\centerline{{\bf\huge 1.~Z~�~K~L~A~D~Y~~~T~E~O~R~I~E}}
\vspace*{1cm}
\centerline{{\bf\huge R~E~L~A~T~I~V~I~T~Y}}
\zeroequation{1}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 1. Speci�ln� teorie relativity}
\vspace*{1cm}
\setcounter{page}{20}
V posledn� �tvrtin� devaten�ct�ho stolet� do�lo ve fyzice v ur�it�m smyslu
ke schizofrenn� situaci. Byl dovr�en v�voj klasick� Newtonovy mechaniky,
kter� na�la matematick� v�raz ve velmi elegantn� podob� Lagrangeova a
Hamiltonova formalismu vych�zej�c�ch z obecn�ch varia�n�ch princip�.
Sou�asn� se poda�ilo Maxwellovi matematicky (a mo�n� je�t� elegantn�ji)
vyj�d�it souhrn v�ech experiment�ln�ch poznatk� o elekt�in� a
magnetismu nahromad�n�ch za uplynul� t�i stolet�, a to v podob�
podivuhodn�ch {\em Maxwellov�ch rovnic}. Uk�zalo se v�ak, �e Newtonova
mechanika a Maxwellova teorie elektromagnetismu jsou navz�jem v hlubok�m
vnit�n�m rozporu.
Newtonova mechanika je zalo�ena na p�edstav� o {\em absolutn�m prostoru
a �ase}. Newton ve sv�ch Principi�ch ��k�: "Absolutn�, skute�n� a matematick�
�as plyne s�m od sebe a d�ky sv� povaze rovnom�rn�, bez vztahu k n�jak�mu
vn�j��mu p�edm�tu. Naz�v� se t� trv�n�...Absolutn� prostor z�st�v� vzhledem
ke sv� povaze a bez vztahu k vn�j��mu p�edm�tu st�le stejn� a nehybn�."
Prostor p�edstavuje tedy pro fyzik�ln� d�je jak�si jevi�t� bez kulis,
�as je nez�visl� parametr, kter�m lze odm��ovat trv�n� v�stup� a d�jstv�
p��rodn�ho dramatu.
Pro takzvan� "zdrav� lidsk� rozum" (d�le ZLR) je mo�n� skute�n� p�ijateln�
p�edstavovat si absolutn� prostor a �as. Probl�m je v�ak v tom, �e v
absolutn�m prostoru se nen� �eho zachytit. Fyzik�ln� d�je m��eme popisovat
pouze vzhledem k n�jak� vzta�n� soustav� tvo�en� syst�mem sou�adnic
(nap��klad kart�zsk�ch) a s n�m spojen�mi hodinami (um�st�n�mi nap��klad
v po��tku). Syst�m sou�adnic mus�me v�zat na n�jak� tuh� t�leso, hodiny
mus� b�t tvo�eny n�jak�m re�ln�m syst�mem, v n�m� prob�h� periodick�
fyzik�ln� d�j.
Mezi vzta�n�mi soustavami vyb�r�me takovou, v n� p�sob� pouze prav� s�ly
a plat� v�echny t�i Newtonovy pohybov� z�kony. Pod prav�mi silami rozum�me
ty, u nich� lze v�dy uk�zat t�leso, kter� je zdrojem t�to s�ly. Jde tedy
v podstat� o vz�jemn� p�soben�, {\em interakci} t�les �i ��stic --- jedno
t�leso p�sob� na druh� silou a druh� na prvn� silou opa�nou. Nep�sob�-li na
t�leso prav� s�ly, bude v��i vzta�n� soustav� v klidu nebo v rovnom�rn�m
p��mo�ar�m pohybu. Takovou vzta�nou soustavu naz�v�me {\em inerci�ln�}
(plat� v n� z�kon setrva�nosti, inercie).
Je samoz�ejm� ot�zkou, zda inerci�ln� soustava v�bec existuje; tuto ot�zku
lze v�ak rozhodnout pouze experiment�ln�. Odpov�� proto m��eme zn�t jen
s experiment�ln� dosa�itelnou p�esnost�. V�me, �e vzta�n� soustava spojen�
se Sluncem a st�licemi je inerci�ln� ve v�t�� m��e, ne� vzta�n� soustava
spojen� s povrchem Zem�. V je�t� v�t�� m��e bude inerci�ln� soustava spojen�
se vzd�len�mi galaxiemi.
Soustavu spojenou se Zem� m��eme pova�ovat za dostate�n� inerci�ln�
zejm�na p�i studiu d�j� kr�tkodob�ch ve srovn�n� s periodou zemsk� rotace.
Kdyby se Zem� ot��ela podstatn� rychleji, m�li bychom s mechanick�mi
pohyby na jej�m povrchu zcela jin� zku�enosti. N�kdy se setk�v�me s n�zorem,
�e v�niv� spory mezi zast�nci geocentrick� a heliocentrick� soustavy,
p��vr�enci Ptolemaiov�mi a Kopern�kov�mi, byly vlastn� zbyte�n� ---
s hlediska vzta�n� soustavy spojen� se Sluncem ob�h� Zem� kolem Slunce
a s hlediska vzta�n� soustavy spojen� se Zem� ob�h� Slunce kolem Zem�.
P�esn� popis pohybu Slunce a planet s hlediska geocentrick� soustavy
podal Tycho Brahe; v jeho modelu ob�haj� planety kolem Slunce a Slunce
pak s nimi kolem Zem�. Tento popis skute�n� nelze pomoc� astronomick�ch
pozorov�n� od modelu Kopern�kova odli�it. P�esto v�ak nejsou ob� vzta�n�
soustavy zcela rovnocenn�. Heliocentrick� soustava je inerci�ln�j�� a
popis pohybu planet v n� jednodu���. Souvis� to s t�m, �e jde prakticky
o soustavu hmotn�ho st�edu slune�n� soustavy.
Jakmile m�me k dispozici jednu inerci�ln� soustavu, m��eme z�skat neomezen�
po�et dal��ch. V�echny vzta�n� soustavy, kter� budou v��i t�to inerci�ln�
vzta�n� soustav� v rovnom�rn�m p��mo�ar�m pohybu budou rovn� inerci�ln�.
Podle {\em Galileiho principu relativity} prob�haj� {\em mechanick�} d�je
ve v�ech inerci�ln�ch vzta�n�ch soustav�ch stejn� a pomoc� mechanick�ch
experiment� nelze tyto soustavy navz�jem odli�it. Koresponduje to se zn�mou
zku�enost�, �e v dopravn�m prost�edku, kter� se pohybuje rovnom�rn� a
p��mo�a�e bez ot�es� nem��eme zjistit, zda stoj� nebo se pohybuje. Galilei
to plasticky popisuje ve sv�m "Dialogu" na p��kladu lodn� kabiny bez oken,
v p��pad�, �e se plachetn� lo� pohybuje slab�m v�trem rovnom�rn� na klidn�
hladin�.
P�i p�echodu od jedn� inerci�ln� soustavy k druh� se v Newtonov� mechanice
transformuj� sou�adnice podle Galileiho transformac� a �as, kter� p�edstavuje
nez�visle se m�n�c� parametr, je ve v�ech soustav�ch t��. Galileiho
transformace jsou v souladu s obecnou zku�enost� o skl�d�n� rychlost�.
Vyst�el�-li gangster z jedouc�ho auta z pu�ky ve sm�ru j�zdy, bude rychlost
kulky vzhledem k povrchu zemsk�mu d�na sou�tem rychlost� auta a rychlosti
kulky vzhledem k autu.
Newtonovy pohybov� rovnice popisuj�c� mechanick� pohyby jsou v��i Galileiho
transformac�m invariantn�, tj. nem�n� sv�j tvar. Plyne to z toho, �e tyto
transformace jsou line�rn� a zrychlen� jako druh� derivace sou�adnic podle
�asu jsou stejn�. Prav� s�ly z�visej� pouze na vzd�lenostech, p��padn� na
vz�jemn�ch rychlostech t�les a ty se p�i p�echodu od jedn� soustavy k druh�
rovn� nem�n�. Pro dv� inerci�ln� soustavy $S$ a $S'$ tedy plat�
\begin{displaymath}
m'\vec a'\;=\;\vec F'\;,\qquad m\vec a\;=\;\vec F\;.
\end{displaymath}
Proto tak� mechanick� pohyby prob�haj� ve v�ech inerci�ln�ch soustav�ch
stejn�.
Naproti tomu Maxwellovy rovnice popisuj�c� elektromagnetick� d�je (v�etn�
���en� sv�tla) se p�i Galileiho transformac�ch m�n�. Je v�ak mo�no naj�t
jin� transformace, v��i nim� z�st�vaj� Maxwellovy rovnice invariantn� -
jsou to takzvan� transformace Lorentzovy. Zd�lo se tedy, �e jsou dv�
fyziky, jedna, kter� je galileiovsky invariantn� a druh� lorentzovsky. Ob�
jsou p�itom potvrzov�ny experiment�ln�. Na druh� stran� Lorentzovy
transformace maj� tu vlastnost, �e pro pohyby rychlostmi mnohem men��mi
ne� je rychlost sv�tla ve vakuu limitn� p�ech�zej� v transformace
Galileiho.
Mohli bychom tedy p�edpokl�dat, �e Lorentzovy transformace jsou obecn�j��
a projev� se pr�v� pro pohyby rychlostmi sv�tla nebo bl�zk�mi. U b�n�ch
mechanick�ch pohyb� mal�mi rychlostmi se pak uplatn� transformace
Galileiho. Je t�eba vid�t, �e nejrychlej�� mechanick� pohyb, kter� mohli
fyzikov� zkoumat, byl pohyb Zem� na jej� dr�ze kolem Slunce prob�haj�c�
rychlost� $v=29,7\;\hbox{km.s}^{-1}$, tedy zhruba desetitis�cinou rychlosti
sv�tla.
Z Lorentzov�ch transformac� ov�em vypl�vaj� jin� pravidla pro
skl�d�n� rychlost�, ne� podle transformac� Galileiho. Zejm�na z nich
plyne, �e rychlost sv�tla se {\em nes��t�} s rychlost� zdroje nebo
pozorovatele a z�st�v� stejn� ve v�ech inerci�ln�ch vzta�n�ch soustav�ch,
v rozporu se ZLR. Vyst�el�-li gangster z jedouc�ho auta z {\em laserov�}
pu�ky bude rychlost ���en� laserov�ho paprsku vzhledem k autu i vzhledem
k zemsk�mu povrchu stejn�.
Podle p�edstav 19. stolet� sv�tlo p�edstavovalo vln�n� sv�teln�ho �teru
(podobn� jako zvuk vln�n� vzduchu) a p�i pohybu zdroje �i pozorovatele
v��i tomuto �teru by se m�la jejich rychlost s rychlost� sv�tla s��tat,
podobn� jako na hladin� vody m��eme vlny p�edb�hat nebo se za nimi opo��ovat.
Rozhodnout tyto rozpory mohl pouze experiment.
Rychlost ���en� sv�tla ve vakuu byla v minul�m stolet� ji� zn�ma s velkou
p�esnost�. Aristotelovsk� fyzika pova�ovala rychlost sv�tla za nekone�nou
(Epikuros celkem v�sti�n� pravil, �e sv�tlo m� rychlost my�lenky). Galilei
byl prvn�, kdo se pokusil rychlost sv�tla zm��it st��dav�m zakr�v�n�m
sv�tla dvou luceren um�st�n�ch na dvou protilehl�ch kopc�ch. Nemohl usp�t
jednak proto, �e reakce obou pozorovatel� jsou p��li� pomal�, jednak
proto, �e nem�l dostate�n� p�esn� hodiny.
Prvn� m��en� rychlosti sv�tla umo�nila astronomie. V roce 1675 d�nsk�
astronom Olaus R\"omer p�sob�c� na pa��sk� hv�zd�rn� pozoroval periodu
z�kryt� Jupiterova m�s�ce Io Jupiterem. Zjistil, �e vzdaluje-li se Zem�
nebo p�ibli�uje k Jupiteru maxim�ln� rychlost� (body B a C na obr. 1.1),
tato perioda se zmen�uje nebo zv�t�uje podle vztahu
\begin{displaymath}
T'\;=\;T\;\mp \;\Delta T\;=\;T\;\mp\;\frac{vT'}{c},
\end{displaymath}
kde $v$ je rychlost Zem� a $c$ rychlost sv�tla ve vakuu.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 1.1}
\end{figure}
Jev je vlastn� analogick� Dopplerovu jevu, kdy doch�z� ke zm�n� pozorovan�
frekvence periodick�ho d�je vlivem pohybu pozorovatele. Pozorovan� zm�na
periody z�kryt� byla mal� (asi 1,5 s). R\"omer mohl ov�em pozorovat
i dal�� jev. Po��tky z�kryt� v bodech $A$ a $D$ zemsk� dr�hy se opo��ovaly
asi o 16 minut. To odpov�d� dob�, kterou pot�ebuje sv�tlo, aby pro�lo
vzd�lenost rovnou polom�ru dr�hy Zem�. Z t�chto m��en� bylo mo�no stanovit
rychlost sv�tla asi na $214\;300\;\hbox{km.s}^{-1}$; provedl to Christian
Huyghens.
V roce 1725 pozoroval anglick� astronom James Bradley takzvanou {\em aberaci
st�lic}. Pozorujeme-li hv�zdu na obloze b�hem roku, m�n� se �hel pozorov�n�
tak, �e hv�zda opisuje na obloze jakoby malou elipsu, kter� m��e p��padn�
p�ej�t v kru�nici �i �se�ku. Je to zp�sobeno ro�n�m pohybem Zem� na jej�
dr�ze kolem Slunce; stejn� situace vznikne, budeme-li b�hat v de�ti po
kru�nici a budeme sm�rovat de�tn�k tak, abychom nezmokli. Nech� se hv�zda
nal�z� ve v��ce $\theta$ nad obzorem a zm�na tohoto �hlu v d�sledku pohybu
Zem� bude $\Delta \theta$ (obr. 1.2).
\begin{figure}
\vspace*{6cm}
\hspace*{2cm}
obr. 1.2
\hspace*{6cm}
obr. 1.3
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Potom pro mal� �hel $\Delta \theta$ m�me
\begin{displaymath}
\Delta \theta \;\approx \; \frac{v\sin \theta}{c}
\end{displaymath}
Pro hv�zdu v zenitu dost�v�me krou�ek o �hlov�m polom�ru $\frac{v}{c}\;=\;
10^{-4}\;\hbox{rad}\;=\;20,5''$. Z t�to nam��en� hodnoty bylo mo�no zp�tn�
ur�it rychlost sv�tla. Vedle ro�n� aberace je mo�no pozorovat i denn�
aberaci zp�sobenou rotac� Zem� (na rovn�ku rychlost� 0,46 km.$\hbox{s}^{-1}$)
s �hlov�m polom�rem $\Delta \theta\;=\;0,3''$.
Pozemsk�mi metodami se poda�ilo zm��it rychlost sv�tla a� v polovin�
minul�ho stolet�. Armand Fizeau pou�il v roce 1849 rotuj�c�ho ozuben�ho
kola, co� je vlastn� zdokonalen� metoda Galileiho luceren (obr. 1.3).
M�-li kolo $z$ zub� a rotuje s frekvenc� $f$, projde sv�tlo mezerou mezi
zuby a po odrazu od zrcadla ve vzd�lenosti $l$ doraz� pr�v� k sousedn�
meze�e za dobu
\begin{displaymath}
\Delta t\;=\;\frac{1}{2fz}\;=\;\frac{2l}{c}.
\end{displaymath}
Odtud je mo�no rychlost sv�tla rovn� stanovit. Pro zaj�mavost, Fizeau
volil hodnoty $z=720,\;f=12,6\;\hbox{s}^{-1},\;l=8,633\;\hbox{km}$
a dostal $c\;=\;313\;275\;\hbox{km.s}^{-1}$.
Je�t� p�esn�j��ho v�sledku dos�hl Jean Foucault v roce 1850 metodou
rotuj�c�ho zrcadla (obr. 1.4). B�hem cesty sv�teln�ho paprsku od rotuj�c�ho
zrcadla k odra�e�i a zp�t se zrcadlo pooto�� o �hel $\alpha $. Projde-li
pak paprsek optick�m syst�mem dr�hu $d$, posune se jeho stopa na st�n�tku
o $\delta =2\alpha d$. Rychlost sv�tla pak ur��me ze vztah�
\begin{displaymath}
\alpha \;=\;2\pi f\Delta t\;=\;2\pi f\frac{2l}{c}\;=\;\frac{\delta }{2d}\;,
\qquad c\;=\;\frac{8\pi fld}{\delta }.
\end{displaymath}
Foucault nam��il $c\;=\;298\;000\;\hbox{km.s}^{-1}$. Ob� metody, s rotuj�c�m
ozuben�m kolem i rotuj�c�m zrcadlem byly pozd�ji d�le zdokonalov�ny.
Nejp�esn�j��ch v�sledk� t�mto zp�sobem dos�hl ambiciozn� americk�
experiment�tor Albert Abraham Michelson, kter� v roce 1878 m��il rychlost
sv�tla rotuj�c�m osmibok�m zrcadlov�m hranolem. V roce 1927 m��en� opakoval
a nechal sv�teln� paprsek prob�hat vzd�lenost mezi vrcholy Mt.Wilsonu a
Mt.St.Antonia v Kalifornii, kter� �in� 35 km. Zm��il tak $c\;=\;299\;796\;
\hbox{km.s}^{-1}$.
Modern� experiment�ln� metody, zejm�na laserov�, umo��uj� ur�it rychlost
sv�tla s p�esnost� $4.10^{-9}$, tedy p�esn�ji ne� um�me m��it d�lky. I bylo
v roce 1983 dohodnuto vz�t takto nam��enou hodnotu sv�tla
\begin{displaymath}
c\;=\;299\;792,458\;\hbox{km.s}^{-1}
\end{displaymath}
za p�esnou a nem�nnou. Jak�koli budouc� zp�es�ov�n� hodnoty rychlosti
sv�tla se prom�tnou do zm�ny d�lky metru a ��seln� hodnota $c$ se nebude
m�nit. Poznamenejme, �e ve vzduchu za norm�ln�ch
podm�nek se sv�tlo ���� pomaleji o 91 km.$\hbox{s}^{-1}$.
Kdy� byla rychlost sv�tla ur�ena, zb�valo ov��it, zda se sv�tlo skute�n�
���� sv�teln�m �terem a zda se jeho rychlost skl�d� s rychlostmi zdroj�
a pozorovatel� pohybuj�c�ch se v��i tomuto �teru. Tato m��en� vy�aduj�
p�esnost ��du $\frac{v^{2}}{c^{2}}\;\approx \;10^{-8}$, kter� se zd�la
nedosa�itelnou. Michelson to p�ijal jako v�zvu a v roce 1887 spolu s
Edwardem Williamsem Morleyem uskute�nil slavn� {\em Michelson�v -
Morley�v experiment}. Je to jeden z m�la experiment� s negativn�m
v�sledkem, kter� vstoupil do historie. Byl uskute�n�n pomoc� Michelsonova
interferometru, kter� je na obr. 1.5.
\begin{figure}
\vspace*{8cm}
\hspace*{2cm}
obr. 1.4
\hspace*{5cm}
obr. 1.5
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Paprsek ze zdroje $Z$ dopad� na polopropustnou desti�ku $A$, kde se �t�p�.
Jedna jeho ��st projde vzd�lenost $l$ od desti�ky k zrcadlu $C$ a zp�t
ve sm�ru pohybu Zem�, druh� jeho ��st projde tou� vzd�lenost k zrcadlu
$B$ a zp�t kolmo k pohybu Zem�. Po odrazech se ob� ��sti paprsku na
desti�ce op�t spoj� a spole�n� dopadaj� na st�n�tko $D$, kde spolu
interferuj�. Pokud se rychlost sv�tla s rychlost� Zem� v��i nehybn�mu
�teru s��t�, bude se prvn� ��st paprsku po rozd�len� pohybovat po dobu
\begin{displaymath}
t_{ACA}\;=\;\frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v}\;=\;\frac{2l}{c}\left( 1-
\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) ^{-1}\;\approx \;\frac{2l}{c}\left( 1+
\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) .
\end{displaymath}
Druh� ��st projde po p�epon�ch dvou pravo�hl�ch troj�heln�k� (viz obr.
1.5) o odv�sn�ch $vt$ a $l$, tak�e
\begin{displaymath}
c^{2}t^{2}=v^{2}t^{2}+l^{2},\;\;\;t=\frac{l}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\;.
\end{displaymath}
Odtud
\begin{displaymath}
t_{ABA}\;=\;2t\;=\;\frac{2l}{c}\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}
\right) ^{-\frac{1}{2}}\;\approx \;\frac{2l}{c}
\left( 1+\frac{v^{2}}{2c^{2}}\right) .
\end{displaymath}
�asov� zpo�d�n� mezi ob�ma ��stmi paprsku je tedy $\frac{lv^{2}}{c^{3}}$
a rozd�l optick�ch drah $\Delta l\;=\;l\frac{v^{2}}{c^{2}}$.
Oba paprsky by tedy m�ly na st�n�tku vytvo�it soustavu interferen�n�ch
prou�k�. P�i oto�en� interferometru o 90 stup�� by m�lo doj�t k posunu
t�chto prou�k� o $2\Delta l=2l.10^{-8}$. Je-li d�lka ramene interferometru
nap��klad $l=15$m, bude posun �init $3.10^{-7}$m, co� je polovina vlnov�
d�lky �lut�ho sv�tla. P�edpokl�dan� posun by tedy musel b�t pozorov�n.
P�es �sil� experiment�tor� a pozd�j�� zdokonalov�n� metody (pou�it�
masivn�ho bloku plovouc�ho ve rtu�ov�m baz�nu, prodlu�ov�n� ramen
interferometru v�cen�sobn�m odrazem paprsk�, vyu�it� laserov�ho sv�tla,
opakov�n� pokusu v r�zn�ch m�stech na zem�kouli a v r�zn�ch ro�n�ch
dob�ch atd.) {\em ��dn� posun pozorov�n nebyl}. Ke vz�jemn�mu zpo�d�n�
paprsk� tedy nedo�lo, sv�tlo postupovalo tou� rychlost� v�emi sm�ry
nez�visle na pohybu Zem�. Tento v�sledek definitivn� zproblematizoval
existenci sv�teln�ho �teru a nezachr�nily ho ani pokusy vylo�it v�sledek
strh�v�n�m �teru Zem�.
V�echny uveden� rozpory se poda�ilo vy�e�it Albertu Einsteinovi (1879 --
1955), kter� sv�m zp�sobem postavil Kolumbovo vaj��ko na �pi�ku. V roce
1905, tedy ve sv�ch 26 letech, publikoval �l�nek "Zur Elektrodynamik
bewegter K\"orper" ("K elektrodynamice pohybuj�c�ch se t�les"), v n�m�
formuloval z�klady speci�ln� teorie relativity (STR). Einstein vy�el
z anal�zy Maxwellov�ch rovnic, uk�zal �e p�i p�echodu od jedn� inerci�ln�
soustavy k druh� plat� Lorentzovy transformace, p�i�em� �as
p�est�v� b�t nez�visl�m parametrem, ale st�v� se jednou ze sou�adnic.
Galileiho transformace pak p�edstavuj� pouze limitn� p��pad pro pohyby
mal�mi rychlostmi. S takovou situac�, kdy obecn�j�� teorie p�ech�z� p�i
limitov�n� n�jak�ho parametru v jinou teorii, kter� p�edstavuje zvl�tn�
p��pad teorie obecn�j��, se setk�v�me ve fyzice �ast�ji a vyjad�ujeme
ji jako {\em princip korespondence}.
Einstein tak zobecnil Newtonovu mechaniku a v�slovn�
p�itom po��dal Newtona o odpu�t�n�. Z�rove� zobecnil i Galileiho princip
relativity na v�echny fyzik�ln� d�je, v�etn� elektromagnetick�ch a optick�ch.
Pokud jde o negativn� v�sledek Michelsonova experimentu, Einstein se o n�j
p��mo neop�ral, ale v STR se p�edpoklad o existenci sv�teln�ho �teru
prost� st�v� zbyte�n�m. P�ijmeme-li tezi o st�losti rychlosti sv�tla
ve v�ech inerci�ln�ch vzta�n�ch soustav�ch, mus�me p�ijmout i ostatn�
d�sledky, by� sebepodivn�j��, kter� z n� vypl�vaj�. Chceme-li se tedy
nev���cn� podivovat nad "paradoxy" speci�ln� teorie relativity, sta�� se
divit jen jednou, a to st�losti rychlosti sv�tla.
\vspace*{1cm}
Z�kladn� postul�ty STR m��eme tedy formulovat takto:
\vspace*{1cm}
{\em 1. V�echny fyzik�ln� d�je prob�haj� stejn� ve v�ech inerci�ln�ch
vzta�n�ch soustav�ch (Einstein�v princip relativity).
\vspace*{6mm}
2. Sv�tlo se ���� ve vakuu stejnou rychlost� ve v�ech inerci�ln�ch
vzta�n�ch soustav�ch (princip st�losti rychlosti sv�tla)}.
\newpage
{\bf\Large 2. Lorentzovy transformace a jejich d�sledky}
\vspace*{1cm}
Ve speci�ln� teorii relativity budeme v�dy uva�ovat dv� inerci�ln�
vzta�n� soustavy, jednu nehybnou (laboratorn�) ozna�enou $S$ a druhou
pohybuj�c� se rychlost� $v$ ve sm�ru osy $x$ a ozna�enou jako $S'$.
Osy $x$ a $x'$ obou soustav p�itom spl�vaj� a osy $y,z$ a $y',z'$
jsou vz�jemn� souhlasn� rovnob�n� (viz obr. 1.6). V po��tku ka�d�
soustavy jsou um�st�ny hodiny, kter� m��� �as $t$ a $t'$. Z�ejm�
existuje okam�ik, kdy se po��tky obou soustav $O\;,\;O'$ pr�v�
kryj�. Tento okam�ik bereme za po��tek pro ode�et �asu v obou soustav�ch.
Takov� speci�ln� volba dvou vzta�n�ch soustav neovlivn� obecnost
z�skan�ch v�sledk�.
\hspace*{-\parindent}\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
P�edpokl�dejme, �e v po��tku ka�d� soustavy je um�st�n sv�teln� zdroj
sv�t�c� v�emi sm�ry. V nehybn� soustav� bude se sv�tlo ���it v kulov�ch
vlnoploch�ch, kter� budou m�t v okam�iku $t$ rovnici
\begin{displaymath}
x^{2}\;+\;y^{2}\;+\;z^{2}\;=\;c^{2}t^{2}.
\end{displaymath}
V pohybuj�c� se soustav� je v�ak rychlost sv�tla rovn� ve v�ech sm�rech
stejn� a sv�tlo bude vytv��et rovn� kulov� vlnoplochy o rovnici
\begin{displaymath}
x'^{2}\;+\;y'^{2}\;+\;z'^{2}\;=\;c^{2}t'^{2}.
\end{displaymath}
Kdybychom pou�ili Galileiho transformace $x'=x-vt,\;y'=y',\;z'=z,\;t'=t$,
dostali bychom po dosazen� do rovnice vlnoplochy v $S'$
\begin{displaymath}
x^{2}-\underline{2xvt}+\underline{v^{2}t^{2}}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}.
\end{displaymath}
\end{minipage}\
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\vspace*{8cm}
\centerline{obr. 1.6}
\end{minipage}
\vspace*{3mm}
Tato rovnice v�ak neodpov�d� rovnici kulov� vlnoplochy v $S$; li�� se
od n� podtr�en�mi �leny. Abychom dos�hli souhlasu obou rovnic, provedeme
line�rn� transformaci �asu: $t'=t+\alpha x$. Koeficient $\alpha$ ur��me
dodate�n�. Tak dostaneme
\begin{displaymath}
x^{2}-\underline{2xvt}+v^{2}t^{2}+y^{2}+z^{2}\;=\;c^{2}t^{2}+
\underline{2c^{2}t\alpha x}+c^{2}\alpha ^{2}x^{2}\;.
\end{displaymath}
Zvol�me-li $\alpha =-\frac{v}{c^2}$, vyru�� se op�t podtr�en� �leny a
rovnice p�ejde na tvar
\begin{displaymath}
x^{2}\left( 1\;-\;\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) +y^{2}+z^{2}\;=\;
c^{2}t^{2}\left( l\;-\;\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) \;.
\end{displaymath}
Nyn� sta�� u� jen znormovat $x$ a $t$ koeficientem $\sqrt{1-
\frac{v^{2}}{c^{2}}}$ a dost�v�me {\em Lorentzovy transformace}
spl�uj�c� podm�nku, aby sv�teln� vlnoplocha byla v nehybn� i v
pohybuj�c� se soustav� kulov�:
\begin{displaymath}
x'\;=\;\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},~~y'\;=\;y,~~z'\;=\;z,~~
t'\;=\;\frac{t-\frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\;.
\end{displaymath}
Obvykle zav�d�me ozna�en�
\begin{equation} \label{koef}
\beta \;=\;\frac{v}{c},\qquad \gamma\;=\;\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}
\end{equation}
a zapisujeme Lorentzovy transformace ve tvaru
\begin{equation} \label{Lor}
x'\;=\;\gamma (x-vt),~~y'\;=\;y,~~z'\;=\;z,~~t'\;=\;\gamma
\left( t-\frac{\beta }{c}x\right) \;.
\end{equation}
Vzta�n� soustava se z�ejm� nesm� pohybovat rychlost� sv�tla; jinak
bychom dostali ve jmenovateli Lorentzov�ch transformac� nulu. Nelze
tedy spojit vzta�nou soustavu se sv�teln�m paprskem, resp. s fotonem.
Pokud by se soustava pohybovala rychlost� v�t�� ne� sv�telnou, dostali
bychom koeficient $\gamma $ imagin�rn�; nev�me ov�em, co by to fyzik�ln�
znamenalo.
N�kdy se zjednodu�en� tvrd�, �e podle teorie relativity
se "nic" nem��e pohybovat rychlost� v�t�� ne� je rychlost sv�tla ve
vakuu. Toto tvrzen� nen� spr�vn�, nemluv� u� o tom, �e "nic" nen�
fyzik�ln� term�n. Ukazuje se, �e je cel� �ada veli�in a �kaz�, kter�
se pohybuj� rychlost� nadsv�telnou. Tak nap��klad f�zov� rychlost sinusov�
vlny, pr�se��k ost�� velmi dlouh�ch n��ek, sv�teln� z�blesk ("pras�tko")
v dostate�n� vzd�lenosti od zdroje, kter�m ot���me apod. mohou p�esahovat
rychlost sv�tla. Podrobn�j�� anal�za v�ak prok�e, �e v�echny tyto
kuriozn� nadsv�teln� jevy nemohou p�en�et energii ani informaci.
Abychom p�enesli informaci elektromagnetickou vlnou, mus�me ji modulovat;
informace se pak bude ���it nikoli f�zovou rychlost�, n�br� grupovou,
kter� je podsv�teln�. To co se ���� nadsv�telnou rychlost� jsou tedy
v podstat� sam� po�etilosti.
N�kdy je mo�n� zanedbat druhou mocninu $\beta $ ve srovn�n� s jedni�kou
a polo�it p�ibli�n� $\gamma \approx 1$. Pak dostaneme takzvan� "pomal�"
Lorentzovy transformace
\begin{equation} \label{pLor}
x'\;=\;x-vt,~~y'\;=\;y,~~z'\;=\;z,~~t'\;=\;t-\frac{\beta }{c}x\;.
\end{equation}
Snadno dostaneme t� zp�tn� Lorentzovy transformace, tj. vyj�d�en�
ne��rkovan�ch veli�in pomoc� ��rkovan�ch. K tomu z�ejm� sta�� prost�
zm�nit znam�nko rychlosti $v$ na opa�n�.
Lorentzovy transformace lze zapsat t� ve vektorov�m tvaru jako
\begin{equation} \label{Lorv}
\vec r'\;=\;\vec r+\vec v\left[ \frac{\vec r\cdot \vec v}{v^{2}}
(\gamma -1)-\gamma t\right],~~t'\;=\;\gamma
\left[ t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}}\right] .
\end{equation}
Pro $\vec v \equiv (v,0,0)$ odpov�d� tato vektorov� forma obvykl�m
Lorentzov�m transformac�m. Je v�ak obecn�j�� v tom, �e ji lze pou��t
i tehdy, m�-li rychlost $\vec v$ obecn� sm�r (p�i zachov�n� rovnob�nosti
sou�adn�ch os).
Z Lorentzov�ch transformac� plyne cel� �ada p�ekvapiv�ch d�sledk�. Je to
p�edev��m {\em relativita soum�stnosti a sou�asnosti}. Uva�ujme dv�
ud�losti charakterizovan� �asov�m okam�ikem a prostorov�mi sou�adnicemi
$t_{1},x_{1},y_{1},z_{1}$ a $t_{2},x_{2},y_{2},z_{2}$. �asov� interval
mezi nimi v soustav� $S$ bude $\Delta t=t_{2}-t_{1}$, vzd�lenost
$\Delta l=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$, kde $\Delta x=
x_{2}-x_{1},\dots $. Z (\ref{Lor}) dost�v�me v soustav� $S'$:
\begin{equation} \label{sou}
\Delta t'\;=\;\gamma (\Delta t-\frac{\beta }{c}\Delta x),\qquad
\Delta x'\;=\;\gamma (\Delta x-v\Delta t),\qquad \Delta y'\;=\;\Delta y,
\qquad \Delta z'\;=\;\Delta z\;.
\end{equation}
Odtud je z�ejm�, �e jsou-li dv� ud�losti v soustav� $S$ soum�stn�, $\Delta
l\;=\;0$, nemus� b�t soum�stn� v soustav� $S'.(\;\Delta l'\;=\;0$ jen bude-li
$\Delta t\;=\;0$). To n�s nemus� p�ekvapovat, nebo� s podobnou situac� se
setk�v�me i v nerelativistick� fyzice. Je v�ak p�ekvapiv�j��, �e dv�
ud�losti sou�asn� v jedn� vzta�n� soustav� nemus� b�t sou�asn� v druh�.
Je-li $\Delta t\;=\;0$, bude $\Delta t'\;=\;0$ jen pro ud�losti prob�haj�c�
v t�m� m�st� (p�i $\Delta x\;=\;0)$.
Dal�� neobvykl� d�sledek Lorentzov�ch transformac� souvis� s t�m, �e
�as prob�h� v r�zn�ch vzta�n�ch soustav�ch r�zn�. V pohybuj�c� se soustav�
bude �as prob�hat pomaleji ne� v soustav� nehybn�; naz�v�me to {\em dilatace
�asu}. M�jme n�jak� objekt, nap��klad t�leso �i ��stici pohybuj�c� se
rovnom�rn� p��mo�a�e rychlost� $v$ ve sm�ru osy $x$. Potom s touto ��stic�
m��eme spojit po��tek pohybuj�c� se vzta�n� soustavy $S'$ ; tato soustava
se naz�v� {\em vlastn� (klidov�) soustavou ��stice}. Je z�ejm�, �e v�echny
ud�losti t�kaj�c� se t�to ��stice budou soum�stn�, budou prob�hat v�dy
v po��tku $O'$. Proto podle (\ref{sou})
\begin{displaymath}
\Delta x'\;=\;0,\;\;\Delta x\;=\;v\Delta t,\;\;\Delta t'\;=\;\gamma
(\Delta t-\frac{v}{c^{2}}v\Delta t)\;=\;\gamma ^{-1}\Delta t\;.
\end{displaymath}
Budeme-li ode��tat �as v obou soustav�ch od spole�n�ho okam�iku jejich
splynut� a ozna��me-li {\em vlastn� �as} ��stice $t'\;=\;\tau$, dostaneme
vztah pro dilataci �asu v podob�
\begin{equation} \label{dil}
\tau\;=\;\gamma ^{-1}t\;=\;t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\;.
\end{equation}
Experiment�ln� potvrzen� tohoto neobvykl�ho d�sledku lze vid�t v tom,
�e ��stice, kter� maj� v klidov�m stavu kr�tkou dobu �ivota, mohou
p�i pohybu rychlost� bl�zkou rychlosti sv�tla urazit dr�hu odpov�daj�c�
mnohon�sobn� del�� dob�. Tak nap��klad miony kosmick�ho z��en�,
kter� se v klidu rozpadaj� za $2,2.10^{-6}\;$s mohou v atmosf��e
prolet�t mnoho kilometr�, i kdy� by b�hem sv�ho �ivota m�ly sta�it
urazit rychlost� bl�zkou rychlosti sv�tla jen asi 660 m. Podobn� se
chovaj� i ��stice urychlen� na urychlova��ch. V posledn� dob� se ji�
poda�ilo prok�zat tento efekt i p��m�m srovn�v�n�m chodu atomov�ch
hodin na Zemi a v rychle let�c�ch letadlech.
P�edstava, �e kosmonaut pohybuj�c� se v raket� rychlost� bl�zkou
rychlosti sv�tla bude st�rnout pomaleji ne� pozorovatel na Zemi
se zd� nesmysln� z hlediska ZLR, t�m sp�e, �e v soustav� spojen�
s raketou by m�l op�t st�rnout pomaleji pozorovatel na Zemi. Je to
jeden z mnoha tzv. "paradox�" STR, ov�em pouze zd�nliv�ch. Na samotn�m
faktu, �e se r�zn� v�ci jev� jinak s hlediska r�zn�ch vzta�n�ch soustav
nen� je�t� nic paradoxn�ho. Princip relativity pouze tvrd�, �e v�echny
fyzik�ln� (a ov�em i chemick�, biologick� atd.) d�je prob�haj� stejn�
ve v�ech inerci�ln�ch vzta�n�ch soustav�ch. Kosmonaut ve sv� vlastn�
vzta�n� soustav� si bude st�rnout stejn�m tempem jako pozorovatel ve
sv� pozemsk� soustav�.
Ur�it� probl�m nastane, setkaj�-li se nakonec kosmonaut a pozorovatel
ve spole�n� vzta�n� soustav�, nap��klad na Zemi a budou porovn�vat, kdo
z nich je star��. N�kdy hovo��me o tzv. "paradoxu dvoj�at". Ze dvou
stejn� star�ch dvoj�at se jeden, pan Bingle, vyd� na kosmickou cestu
rychlost� $v$, zat�mco jeho bratr, pan Dingle, z�stane na Zemi. Pot�,
co uraz� vzd�lenost $\Delta x$ (viz obr. 1.7), za�ne se pan Bingle vracet
zp�t rychlost� $-v$ na Zem.
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm}
obr. 1.7
\hspace*{6cm}
obr. 1.8
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Ozna�me A a D ud�losti odletu a p��letu pana Bingla na Zem, ud�lost B je
p�ist�n� pana Bingla na c�lov� planet�. Od odletu do p��letu uplyne na
Zemi doba $\Delta t_{AD}$, sou�asn� s p�ist�n�m B prob�hne na Zemi n�jak�
ud�lost C, z d�vodu symetrie z�ejm� pr�v� v polovin� intervalu
$\Delta t_{AD}$. Kosmonaut pro�ije od odletu do n�vratu dobu
$\Delta \tau _{AD}$, z toho polovinu �asu v rychlosti $v$ a druhou v
rychlosti $-v$. Z (\ref{dil}) m�me
\begin{eqnarray} \label{Din}
\Delta t_{AC}\;=\;\Delta t_{CD}\;=\;\Delta t_{AB}\;=\;\Delta t_{BD}\;=\;
\frac{\Delta x}{v}\;,\nonumber\\
\Delta \tau_{AD}\;=\;\gamma ^{-1}(\Delta t_{AC}+\Delta t_{CD})\;=\;
\gamma ^{-1}\Delta t_{AD}\;<\;\Delta t_{AD}\;.
\end{eqnarray}
S hlediska pana Dingla bude tedy jeho bratr po n�vratu fyzicky mlad��.
Se�lej�� stav pana Dingla je ov�em absolutn� fakt, kter� se mus� jevit
stejn� s hlediska jak�koli vzta�n� soustavy. Jak si jej vysv�tl� pan
Bingle? Jeho situace nen� zcela symetrick� -- zat�mco jeho bratr tr�vil
�ivot v inerci�ln� soustav�, pan Bingle t�ikr�t p�ech�zel z jedn� vzta�n�
soustavy do druh�. Tr�vil tedy kru�n� okam�iky prudce neinerci�ln�ch
pohyb� a p�esn� vzato �loha t�m vybo�uje z STR. P�edstava o tom, �e
p�esed�n� z jedn� inerci�ln� soustavy do druh� se d�lo okam�it� je
samoz�ejm� idealizac�, ale �e�en� je v r�mci STR p�esto zcela konzistentn�.
Zaj�mav� je, �e zat�mco Bingle p�esedal, �ediv�l z toho na Zemi jeho bratr.
V�c je v tom, �e v pohybuj�c�ch se soustav�ch nebudou ud�losti B a C
sou�asn�. V soustav� $v$ bude k B na Zemi sou�asn� ud�lost E a v soustav�
$-v$ ud�lost F (viz obr�zek), tak�e $\Delta \tau _{EB}\;=\;\Delta \tau _{BF}
\;=\;0,\;\;\Delta \tau _{AE}\;+\;\Delta \tau _{FD}\;=\;\Delta \tau _{AD}$.
Z podm�nky (\ref{sou}) pro zp�tnou transformaci dostaneme
\begin{displaymath}
\Delta t_{EB}\;=\;\Delta t_{BF}\;=\;\gamma \frac{v}{c^{2}}\Delta x',\;\;
\hbox{kde}\; \Delta x'\;=\;\frac{1}{2}v\Delta \tau _{AD}\;.
\end{displaymath}
Potom
\begin{eqnarray} \label{Bin}
\Delta t_{AD}\;=\;\Delta t_{AE}+\Delta t_{FD}+\Delta t_{EF}\;=\;
(\Delta t_{AE}+\Delta t_{FD})+2\Delta t_{EB}\;=\;\nonumber\\
\gamma^{-1}(\Delta \tau _{AE}+\Delta \tau _{FD})\;+\;\gamma \beta^{2}
\Delta \tau _{AD}\;=\;(\gamma ^{-1}+\gamma \beta ^{2})
\Delta \tau _{AD}\;=\;\gamma \Delta \tau _{AD}\;
\end{eqnarray}
v souladu s (\ref{Din}). Obecn�j�� �e�en� s uv�en�m neinerci�ln�ch
�sek� cesty (brzd�n�, urychlen�, oto�ka) ukazuje, �e v n�kter�ch
p��padech m��e doj�t i k opa�n�mu efektu (rychlej��mu st�rnut� kosmonauta),
ale nen� d�vod� pochybovat o tom, �e zm�na ve fyzick�m st��� dvoj�at
bude re�ln�. V principu tak m��e kosmonaut p�icestovat zp�t na Zemi
v bli��� �i vzd�len�j�� budoucnosti. D�le�it� je, �e nen� mo�n� cesta
zp�t do minulosti, co� by mohlo vyvolat spor s principem p���innosti
(p���iny mus� v�dy p�edch�zet n�sledk�m, i kdy� "post hoc" nemus�
je�t� znamenat "propter hoc").
S dilatac� �asu �zce souvis� i {\em relativistick� Doppler�v jev}.
V roce 1842 zformuloval v Praze Christian Doppler princip, podle
n�ho� se frekvence vln�n� registrovan� pozorovatelem $(f)$ li�� od
frekvence vln�n� ve vlastn� soustav� zdroje $(f_{0})$, pohybuj�-li se
zdroj a pozorovatel {\em vz�jemnou rychlost�} $v$ a je-li $\theta $
�hel mezi sm�rem pohybu a spojnic� od zdroje k pozorovateli (viz
obr. 1.8):
\begin{equation} \label{Dopp}
f\;=\;\frac{f_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos \theta }
\end{equation}
Proto�e frekvence je p�evr�cenou hodnotou periody, dostaneme v
relativistick�m p��pad�
\begin{equation} \label{Dopr}
f\;=\;\gamma ^{-1}\frac{f_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos \theta }\;.
\end{equation}
P�i $\theta =0\;,\;\pi $ dost�v�me takzvan� pod�ln� Doppler�v jev, p�i
$\theta =\frac{\pi }{2}$ p���n� Doppler�v jev:
\begin{equation} \label{Doppp}
f_{pod}\;=\;\gamma ^{-1}\frac{f_{0}}{1\mp \frac{v}{c}}\;\;,\qquad
f_{p�}\;=\;\gamma ^{-1}f_{0}\;.
\end{equation}
P���n� Doppler�v jev je �ist� relativistick� efekt druh�ho ��du a byl
experiment�ln� pozorov�n teprve v r. 1938 p�i vyza�ov�n� rychl�ch iont�
vod�ku (H.F.Ives, G.R.Stilwell).
Dal��m relatistick�m jevem je takzvan� {\em kontrakce d�lek}. M�jme tuh�
t�leso kone�n�ch rozm�r� a spojme s n�m vzta�nou soustavu $S'$. V t�to
soustav� bude t�leso nehybn� a jeho {\em vlastn� d�lka} zde bude
$\lambda \;=\;l'\;=\;x_{2}'-x_{1}'$. V nepohybuj�c� se soustav� $S$
mus�me m��it polohu obou konc� t�lesa v t�m� okam�iku $t_{1}=t_{2}$.
Z Lorentzov�ch transformac� pak m�me
\begin{displaymath}
l'\;=\;x_{2}'-x_{1}'\;=\;\gamma [x_{2}-x_{1}-v(t_{2}-t_{1})]\;=\;
\gamma (x_{2}-x_{1})\;=\;\gamma l\;.
\end{displaymath}
Pro vlastn� d�lku tedy dost�v�me
\begin{equation} \label{kon}
\lambda \;=\;\gamma l\;=\;\frac{l}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\;.
\end{equation}
Pod�ln� rozm�r pohybuj�c�ho se t�lesa je tedy zkr�cen oproti jeho vlastn�mu
rozm�ru. Ve stejn�m pom�ru se z�ejm� zmen�uje i objem t�lesa. Tak� tato
kontrakce d�lek je experiment�ln� potvrzov�na; jak uvid�me, jej�m p��m�m
d�sledkem je i existence magnetick�ho pole. Kontrakce d�lek a dilatace
�asu spolu �zce souvisej�. P�ipome�me si p��pad kosmick�ch mion�, kter�
prob�hly v atmosf��e n�kolik kilometr� - ve sv� vlastn� soustav� pozoruj�,
�e kolem nich prob�h� vrstva atmosf�ry, jej� tlou��ka je ov�em zkr�cena
na on�ch 660 m, kter� jsou miony s to b�hem sv�ho �ivota prob�hnout.
Z Lorentzov�ch transformac� p��mo vypl�vaj� pravidla pro {\em skl�d�n�
rychlost�}. D�l�me-li $dx',dy',dz'$ veli�inou $dt'$ a ozna��me rychlosti
n�jak� ��stice v ��rkovan� a ne��rkovan� soustav� $u_{x}'=\frac{dx'}{dt'},
\dots ,u_{x}=\frac{dx}{dt},\dots $, dost�v�me
\begin{equation} \label{rych}
u_{x}'\;=\;\frac{u_{x}-v}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\;,\qquad u_{y,z}'\;=\;
\frac{u_{y,z}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\;.
\end{equation}
Pokud se s��taj� pouze rychlosti pod�l osy $x$, dost�v�me
\begin{equation} \label{rychx}
u'\;=\;\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^{2}}}\;,\qquad
u\;=\;\frac{u'+v}{1+\frac{uv}{c^{2}}}\;.
\end{equation}
Odtud je z�ejm�, �e sou�et dvou rychlost�, t�eba bl�zk�ch rychlosti
sv�tla, nikdy rychlost sv�tla nep�es�hne. Snadno ov���me, �e vyst�el�me-li
z rakety pohybuj�c� se t�m�� rychlost� sv�tla laserov� paprsek, bude
po se�ten� rychlost� podle (\ref{rychx}) jeho rychlost stejn� v ��rkovan�
i ne��rkovan� soustav�.
N�kdy se m��e hodit vektorov� v�raz pro skl�d�n� rychlost�:
1
\begin{equation} \label{rychv}
\vec u'\;=\;\frac{\vec u+\vec v\left[ \frac{\vec u\cdot \vec v}{v^{2}}
(\gamma -1)-\gamma \right] }{\gamma \left( 1-\frac{\vec u\cdot \vec v}{c^{2}}
\right) }\;\approx \;\frac{\vec u-\vec v}{1-\frac{\vec u\cdot \vec v}{c^{2}}}
\;.
\end{equation}
Pomoc� relativistick�ho s��t�n� lze vysv�tlit v�sledek {\em Fizeauova pokusu}
se strh�v�n�m �teru proud�c� vodou (obr. 1.9). Jedna ��st roz�t�pen�ho
sv�teln�ho paprsku proch�z� vzd�lenost $2l$ ve sm�ru proud�c�ho vodn�ho
sloupce, druh� proti proudu a pot� oba interferuj�. Rychlost sv�tla v klidn�
vod� souvis� s indexem lomu $n$ vztahem $v_{0}=\frac{c}{n}$; p�itom je tato
rychlost samoz�ejm� mnohem v�t�� ne� rychlost proud�n� $V$. Fizeau
p�edpokl�dal, �e sv�teln� �ter je ��ste�n� strh�v�n proud�c� vodou a zavedl
tzv. koeficient strh�v�n� $k$, tak�e podle n�j rychlost sv�tla po proudu
a proti proudu byla $v_{1}=v_{0}+kV,\;v_{2}=v_{0}-kV$ .�asov� rozd�l chodu
obou paprsk�, kter� je mo�no zm��it posunem interferen�n�ch prou�k�,
�in� tedy
\begin{displaymath}
\Delta t\;=\;\frac{2l}{v_{0}-kV}-\frac{2l}{v_{0}+kV}\;\approx \;
\frac{4klV}{v_{0}^{2}}\;=\;\frac{4klVn^{2}}{c^{2}}\;.
\end{displaymath}
Na z�klad� tohoto vztahu mohl Fizeau experiment�ln� ur�it koeficient $k$
a zjistil, �e $k=1-\frac{1}{n^{2}}$. Tent�� v�sledek m��eme v�ak dostat na
z�klad� relativistick�ho s��t�n� rychlost�. Je-li rychlost sv�tla v soustav�
spojen� s pohybuj�c� se vodou $v_{0}$, bude v laboratorn� soustav�
\begin{displaymath}
v\;=\;\frac{v_{0}\pm V}{1\pm \frac{v_{0}V}{c^{2}}}\approx v_{0}\mp
V\left( 1-\frac{1}{n^{2}}\right)\;.
\end{displaymath}
Dost�v�me tedy t�� v�sledek jako Fizeau, ani� bychom p�edpokl�dali
existenci �teru a jeho strh�v�n�.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 1.9}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
S relativistick�m skl�d�n�m rychlost� �zce souvis� i {\em transformace
sm�ru}. Uva�me okam�ik $t=t'=0$, kdy po��tky pevn� a pohybuj�c� se soustavy
spl�vaj� a m�jme ��stici, kter� se pohybuje v rovin� $x,z$ rychlost� $\vec u$,
resp. $\vec u'$ pod �hlem $\theta $, resp. $\theta '$ vzhledem k ose $x$
(viz obr. 1.10).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\hspace*{2cm}
obr. 1.10
\hspace*{6cm}
obr. 1.11
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Pak m�me $u_{x}=u\cos \theta ,\;u_{x}'=u'\cos \theta ',\;u_{z}=u\sin \theta ,
\;u_{z}'=u'\sin \theta $. Pou�ijeme-li pravidla pro s��t�n� rychlost�
(\ref{rych}), dostaneme
\begin{equation} \label{smer}
\hbox{tg}\;\theta '\;=\;\frac{u_{z}'}{u_{x}'}\;=\;\gamma ^{-1}
\frac{u_{z}}{u_{x}-v}\;=\;\gamma ^{-1}\frac{u\sin \theta }{u\cos \theta -v}
\;.
\end{equation}
Jde-li o sm�r sv�teln�ho paprsku, (obr. 1.11) polo��me $u=u'=c$,
a pro $v\ll c,\;\gamma \approx 1$ m�me
\begin{displaymath}
\Delta \theta \;=\;\theta '-\theta \;\approx \;\hbox{tg}\;(\theta '-\theta)
\;=\;\frac{\hbox{tg}\;\theta'-\hbox{tg}\;\theta }{1\;+\;\hbox{tg}\;\theta '
\hbox{tg}\;\theta}\;=\;\frac{\beta \sin \theta}{1\;-\;\beta \cos \theta }
\approx \beta \sin \theta\;.
\end{displaymath}
Posledn� v�raz odpov�d� klasick�mu p�ibl�en� pro Bradleyho aberaci.
V Newtonov� fyzice jsme zvykl�, �e d�lka, vzd�lenost dvou bod� v prostoru
$\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^{2}+\Delta y)^{2}+\Delta z)^{2}}$
se nem�n� p�i p�echodu z jedn� soustavy do druh�, je invariantn�. Jak v�me
v STR tomu tak nen�. P�esto v�ak je mo�no vytvo�it invariant, kter� se
nem�n�, aplikujeme-li na sou�adnice a �as Lorentzovy transformace. Tento
invariant naz�v�me {\em intervalem}. �tverec intervalu je
\begin{equation} \label{inter}
(\Delta s)^{2}\;=\;c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta l)^{2}\;=\;c^{2}
(\Delta t')^{2}-(\Delta l')^{2}\;=\;\hbox{invariant}\;.
\end{equation}
Na rozd�l od d�lky v oby�ejn�m euklidovsk�m prostoru m��e b�t �tverec
intervalu kladn�, z�porn� �i nulov� a interval m��e b�t i imagin�rn�.
Zavedeme-li �ty�rozm�rn� prostor ud�lost�, {\em prostoro�as}, jeho�
body maj� sou�adnice $ct,x,y,z$ (koeficient $c$ u $t$ zaji��uje fyzik�ln�
rozm�r d�lky), potom m��eme interval pova�ovat za jakousi sv�r�znou d�lku,
vzd�lenost mezi dv�ma ud�lostmi tohoto prostoru. ��k�me, �e vztahem
(\ref{inter}) jsme zadali metriku (zp�sob m��en� vzd�lenost�) v tomto
prostoru. Metrika takto definovan�ho �ty�rozm�rn�ho prostoru se z�ejm� li��
od metriky �ty�rozm�rn�ho euklidovsk�ho prostoru znam�nkem minus v
(\ref{inter}). Proto tento prostor naz�v�me s matematick�ho hlediska
{\em prostor pseudoeuklidovsk�} nebo {\em prostor Minkowsk�ho}.
Interval �zce souvis� s vlastn�m �asem. Prob�haj�-li n�jak� ud�losti s
ur�it�m t�lesem nebo ��stic�, plat� pro n� ve vlastn� soustav� t�lesa
$\Delta l'=0$. Potom $\Delta s=c\Delta t'=c\Delta \tau$, kde $\tau $ je
vlastn� �as t�lesa.
\begin{figure}
\vspace*{7cm}
\centerline{obr. 1.12}
\vspace*{1cm}
\end{figure}
Dv� ud�losti, dva body prostoro�asu (n�kdy jej t� naz�v�me sv�tov�m
prostorem) mohou b�t odd�leny n�sleduj�c�mi typy interval�:
\begin{itemize}
\item $(\Delta s)^{2}>0,\;\Delta s$ re�ln�. Takov� interval naz�v�me
{\em �asopodobn�m}. M� tu vlastnost, �e v�dy existuje vzta�n� soustava,
v n� tyto dv� ud�losti lze u�init soum�stn�mi. To se t�k� nap��klad
v�ech ud�lost�, kter� se d�j� s jedn�m t�lesem a zm�n�n� soustava je
jeho vlastn� soustava. Takov� ud�losti mohou b�t p���inn� spojeny,
�ivot, v�voj jednoho t�lesa (��stice) je v�dy �et�zem p���in a n�sledk�.
\item $(\Delta s)^{2}=0, \;\Delta l=\pm c\Delta t$. Takov� interval
naz�v�me {\em sv�tlopodobn�m}. Dv� ud�losti spojen� sv�tlopodobn�m
intervalem jsou nap��klad vysl�n� a p�ijet� sign�lu p�ed�van�ho
rychlost� sv�tla.
\item $(\Delta s)^{2}<0,\;\Delta s$ imagin�rn�. Takov� interval naz�v�me
{\em prostoropodobn�m}. M� tu vlastnost, �e v�dy existuje vzta�n� soustava,
v n� lze tyto dv� ud�losti u�init sou�asn�mi. Takov� ud�losti z�ejm�
nemohou b�t v p���inn�m spojen� a nemohou se t�kat t�ho� t�lesa.
\end{itemize}
V prostoru ud�lost� (sv�tov�m prostoru) oby�ejn� zn�zor�ujeme tzv. {\em
sv�teln� ku�el}. Na obr. 1.12 vid�me jeho projekci do roviny $ct,x$, kde
je zobrazen dvojic� p��mek $x=\pm ct$. Po��tek $O$ p�edstavuje v�choz�
ud�lost, na�e "zde" a "nyn�". V�echny ud�losti spojen� s touto v�choz�
ud�lost� �asopodobn�m intervalem le�� uvnit� sv�teln�ho ku�ele (vlastn�
dvojku�ele), sv�tlopodobn�m intervalem na pl�ti tohoto ku�ele a
prostoropodobn�m intervalem mimo tento ku�el. �ivot t�lesa tedy p�edstavuje
sled bod� v prostoro�ase (sv�tobod�) spojen�ch sv�to��rou proch�zej�c�
vrcholem sv�teln�ho ku�ele; ud�losti minul� pod osou $x$, ud�losti budouc�
nad n�.
\newpage
{\bf\Large 3. Relativistick� dynamika}
\vspace*{1cm}
Z�kladn�mi pojmy dynamiky jsou hybnost a s�la. Po zku�enosti s polohov�m
vektorem a Lorentzov�mi transformacemi je logick� po�adovat, aby i vektor
hybnosti $\vec p\equiv (p_{x},p_{y},p_{z})$ projevoval podobn� transforma�n�
vlastnosti jako polohov� vektor, tedy zejm�na aby platilo $p_{y}'=p_{y},\;
p_{z}'=p_{z}$. Lze se p�esv�d�it, �e takov�mu po�adavku bude vyhov�no,
budeme-li definovat hybnost ��stice o hmotnosti $m$ a pohybuj�c� se
rychlost� $\vec u$ vztahem
\begin{equation}
\vec p\;=\;\frac{m\vec u}{\sqrt{1\;-\;\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;.
\end{equation}
V souhlase s principem korespondence p�ech�z� tato definice v
nerelativistickou hybnost p�i $u\ll c$. Hmotnost $m$ je konstantn� a
naz�v� se t� {\em klidovou hmotnost�}.
K p�etransformov�n� slo�ek $p_{y},p_{z}$ n�m nyn� posta�� pravidla pro
skl�d�n� rychlost� (\ref{rych}):
\begin{equation} \label{peyx}
p'_{y,z}\;=\;\frac{mu'_{y,z}}{\sqrt{1-\frac{u'^{2}}{c^{2}}}}\;=\;
\frac{mu_{y,z}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;=\;p_{y,z}\;.
\end{equation}
P�i �prav� jsme zlomek roz���ili $\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}$ a pou�ili
identity
\begin{equation} \label{iden}
\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u'^{2}}{c^{2}}}}\;=\;\gamma
\frac{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;,
\end{equation}
kterou si ve voln� chv�li snadno dok�eme.
P�etransformujeme nyn� slo�ku $p_{x}$ s pou�it�m (\ref{iden})
\begin{equation} \label{pex}
p'_{x}\;=\;\frac{mu'_{x}}{\sqrt{1-\frac{u'^{2}}{c^{2}}}}\;=\;
\gamma \left( \frac{mu_{x}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;-\;
\frac{v}{c^{2}}\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\right) \;=\;
\gamma \;(p_{x}\;-\;\frac{\beta }{c}E)\;.
\end{equation}
Jako $E$ jsme ozna�ili v�raz
\begin{equation} \label{energ}
E\;=\;\frac{m\;c^{2}}{\sqrt{1\;-\;\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;,
\end{equation}
kter� m� rozm�r energie. Je logick� p�edpokl�dat, �e p�edstavuje energii
voln�, bezsilov� ��stice. Pro mal� rychlosti p�ech�z� v konstantn�
hodnotu
\begin{equation} \label{klid}
E_{0}\;=\;m\;c^{2}\;,
\end{equation}
kterou m��eme nazvat {\em klidovou energi� ��stice}. Je to z�ejm� vlastn�
energie ��stice v jej� klidov� soustav�. V nerelativistick� fyzice se sice
s takovou konstantn� energi� nesetk�v�me, ale energie je tam definov�na
s p�esnost� na adi�n� konstantu, tak�e k rozporu nedoch�z�. Kinetickou
energii v STR m��eme rozlo�it do �ady pro mal� hodnoty pom�ru
$\frac{u}{c}$:
\begin{displaymath}
E_{k}\;=\;E\;-\;mc^{2}\;=\;mc^{2}
\left( 1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) ^{-\frac{1}{2}}\;-\;mc^{2}\;=\;
mc^{2}\left( 1+\frac{1}{2}\frac{u^{2}}{c^{2}}+\frac{3}{8}\frac{u^{4}}{c^{4}}
+ \cdots -1\right) \;=
\end{displaymath}
\begin{equation}
=\frac{1}{2}mu^{2}\;+\;\frac{3}{8}m\frac{u^{4}}{c^{4}}+\cdots
\end{equation}
M��eme se p�esv�d�it, �e energie ��stice definovan� vztahem (\ref{energ})
vzr�st�, kon�-li vn�j�� s�la nad ��stic� pr�ci. V�kon takov� s�ly bude
\begin{displaymath}
P\;=\;\vec F\cdot \vec u\;=\;\frac{d\vec p}{dt}\cdot \vec u\;=\;
\frac{d}{dt}\left( \frac{m\vec u}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\right)
\cdot \vec u\;=\;\frac{d}{dt}\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;.
\end{displaymath}
Proto�e $P=\frac{dE}{dt}$, dostaneme integrac�
\begin{equation} \label{konst}
E\;=\;\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\;+\;\hbox{konst}\;.
\end{equation}
Pro ur�en� integra�n� konstanty v (\ref{konst}) nem�me teoretick� podklad.
Z�st�v� toti� ot�zkou, zda klidov� energie (\ref{klid}) p�edstavuje
skute�n� �plnou energii ��stice. Teprve experiment�ln� objev anihilace
��stic a anti��stic, kdy klidov� energie zcela miz� a m�n� se v energii
kinetickou a energii z��en� (doch�z� k �pln�mu {\em uvoln�n� energie}),
umo�nil polo�it integra�n� konstantu v (\ref{konst}) rovnou nule.
{\em Pozn�mka.} N�kdy se zav�d� takzvan� relativistick� hmotnost
$m=\frac{E}{c^{2}}$, kter� roste p�i p�ibli�ov�n� rychlosti ��stice
rychlosti sv�tla a p�i nulov� rychlosti p�ech�z� v hmotnost klidovou.
Je to v�ak zbyte�n�, nebo� tato veli�ina je st�le �m�rna energii. Nav�c
se t�m pojem hmotnosti zbyte�n� komplikuje - v pohybov� rovnici u�
toti� nem��eme vytknout hmotnost jako konstantn� a ps�t $\vec F=m\vec a$.
Hmotnost ��stice bude z�viset nejen na velikosti rychlosti, ale i na
sm�ru rychlosti vzhledem ke sm�ru p�sob�c� s�ly. N�kdy se setk�v�me se
star�mi pojmy "hmotnost pod�ln�" a "hmotnost p���n�", p�sob�-li s�la
rovnob�n� nebo kolmo ke sm�ru rychlosti. Hmotnost tak z�ejm� p�est�v�
b�t vhodnou m�rou setrva�nosti ��stice a je nejvy��� �as se tohoto pojmu
zbavit. N�co jin�ho je klidov� hmotnost ��stice, kter� p�edstavuje ur�itou
skal�rn�, invariantn� vlastnost. I tu ov�em m��eme vyjad�ovat jako klidovou
energii v energetick�ch jednotk�ch (u ��stic v elektronvoltech a jejich
n�sobc�ch).
Vra�me se nyn� k transforma�n�mu vztahu pro slo�ku hybnosti $p_{x}$
(\ref{pex}). Vid�me, �e tato slo�ka hybnosti se p�i transformaci v�e
s energi�, podobn� jako u Lorentzov�ch transformac� se sou�adnice $x$
v�e s �asem. Provedeme je�t� transformaci energie (pou�ijeme p�itom
u�ite�n�ho vztahu (\ref{iden})):
\begin{equation} \label{ent}
E'\;=\;\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u'^{2}}{c^{2}}}}\;=\;\gamma
\left( \frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}-v
\frac{mu_{x}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\right) \;=\;\gamma \;
(E\;-\;vp_{x})\;.
\end{equation}
Vid�me, �e STR spojuje v�dy jednu skal�rn� a jednu vektorovou veli�inu
do �tve�ice sou�adnic, kter� se p�i p�echodu od jedn� inerci�ln� soustavy
k druh� transformuj� spole�n�. Vznik� tak {\em polohov� �ty�vektor} v
prostoro�ase, kter� m��eme zapsat ve form� $(ct,x,y,z)\;=\;(x^{0},
x^{1},x^{2},x^{3})$ nebo {\em �ty�hybnost} (�ty�vektor energie - hybnosti)
$\left( \frac{E}{c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)\;=\;(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})$,
a jin�. S matematick�ho hlediska jsou to vektory ve �ty�rozm�rn�m prostoru
Minkowsk�ho a transformuj� se podle obecn�ch Lorentzov�ch transformac�
\begin{equation} \label{oLor}
a'^{0}=\gamma (a^{0}-\beta a^{1}),\qquad a'^{1}=\gamma (a^{1}-\beta a^{0}),
\qquad a'^{2}=a^{2},\qquad a'^{3}=a^{3}\;.
\end{equation}
(Jde o tzv. kontravariantn� slo�ky �ty�vektor�, kter� se zna�� horn�mi
indexy).
Invariant ("d�lku") t�chto �ty�vektor� m��eme vyj�d�it jako
\begin{displaymath}
(a^{0})^{2}-(a^{1})^{2}-(a^{2})^{2}-(a^{3})^{2}\;=\;\hbox{invariant}.
\end{displaymath}
V�me, �e pro polohov� �ty�vektor je t�mto invariantem interval. Pro
�ty�hybnost dost�v�me
\begin{displaymath}
\frac{E^{2}}{c^{2}}\;-\;p^{2}\;=\;\frac{m^{2}c^{2}}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\;-\;
\frac{m^{2}u^{2}}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\;=\;m^{2}c^{2}\;,
\end{displaymath}
co� je jist� invariant (konstanta).
Odtud dost�v�me d�le�it� relativistick� vztah mezi energi� a hybnost�:
\begin{equation} \label{enimp}
E\;=\;\sqrt{p^{2}c^{2}\;+\;m^{2}c^{4}}\;.
\end{equation}
V nerelativistick�m p��pad� tomuto vztahu odpov�d� pouze kinetick�
energie voln� ��stice $E=\frac{p^{2}}{2m}$. Existuj� i ��stice o nulov�
klidov� hmotnosti (nap��klad foton) a pro n� pak z (\ref{enimp})
dostaneme
\begin{equation}
E\;=\;p~c\;.
\end{equation}
Nakonec najdeme vztah pro {\em transformaci s�ly} z jedn� vzta�n� soustavy
do druh�. Po�adujeme p�itom, aby Newton�v pohybov� z�kon m�l form�ln� t��
tvar jako v nerelativistick� fyzice, tj. aby platilo
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;\frac{d\vec p}{dt},\qquad \vec F'\;=\;\frac{d\vec p'}{dt'}\;.
\end{displaymath}
P�itom se ov�em budou relativisticky transformovat jak hybnosti tak �as.
Abychom mohli p�i derivov�n� podle �asu p�ech�zet od ne��rkovan�ch veli�in
k ��rkovan�m a naopak, odvod�me nap�ed u�ite�n� vztah plynouc� z Lorentzov�ch
transformac� a transformace $x$-ov� slo�ky rychlosti. Proto�e
\begin{displaymath}
dt'\;=\;\gamma \left( dt\;-\;\frac{v}{c^{2}}dx\right) ,
\end{displaymath}
m�me
\begin{equation} \label{dcas}
\frac{dt'}{dt}\;=\;\gamma \left( 1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right) \;=\;
\gamma \left( 1-\frac{u'_{x}+v}{1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}}}\;
\frac{v}{c^{2}}\right) \;=\;
\frac{1}{\gamma }\left( 1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}}\right) ^{-1}\;.
\end{equation}
Vyj�d��me nyn� slo�ky s�ly $\vec F$ pomoc� slo�ek $\vec F'$:
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;\frac{dp_{x}}{dt}\;=\;\gamma \left( \frac{dp'_{x}}{dt'}+
\frac{v}{c^{2}}\;\frac{dE'}{dt'}\right) \frac{dt'}{dt}\;=\;
\frac{F'_{x}+\frac{v}{c^{2}}\vec F'\cdot \vec u'}{1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}}}
\;=\;F'_{x}+\gamma \frac{v}{c^{2}}\;(F'_{y}u_{y}+F'_{z}{u_{z}})\;,
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{silk}
F_{y,z}\;=\;\frac{dp_{y,z}}{dt}\;=\;\frac{dp'_{y,z}}{dt'}\frac{dt'}{dt}\;=\;
\frac{1}{\gamma }\left( 1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}}\right) ^{-1}F'_{y,z}\;=\;
\gamma \left( 1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)F'_{y,z}\;.
\end{equation}
P�ejdeme k vektorov�mu vyj�d�en�. Zap�eme-li rychlost $v$ jako vektor
$\vec v\equiv (v,0,0)$, m��eme zapsat slo�ky s�ly ve tvaru
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;F'_{x}-\gamma \frac{v}{c^{2}}F'_{x}u_{x}+\gamma \frac{v}{c^{2}}
(\vec F'\cdot \vec u)\;=\;(1-\gamma )F'_{x}+\gamma \left(1-
\frac{\vec u\cdot \vec v}{c^{2}}\right) F'_{x}+\gamma \frac{v}{c^{2}}
(\vec F'\cdot \vec u)\;,
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
F_{y,z}\;=\;\gamma \left( 1-\frac{\vec u\cdot \vec v}{c^{2}}\right)
F'_{y,z}\;.
\end{displaymath}
Shrneme-li vztahy pro transformaci slo�ek s�ly, m��eme ps�t
\begin{equation} \label{silv}
\vec F\;=\;(1-\gamma )\frac{\vec F'\cdot \vec v}{v^{2}}\vec v+
\gamma \vec F'+\frac{\gamma }{c^{2}}\left[ \vec v(\vec u\cdot \vec F')-
\vec F'(\vec u\cdot \vec v)\right] \;=\;(1-\gamma )
\frac{\vec F'\cdot \vec v}{v^{2}}\vec v+\gamma \vec F'+
\frac{\gamma }{c^{2}}\vec u\times (\vec v \times \vec F')\;.
\end{equation}
M�-li s�la ve vlastn� soustav� zdroje (nap��klad v soustav� spojen� s
pohybuj�c�m se n�bojem) tvar
\begin{displaymath}
\vec F'\;=\;k\frac{\vec r'}{r'^{3}}\;,
\end{displaymath}
potom s pou�it�m (\ref{Lorv}) polo��me-li $t=0$ dostaneme
\begin{equation} \label{silc}
\vec F\;=\;\frac{k\gamma }{r'^{3}}\left[ \vec r+\frac{1}{c^{2}}\;\vec u
\times (\vec v\times \vec r)\right] \;.
\end{equation}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 4. O obecn� teorii relativity}
\vspace*{1cm}
Einstein�v princip relativity hovo�� o rovnocennosti v�ech inerci�ln�ch
vzta�n�ch soustav. Jak v�me, v neinerci�ln�ch soustav�ch se objevuj�
setrva�n� s�ly, kter� nemaj� bezprost�edn� p�vod v interaguj�c�ch
t�lesech. Na druh� stran� ji� v Newtonov� mechanice bylo ustanoveno,
a postupn� experiment�ln� ov��ov�no se st�le v�t�� p�esnost�, �e setrva�n�
s�la a gravitace maj� tyt� ��inky, �e setrva�n� hmotnost a gravita�n�
hmotnost jsou si �m�rny, �e je lze je s��tat a vyjad�ovat v t�ch� jednotk�ch.
Je to tzv. Newton�v princip ekvivalence.
Einstein u�inil dal�� krok a vyslovil p�edpoklad, �e setrva�nost a gravitace
jsou p��mo toto�n�. T�m na jedn� stran� vytvo�il novou teorii gravitace a
stran� druh� zobecnil teoii relativity i na neinerci�ln� soustavy. Tuto
teorii proto naz�v�me {\em obecnou teori� relativity}, OTR. Jej� z�kladn�
postul�ty m��eme zformulovat nap��klad takto:
\vspace*{4mm}
{\em 1. Fyzik�ln� z�kony maj� stejn� tvar ve v�ech vzta�n�ch soustav�ch
(obecn� princip relativity).
\vspace*{6mm}
2. V�echny fyzik�ln� d�je prob�haj� stejn� v inerci�ln� soustav�, v n�
p�sob� homogenn� gravita�n� pole intenzity $\vec g$ a v neinerci�ln�
soustav� pohybuj�c� se rovnom�rn� zrychlen� se zrychlen�m $-\vec g$
(Einstein�v princip ekvivalence).}
\vspace*{1cm}
V mal� oblasti prostoru m��eme gravita�n� pole v�dy pova�ovat za homogenn�
a nahradit je lok�ln� vzta�nou soustavou pohybuj�c� se v��i inerci�ln�m
soustav�m s konstantn�m zrychlen�m. Obecn� v prostoru je v�ak gravita�n�
pole nehomogenn� a mus�me proto st�le p�ech�zet od jedn� lok�ln� vzta�n�
sopustavy k druh�. To je ekvivalentn� p�edstav� o zak�iven�m prostoru.
Bu� m��eme prohl�sit, �e sv�teln� paprsek zak�ivuje svou dr�hu pod vlivem
gravita�n�ho pole nebo proto, �e s�m prostor je zak�iven a nejkrat��
dr�hy, spojnici dvou bod� nele�� v p��mk�ch, ale v zak�iven�ch, takzvan�ch
geodetick�ch �ar�ch.
Gravitaci m��eme tedy nahradit ud�n�m pravidla m��en�
vzd�lenost�, tj. {\em metriky prostoro�asu}. Nesm�me zapom�nat, �e v teorii
relativity �as hraje �lohu jedn� ze sou�adnic a �e jde tedy o zak�iven�
prostoro�as, co� si lze jist� velmi obt�n� p�edstavit. M�sto �ty�rozm�rn�ho
pseudoeuklidovsk�ho prostoru Minkowsk�ho m�me nyn� �ty�rozm�rn� prostor
pseudoriemannovsk�. Je t�eba podotknout, �e geometrick� vlastnosti
zak�iven�ch, neeuklidovsk�ch prostor� byly matematicky prozkoum�ny ji�
v polovin� minul�ho stolet�. Zab�vali se jimi C.F.Gauss, N.Loba�evsk�,
J.Bolyai a zejm�na n�meck� matematik B.Riemann. Av�ak teprve Einsteinova
OTR uk�zala �e tyto matematick� prostory vyjad�uj� gravita�n� vlastnosti
re�ln�ho sv�ta, �e n� {\em fyzik�ln�} prostor je zak�iven. Geometrie
re�ln�ho sv�ta se tak stala sou��st� fyziky.
Metrick� vlastnosti prostoru popisuje takzvan� {\em metrick� tenzor}
$g_{\mu \nu}$, pomoc� n�ho� je mo�no zapsat interval ve tvaru
\begin{displaymath}
ds^{2}\;=\;g_{\mu \nu}\;dx^{\mu }dx^{\nu }\;.
\end{displaymath}
�eck� indexy zde prob�haj� hodnoty $0,1,2,3$ a p�es odpov�daj�c� si horn� a
doln� indexy se s��t�. Metrick� tenzor je symetrick� a m� tedy obecn�
deset r�zn�ch slo�ek (tzv. gravita�n�ch potenci�l�). Pro pseudoeuklidovsk�
prostor Minkowsk�ho p�ech�z� metrick� tenzor na tvar
\begin{displaymath}
g_{\mu \nu}\;=\;\left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array} \right)\;,
\end{displaymath}
v prvn�m p�ibl�en� slab�ho gravita�n�ho pole dost�v�me
\begin{displaymath}
g_{\mu \nu}\;=\;\left( \begin{array}{cccc}
1+\frac{2\phi }{c^{2}} & 0 & 0 & 0\\
0 & -\left( 1-\frac{2\phi }{c^{2}}\right) & 0 & 0\\
0 & 0 & -\left( 1-\frac{2\phi }{c^{2}}\right) & 0\\
0 & 0 & 0 & -\left( 1-\frac{2\phi }{c^{2}}\right)
\end{array} \right) \;.
\end{displaymath}
Zde $\phi $ ozna�uje gravita�n� potenci�l. V siln�m gravita�n�m poli nen�
ov�em metrick� tenzor diagon�ln�. Matematick� formalismus OTR je pom�rn�
n�ro�n� a nebudeme se j�m zde zab�vat. Podotkneme pouze, �e od metrick�ho
tenzoru je mo�no odvodit takzvan� {\em Einstein�v tenzor k�ivosti}
$G_{\mu \nu}$, kter� vystupuje ve slavn� Einsteinov� rovnici z roku 1916:
\begin{equation} \label{Einst}
G_{\mu \nu}\;+\;\Lambda g_{\mu \nu}\;=\;\frac{8\pi \kappa}{c^{4}}T_{\mu \nu}
\;.
\end{equation}
Na prav� stran� vystupuje {\em �ty�tenzor energie - hybnosti} $T_{\mu \nu}$,
kter� ud�v� rozlo�en� hmoty v prostoru, $\kappa $ je gravita�n� konstanta.
Pokud jde o druh� �len na lev� stran�, m� smysl jej uva�ovat pouze u
kosmologick�ch probl�m� vesm�ru jako celku; tzv.{\em kosmologick� konstanta}
$\Lambda $ zde je velmi mal�.
Einsteinova rovnice tedy spojuje k�ivost prostoru s rozlo�en�m hmoty.
Ve skute�nosti p�edstavuje deset rovnic pro gravita�n� potenci�ly, a to
neline�rn�ch, nebo� gravita�n� pole, kter� vyvol�v� zak�iven� prostoru m�
samo t� energii a p�sob� vlastn� samo na sebe. P�es mimo��dnou matematickou
obt�nost nalezl Schwarzschild prvn� �e�en� Einsteinovy rovnice je�t� v roce
1916. �lo o �e�en� pro p��pad centr�ln�ho, sf�ricky symetrick�ho pole, tedy
zobecn�n� Newtonova gravita�n�ho z�kona. Ve sf�rick�ch sou�adnic�ch d�v�
toto �e�en� pro interval
\begin{equation} \label{Schw}
ds^{2}\;=\;\left( 1-\frac{r_{g}}{r}\right) c^{2}dt^{2}-
\frac{dr^{2}}{1-\frac{r_{g}}{r}}-r^{2}(\sin ^{2}\theta
d\varphi ^{2}+d\theta ^{2})\;.
\end{equation}
Veli�ina
\begin{equation} \label{Schwp}
r_{g}\;=\;\frac{2\kappa m}{c^{2}}
\end{equation}
p�edstavuje zn�m� Schwarzschild�v polom�r, p�i jeho� dosa�en� nast�v�
singularita, gravita�n� kolaps a zhroucen� do �ern� d�ry. Pro Slunce
je tento polom�r roven asi 3 km, pro Zemi 0,9 cm. Obecn� nebyly Einsteinovy
rovnice dosud vy�e�eny, je zn�mo pouze n�kolik dal��ch �e�en� d�l��ch,
nap��klad Kerrovo �e�en� z r. 1963 pro rotuj�c� kouli. V OTR se ukazuje,
�e gravita�n� pole nerotuj�c� a rotuj�c� hmoty jsou r�zn�.
Na rozd�l od STR, kter� je denn� ov��ov�na technickou prax�, setk�v�me se
s d�sledky OTR pouze v kosmick�ch podm�nk�ch nebo p�i velmi precisn�ch
experimentech. Za prvn� experiment�ln� ov��en� OTR je mo�no pova�ovat
jev {\em st��en� perihelia planet}. V�me, �e p�i sebemen�� odchylce od
Newtonova gravita�n�ho z�kona p�estane se planeta pohybovat po uzav�en�
elipse a jej� perihelium se za�ne posouvat. Nejv�razn�j�� je tento posun
u Merkuru, �in� 5 600'' za stolet�. Z v�t�� ��sti je zp�soben poruchami
se strany dal��ch planet a nesf�ri�nost� Slunce, ale hodnotu 43'' za
stolet� se p�ed objevem OTR neda�ilo vysv�tlit. Ze Schwarzschildova
�e�en� dost�v�me pro tento posun
\begin{equation}
\delta \phi \;=\;\frac{6\pi \kappa m}{c^{2}a(1-e^{2})}\;=\;42,9''/stolet�\;.
\end{equation}
($a$ je velk� poloosa, $e$ excentricita dr�hy Merkuru). U Venu�e �in� toto
relativistick� posunut� 8,6'', u Zem� 3,8'' za stolet�, ale u n�kter�ch
hmotn�ch hv�zd je tento jev mnohem patrn�j�� (nap�. posun periastra u
pulsaru PSR 1913+16 �in� $4,2^{o}$ za rok).
Dal��m d�sledkem OTR je ohyb sv�teln�ch paprsk� proch�zej�c�ch v bl�zkosti
velmi hmotn�ho t�lesa. Pro Slunce dost�v�me teoretickou hodnotu
\begin{equation}
\delta \;=\;\frac{4\kappa M}{Rc^{2}}\;=\;1.75''\;.
\end{equation}
Tento efekt je mo�no ov��ovat p�i zatm�n� Slunce, kdy se hv�zdy le��c�
v t�sn� bl�zkosti zakryt�ho slune�n�ho kotou�e jev� posunuty ze sv�ch
obvykl�ch poloh. Pam�tn� m��en� Eddingtonovy v�pravy v roce 1919 zjistilo
hodnotu $1.98\pm 0.12''$.
Existuje cel� �ada dal��ch test� OTR, jako gravita�n� rud� posuv spektr�ln�ch
�ar pozorovateln� i v zemsk�m gravita�n�m poli, gravita�n� dilatace �asu,
zpo�d�n� sv�teln�ho sign�lu v gravita�n�m poli (radiov� sign�l odra�en�
od Venu�e a proch�zej�c� v bl�zkosti Slunce), ovlivn�n� gravitace rotac�
(Jupiter), ovlivn�n� precese setrva�n�k� aj. V�znamn�m d�kazem by byl objev
gravita�n�ch vln, o n�j� se, zat�m bez�sp�n� pokou�ely v�zkumn� t�my
americk�ho fyzika J.Webera a rusk�ho V.B.Braginsk�ho. Weber se pokou�el
detekovat sou�asn� rozkmit�n� t�k�ch (1.4 t) hlin�kov�ch v�lc� vzd�len�ch
1 000 km, Braginsk� pracoval s monokrystaly saf�ru a jeho aparatura by
dok�zala piezoelektricky zaznamenat d�lkov� zm�ny a� $10^{-17}$ cm.
Otev�enou ot�zkou z�st�v� tak� existence a vlastnost� �ern�ch d�r,
i kdy� na n� byly vytypov�ny velmi v�n� kandid�tky mezi astronomick�mi
objekty. Fyzika �ern�ch d�r v�ak vy�aduje vz�t v �vahu i z�kony kvantov�
fyziky a kvantov� teorie gravitace nebyla dosud vytvo�ena.
\vspace*{3cm} {\bf\Large P��klady}
\vspace*{1cm}
1.1 Mion v kosmick�m z��en� byl pozorov�n, jak v atmosf��e urazil od sv�ho
vzniku do rozpadu 5 km rychlost� 0,99$c$. Jakou dobu existoval v na��
pozorovac� soustav�, jakou dobu ve vlastn� klidov� soustav� a jak siln�
vrstva atmosf�ry pro�la kolem n�ho ve vlastn� soustav�?
\begin{flushright}
$[1,67.10^{-5}\hbox{s},\;2,33.10^{-6}\hbox{s},\; 0,7\hbox{km}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.2 V kosmick�m z��en� se vyskytuj� protony o energii $10^{10}$GeV. Za jak
dlouho prolet� na�� Galaxi� v na�� vzta�n� soustav� a ve sv� vlastn�?
\begin{flushright}
$[10^{5}\hbox{let},\;5\hbox{min}!]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.3 Z kosmick� lodi pohybuj�c� se vzhleden k Zemi rychlost� 0,8$c$ byla ve
sm�ru jej�ho pohybu vypu�t�na raketa rychlost� 0,6$c$ vzhledem k lodi.
Vlastn� d�lka rakety je 10 m. Jak� je d�lka t�to rakety s hlediska
pozorovatele v lodi a s hlediska pozorovatele na Zemi?
\begin{flushright}
[8 m, 3,24 m]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.4 Fyzik hazard�r, kter� p�ejel autem k�i�ovatku na �ervenou a byl zastaven
policistou se h�jil t�m, �e v d�sledku Dopplerova jevu vid�l m�sto �erven�
zelenou. Fyzik�ln� vzd�lan� policista ho v�ak stejn� pokutoval, a to za
nedovolenou rychlost. Ur�ete tuto rychlost za p�edpokladu, �e �erven�
odpov�d� spektr�ln� ��ra $\lambda _{0}=700$nm a zelen� $\lambda =550$nm.
\begin{flushright}
[71 000 $\hbox{km.s}^{-1}$]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.5 T�leso se vzhledem k dan� vzta�n� soustav� pohybuje rychlost� $0,8c$.
Ur�ete pom�r mezi jeho hustotou v t�to soustav� a hustotou klidovou.
\begin{flushright}
[2,78]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
\newpage
1.6 Kosmonaut na M�s�ci pozoruje dv� kosmick� lodi bl��c� se k n�mu z
opa�n�ch stran rychlostmi 0,8$c$ a 0,9$c$. Jak� je rychlost jedn� z lod�
m��en� z paluby druh�?
\begin{flushright}
[0,988$c$]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.7 Ur�ete rychlost a dr�hu relativistick� ��stice, na n� p�sob� konstantn�
s�la $F$. Porovnejte s rovnom�rn� zrychlen�m pohybem v nerelativistick�
fyzice a uka�te, �e rychlost ��stice nep�ekro�� $c$.
\begin{flushright}
$[a=\frac{F}{m}=\hbox{konst},\;u=
\frac{at}{\sqrt{1+\frac{a^{2}t^{2}}{c^{2}}}},\;x=\frac{c^{2}}{a}\left(
\sqrt{1+\frac{a^{2}t^{2}}{c^{2}}}-1\right) ,\;\hbox{p�i}\;
t\rightarrow \infty ,u\rightarrow c]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.8 Urychlova� dod�v� proton�m energii $E=500$GeV. Jak� rychlosti dosahuj� ?
(Klidov� energie protonu je $E_{0}=0,938$GeV)
\begin{flushright}
$[v=\sqrt{1-\frac{E_{0}^{2}}{E^{2}}}\;c=0,999998c]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.9 Jak velkou pr�ci je t�eba vynalo�it na zv��en� rychlosti elektronu
z $1,2.10^{8}\hbox{m.s}^{-1}$ na $2,4.10^{8}\hbox{m.s}^{-1}$ podle
nerelativistick� a relativistick� mechaniky? (Klidov� energie elektronu je
0,511 MeV)
\begin{flushright}
[0,122 MeV, 0,296 MeV]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.10 Mezon $\pi ^{-}$ (klidov� energie 139,6 MeV) se rozpad� z klidu na
mion $\mu ^{-}$ (klidov� energie 105,7 MeV) a antineutrino $\tilde \nu $.
Ur�ete energii mionu a antineutrina a uvoln�nou kinetickou energii.
\begin{flushright}
[109,8 MeV, 29,8 MeV, 33,9 MeV]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.11 Ur�ete vazebnou energii ��stice $\alpha $ v MeV, jsou-li klidov�
hmotnosti protonu, neutronu a ��stice $\alpha $ $m_{p}=1,672\; 65.10^{-27}$
kg, $m_{n}=1,674\; 95.10^{-27}$kg, $m_{\alpha }=6,644.10^{-27}$kg.
\begin{flushright}
[28,3 MeV]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}
1.12 Energie slune�n�ho z��en�, kter� dopad� za jednotku �asu na �tvere�n�
metr na hranici zemsk� atmosf�ry, p�edstavuje takzvanou {\em slune�n�
konstantu} $K=1~327 \;\hbox{W.m}^{-2}$, st�edn� vzd�lenost Zem� od Slunce
je 1,5.$10^{11}$m. Zdrojem slune�n� energie je tzv. vod�kov� cyklus, p�i
n�m� se v�dy �ty�i j�dra vod�ku (protony) o relativn� atomov� hmotnosti
1,008 m�n� na jedno j�dro helia (4,0039). Ur�ete �bytek hmotnosti Slunce
a mno�stv� sp�len�ho vod�ku za sekundu. Odhadn�te dobu b�hem n� by se
sp�lilo mno�stv� vod�ku odpov�daj�c� dne�n� hmotnosti Slunce $2.10^{30}$kg.
\begin{flushright}
$[4,2.10^{6}\hbox{t.s}^{-1},\;\;5,9.10^{8}\hbox{t.s}^{-1},\;\; 10^{11}
\hbox{let}]$
\end{flushright}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
