nabla \cdot \vec F)\;-\;
\Delta \vec F\;,
\end{displaymath}
kter� je obdobou vektorov� identity "bac - cab".
\vspace*{2cm} {\bf\Large 6. Vektorov� pole potenci�ln� a solenoid�ln�}
\vspace*{1cm}
Vektorov� pole, kter� je mo�no vyj�d�it jako gradient n�jak�ho skal�rn�ho
pole
\begin{equation} \label{pot}
\vec F=\hbox{grad}f=\nabla f\;,
\end{equation}
se naz�v� {\em potenci�ln�m} (bezv�rov�m, zdrojov�m). Uva�me k�ivkov�
integr�l $\int_{A}^{B}\vec F .d\vec l$ po n�jak� k�ivce mezi body $A$
a $B$. Je-li $\vec F$ silov� pole, pak tento integr�l p�edstavuje pr�ci
vykonanou silou po t�to dr�ze. Dosad�me-li za $\vec F$ (\ref{pot}),m��eme
skal�rn� sou�in v integr�lu upravit na
\begin{displaymath}
\vec F\cdot d\vec l=\hbox{grad}f\cdot d\vec l=\frac{\partial f}{\partial x}dx\;+\;
\frac{\partial f}{\partial y}dy\;+\;\frac{\partial f}{\partial z}dz=df\;.
\end{displaymath}
Tento v�raz p�edstavuje tot�ln� diferenci�l funkce $f(x,y,z)$ a k�ivkov�
integr�l je mo�no vypo��tat jako rozd�l hodnot funkce $f$ v koncov�ch
bodech:
\begin{equation}
\int_{A}^{B}\vec F\cdot d\vec l=\int_{A}^{B}df=f(B)-f(A)\;.
\end{equation}
Odtud zejm�na plyne, �e v�sledek nez�vis� na volb� dr�hy mezi body $A$ a
$B$ (viz obr. M 11.).
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. M 11.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Proto�e p�i zp�tn� integraci od $B$ do $A$ se m�n� pouze znam�nko integr�lu,
zji��ujeme,�e cirkulace potenci�ln�ho pole pod�l uzav�en� k�ivky je v�dy
rovna nule:
\begin{equation} \label{kruh}
\oint_{l}\vec F\cdot d\vec l=\oint_{l}\hbox{grad}f\cdot d\vec l=0\;.
\end{equation}
Ze Stokesovy v�ty (\ref{Stoks}) plyne
\begin{displaymath}
\oint_{l}\hbox{grad}f\cdot d\vec l=\int_{S}(\hbox{rot grad}f)\cdot d\vec S
=0\;.
\end{displaymath}
Vzhledem k tomu, �e volba plochy $S$ o hranici $l$ je zcela libovoln�,
mus� v cel�m prostoru platit
\begin{equation} \label{pote}
\hbox{rot}\;\vec F=\hbox{rot grad}f=0\;.
\end{equation}
To je nutn� a posta�uj�c� podm�nka k tomu, aby pole $\vec F$ bylo potenci�ln�.
Z podm�nky rot$\;\vec F=0$ plyne i fyzik�ln� p�edstava o potenci�ln�m poli.
Silo��ry takov�ho pole nesm�j� vytv��et v�ry, uzav�rat se samy do sebe.
Vektorov� pole, kter� je mo�no vyj�d�it jako rotaci n�jak�ho jin�ho
vektorov�ho pole
\begin{equation} \label{sol}
\vec F=\hbox{rot}\;\vec G=\nabla \times \vec G\;,
\end{equation}
se naz�v� {\em solenoid�ln�m} (bezzdrojov�m, v�rov�m). Vytvo��me uzav�enou
plochu $S$ tak, �e budeme uva�ovat dv� r�zn� plochy $S_{1},S_{2}$ o
spole�n� hranici $l$ (obr. M 12.).
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. M 12.}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Podle Stokesovy v�ty tok solenoid�ln�ho pole uzav�enou plochou $S=S_{1}+
S_{2}$ bude nulov�:
\begin{equation}
\oint_{S}\vec F\cdot d\vec S=\oint_{S}\hbox{rot}\vec G\cdot d\vec S=
\int_{S_{1}}\hbox{rot}\vec G\cdot d\vec S_{1}\;-\;\int_{S_{2}}\hbox{rot}
\vec G\cdot d\vec S_{2}=\oint_{l}\vec G\cdot d\vec l\;-\;\oint_{l}
\vec G\cdot d\vec l=0\;.
\end{equation}
Pou�ijeme-li Gaussovu v�tu, dostaneme
\begin{equation}
\oint_{S}\hbox{rot}\;\vec G\cdot d\vec S=\int_{V}\hbox{div rot}\;\vec GdV=0\;.
\end{equation}
Vzhledem k tomu, �e plochu $S$ a objem $V$ je mo�no volit zcela libovoln�,
mus� v cel�m prostoru platit
\begin{equation} \label{sole}
\hbox{div}\;\vec F=\hbox{div rot}\;\vec G=0
\end{equation}
To je nutn� a posta�uj�c� podm�nka k tomu, aby pole $F$ bylo solenoid�ln�.
Z podm�nky div$\;\vec F=0$ plyne i fyzik�ln� p�edstava o solenoid�ln�m poli.
Silo��ry takov�ho pole nesm�j� m�t nikde v prostoru zdroje (v kladn�m nebo
z�porn�m smyslu).
Obecn� vektorov� pole samoz�ejm� nemus� b�t ani potenci�ln� ani solenoid�ln�
a m��e m�t nenulovou divergenci i rotaci. Lze v�ak dok�zat, �e ka�d�
vektorov� pole, kter� dostate�n� rychle kles� v nekone�nu, m��e b�t
jednozna�n�m zp�sobem rozlo�eno na sou�et potenci�ln�ho a solenoid�ln�ho
pole. Na obr. M 13. je orienta�n� zn�zorn�n charakter pr�b�hu silo�ar
potenci�ln�ho pole s kladnou a z�pornou divergenc� a pole solenoid�ln�ho.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. M 13.}
\end{figure}
\vspace*{3cm} {\bf\Large 7. N�kter� integr�ln� v�ty vektorov� anal�zy}
\vspace*{1cm}
Uprav�me Gaussovu v�tu (\ref{Gauss}) tak, �e polo��me $\vec F=f_{1}
\hbox{grad}f_{2}$ a pou�ijeme vztah� (\ref{pravd}). Tak dostaneme
{\em prvn� Greenovu v�tu}:
\begin{equation} \label{Gree1}
\oint_{S}f_{1}\hbox{grad}f_{2}\cdot d\vec S=\int_{V}(f_{1}\Delta f_{2}\;+\;
\hbox{grad}f_{1}\hbox{grad}f_{2})dV\;.
\end{equation}
Z n� snadn�mi �pravami vyplyne {\em druh� Greenova v�ta}
\begin{equation} \label{Gree2}
\oint_{S}(f_{1}\hbox{grad}f_{2}\;-\;f_{2}\hbox{grad}f_{1})\cdot d\vec S=
\int_{V}(f_{1}\Delta f_{2}\;-\;f_{2}\Delta f_{1})dV
\end{equation}
a {\em t�et� Greenova v�ta}
\begin{equation} \label{Gree3}
\oint_{S}\hbox{grad}f\cdot d\vec S=\int_{V}\Delta fdV\;.
\end{equation}
D�le�it� jsou zvl�tn� p��pady {\em zobecn�n� Gaussovy v�ty}, kterou
bychom mohli formulovat takto: {\em objemov� integr�l, v n�m� oper�tor
nabla p�sob� n�jak�m zp�sobem na n�sleduj�c� vektorov� a skal�rn� pole,
se rovn� p��slu�n�mu plo�n�mu integr�lu, v n�m� stejn�m zp�sobem vystupuje
vektor elementu plochy $d\vec S$.} Tak m�me
\begin{equation} \label{Gaus1}
\int_{V}\nabla fdV=\oint_{S}fd\vec S\;,
\end{equation}
\begin{equation} \label{Gaus2}
\int_{V}\nabla \cdot \vec FdV=\oint\vec F\cdot d\vec S\;,
\end{equation}
\begin{equation} \label{Gaus3}
\int_{V}\nabla \times \vec FdV=\oint_{S}d\vec S\times \vec F\;.
\end{equation}
Druh� z t�chto v�t je ji� zn�m� v�ta Gaussova. T�et� z nich dok�eme
standartn�m postupem. Vyn�sob�me integr�l na lev� stran� skal�rn�
konstantn�m vektorem $\vec C$, pou�ijeme v�raz pro divergenci vektorov�ho
sou�inu, Gaussovu v�tu a nakonec op�t vektor $\vec C$ vykr�t�me:
\begin{displaymath}
\int_{V}\vec C\cdot \hbox{rot}\vec FdV=\int_{V}\hbox{div}(\vec F\times
\vec C)dV=\oint_{S}(\vec F\times \vec C).d\vec S=\oint_{S}\vec C\cdot
d\vec S\times \vec F\;.
\end{displaymath}
Analogicky m��eme dok�zat i prvn� v�tu (\ref{Gaus1}).
Nakonec uvedeme je�t� v�tu o k�ivkov�m integr�lu skal�rn�ho pole:
\begin{equation} \label{kris}
\oint_{l}fd\vec l=\int_{S}d\vec S\times \hbox{grad}f\;.
\end{equation}
Tak� d�kaz t�to v�ty lze prov�st vyn�soben�m pomocn�m konstantn�m vektorem
$\vec C$ a pou�it�m Stokesovy v�ty.
\vspace*{3cm} {\bf\Large P��klady}
\vspace*{1cm}
M.1 Sestavte si tabulku hlavn�ch vzorc� a v�t vektorov� anal�zy.
\vspace*{4mm}
M.2 Ur�ete divergenci a rotaci n�sleduj�c�ch vektorov�ch pol�:
$\vec F=(x+y,-x+y,-2z);\;\;\vec F=(2y,2x+3z,3y);\;\;\vec F=
(x^{2}-z^{2},2,2xz).$ Je-li rot$\vec F=0$, najd�te skal�rn� pole $f$
takov�, aby $\vec F=\hbox{grad}f$.
\begin{flushright}
$[0,\;(0,0,-2);\;\;0,\;(0,0,0),\;2xy-3zy;\;\;4x,\;(0,-4z,0)]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
M.3 Ur�ete gradient pol� ($\vec r$ je radiusvektor,
$\vec c=\hbox{konst}$): $r;\;\;r^{2};\;\;r^{3};\;\;\frac{1}{r};\;\;
\frac{1}{r^{2}};\;\;\frac{1}{r^{3}};\;\; \\ \vec c\cdot \vec r;\;\;
\frac{\vec c\cdot \vec r}{r};\;\;\frac{\vec c\cdot \vec r}{r^{2}}.$
\begin{flushright}
$[\frac{\vec r}{r};\;\;2\vec r;\;\;3r\vec r;\;\;-\frac{\vec r}{r^{3}};\;
\;-\frac{2\vec r}{r^{4}};\;\;-\frac{3\vec r}{r^{5}};\;\;\vec c;\;\;
\frac{r^{2}\vec c\;\;-\;(\vec c\cdot \vec r)\vec r}{r^{3}};\;\;
\frac{r^{2}\vec c\;-\;2(\vec c\cdot \vec r)\vec r}{r^{4}}\;]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
M.4 Ur�ete divergenci a rotaci pol�:
$\vec r;\;\;\frac{\vec r}{r};\;\;\frac{\vec r}{r^{2}};\;\;
\frac{\vec r}{r^{3}};\;\;\frac{\vec c}{r}.$
\begin{flushright}
$[3,\;\vec 0;\;\;\frac{2}{r},\;\vec 0;\;\;\frac{1}{r^{2}},\;\vec 0;\;\;
0,\;\vec 0;\;\;-\frac{\vec c\cdot \vec r}{r^{3}},\;
\frac{\vec c \times \vec r}{r^{3}}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
M.5 Doka�te v�ty (\ref{Gaus1}) a (\ref{kris}).
