Theory/Physics/ElectricityAndMagnetism/StollElMa.cz/stacmn.tex

\centerline{{\bf\huge 4.~S~T~A~C~I~O~N~�~R~N~�~~~M~A~G~N~E~T~I~C~K~�~~~P~O~L~E}}
\zeroequation{4}
\vspace*{2cm} {\bf\Large 1. S�ly p�sob�c� mezi pohybuj�c�mi se n�boji}
\vspace*{1cm}

\setcounter{page}{134}

Nejd��ve ur��me intenzitu elektrick�ho pole pohybuj�c�ho se
bodov�ho n�boje. V elektrostatice je velikost n�boje ur�ov�na
z Coulombovy s�ly, kterou tento n�boj p�sob� na zku�ebn� jednotkov�
n�boj v dan� vzd�lenosti $r$. Pro pohybuj�c� se n�boj v�ak Coulomb�v z�kon
neplat� a s�la mezi dv�ma n�boji m��e nyn� z�viset na jejich vz�jemn� poloze
vzhledem ke sm�ru pohybu, p��padn� na rychlosti n�boj�. Ocit�me se tak v
situaci, �e vlastn� nev�me, jak ur�it velikost pohybuj�c�ho se n�boje.

Budeme proto postulovat platnost Gaussova z�kona, kter� je obecn�j�� ne�
Coulomb�v, a budeme p�edpokl�dat, �e plat� i pro n�boj v libovoln�m pohybu.
Obklop�me bodov� n�boj v dan�m okam�iku my�lenou kulovou plochou polom�ru
$r$ a definujeme velikost n�boje pomoc� toku intenzity elektrick�ho pole
touto plochou: \footnote{Velikost n�boje tak definujeme podle norm�ln� slo�ky
s�ly p�sob�c� na zku�ebn� n�boj rovnom�rn� rozprost�en� na kulov� plo�e
vyst�edovan� po t�to plo�e.}
\begin{equation} \label{defpn}
q\;=\;\varepsilon_{0}\;\oint_{K}\;\vec E\cdot d\vec S\;.
\end{equation}

Pokus�me se nyn� zjistit, jak budou rozlo�eny silo��ry kolem bodov�ho
pohybuj�c�ho se n�boje. V prvn�m p�ibl�en�, pro mal� rychlosti, o�ek�v�me,
�e tyto silo��ry budou radi�ln� a izotropn� jako u pole Coulombova a budou se
p�emis�ovat spolu s n�bojem. Up�esn�me toto o�ek�v�n�. Za t�m ��elem
provedeme my�len� pokus s pohybuj�c�m se nabit�m deskov�m kondenz�torem.
Nech� kondenz�tor je klidu nabit s plo�nou hustotou $\sigma_{0}$, jeho
desky orientov�ny kolmo k ose $z$ a intenzita pole mezi deskami m� velikost
$E_{0}=\sigma_{0}/\varepsilon_{0}$ (obr. 4.1).



Ut�kejme nyn� s kondenz�torem rovnom�rn� rychlost� $\vec v$ ve sm�ru osy
$x$. Podle relativistick� kontrakce d�lek (1.12) se p�i pohybu zkr�t�
pod�ln� rozm�r desek, a tedy se zmen�� i jejich plocha koeficientem
$1/\gamma \;=\;\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$. Proto�e n�boj je relativisticky
invariantn� a jeho velikost se za pohybu nem�n�, zm�n� se plo�n� hustota
n�boje a velikost intenzity pole na
\begin{displaymath}
\sigma \;=\;\frac{Q}{S}\;=\;\frac{Q\gamma }{S_{0}}\;=\;\gamma ~\sigma_{0}\;,
~~~~~E\;=\;\frac{\sigma }{\varepsilon_{0}}\;=\;\gamma ~
\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\;=\;\gamma ~E_{0}\;.
\end{displaymath}

Bude-li se takto orientovan� kondenz�tor pohybovat ve sm�ru $y$, zm�n� se
pole stejn�m zp�sobem. P�i pohybu ve sm�ru osy $z$ se velikost desek nezm�n�,
ale desky se sbl��. To neovlivn� hustotu n�boje ani intenzitu pole, zm�n�
se ov�em nap�t� na kondenz�toru.

M�jme nyn� klidovou soustavu $S$ a pohybuj�c� se soustavu $S'$ jako na
obr. 1.6 a budi� $S'$ vlastn� soustava kondenz�toru (soustava pohybuj�c� se
spolu s kondenz�torem ve sm�ru osy $x$). Orientujeme-li nyn� kondenz�tor
tak, aychom mohli sledovat zm�ny jednotliv�ch slo�ek pole dostaneme
n�sleduj�c� transforma�n� vzorce pro slo�ky intenzity elektrick�ho pole:
\begin{equation} \label{trans}
E_{x}\;=\;E'_{x}\;,~~~~~E_{y}\;=\;\gamma ~E'_{y}\;,~~~~~E_{z}\;=\;\gamma ~
E'_{z}\;.
\end{equation}
P�ipome�me, �e jde o transformaci vzhledem k soustav� $S'$, v n� jsou
elektrick� n�boje v klidu.

\begin{figure}
\vspace*{3cm}

\centerline{obr. 4.1}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

M�jme nyn� bodov� n�boj $q$ pohybuj�c� se rovnom�rn� p��mo�a�e pod�l osy
$x$ a spojme s n�m po��tek $O'$. U rovnom�rn�ho p��mo�ar�ho pohybu je
lhostejno, v kter�m okam�iku budeme pole zkoumat, a je proto v�hodn� zvolit
okam�ik $t=t'=0$ v n�m� sou�adn� osy obou soustav spl�vaj� (obr. 4.2).

\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\centerline{obr. 4.2}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Potom se Lorentzovy transformace zjednodu�uj� na $x'=\gamma ~x,~~~z'=z$.
Proto�e v ��rkovan� soustav� je pole Coulombovo, dostaneme pro transformaci
slo�ek:
\begin{displaymath}
E'_{x}\;=\;\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\cos \theta '}{r'^{2}}\;=\;
k~\frac{x'}{r'^{3}}\;=\;k~\gamma ~\frac{x}{r'^{3}}\;=\;E_{x}\;,
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
E'_{z}\;=\;\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\sin \theta '}{r'^{2}}\;=\;
k\frac{z'}{r'^{3}}\;=\;k~\frac{z}{r'^{3}}\;=\;\frac{1}{\gamma }~E_{z}\;,
\end{displaymath}
neboli
\begin{equation} \label{sloz}
\vec E\;=\;\gamma ~\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\vec r}{r'^{3}}\;.
\end{equation}

Z proveden�ch transformac� je vid�t, �e plat�
\begin{displaymath}
\frac{E'_{x}}{E'_{z}}\;=\;\frac{x'}{z'},~~~~~\frac{E_{x}}{E_{z}}\;=\;
\frac{x}{z}\;.
\end{displaymath}
To znamen�, �e p�i rovnom�rn�m p��mo�ar�m pohybu n�boje z�st�v� elektrick�
pole radi�ln�, centr�ln�. Silo��ry z�st�vaj� v p��mk�ch vych�zej�c�ch z
n�boje a mohou se pouze nat��et jako pevn� ty�ky.

Ur��me hustotu rozlo�en� silo�ar v r�zn�ch sm�rech, tj. velikost intenzity
elektrick�ho pole:
\begin{displaymath}
E^{2}\;=\;k^{2}~\gamma^{2}~\frac{x^{2}+z^{2}}{r'^{6}}\;=\;k^{2}~\gamma^{2}~
\frac{x^{2}+z^{2}}{[(\gamma x)^{2}+z^{2}]^{3}}\;=\;\frac{k^{2}}{\gamma^{4}}~
\frac{x^{2}+z^{2}}{(x^{2}+z^{2}-\beta^{2}z^{2})^{3}}\;=\;
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;k^{2}~\frac{(1-\beta^{2})^{2}}{(x^{2}+z^{2})^{2}\left (1-
\frac{\beta^{2}z^{2}}{x^{2}+z^{2}}\right) ^{3}}\;=\;k^{2}~
\frac{(1-\beta^{2})^{2}}{r^{4}(1-\beta^{2}\sin ^{2}\theta )^{3}}\;.
\end{displaymath}

Ozna��me-li funkci �hlu $\theta $
\begin{equation} \label{Heavi}
\Gamma \;=\;\frac{1-\beta ^{2}}{(1-\beta^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}
\end{equation}
naz�vanou n�kdy "Heaviside�v faktor", m��eme vyj�d�it v�sledn� pole bodov�ho
rovnom�rn� p��mo�a�e se pohybuj�c�ho n�boje v okam�iku nula jako
\begin{equation} \label{Heavip}
\vec E\;=\;\Gamma ~\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\vec r}{r^{3}}\;.
\end{equation}
Pr�b�h silo�ar tohoto pole je na obr. 4.3.

\begin{figure}
\vspace*{45mm}

\centerline{obr. 4.3}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Toto pole se p�emis�uje spolu s n�bojem rychlost� $v$. V ka�d�m okam�iku se
li�� od Coulombova pole pouze faktorem $\Gamma $, kter� je relativistickou
funkc� druh�ho ��du vzhledem k $v/c$. Zd�lo by se tedy, �e p�i mal�ch
rychlostech n�boj� ve vodi��ch nehraj� relativistick� efekty ��dnou �lohu a
�e jejich vliv se uplatn� teprve u nabit�ch ��stic pohybuj�c�ch se v
urychlova��ch rychlostmi bl�zk�mi rychlosti sv�tla ve vakuu. Skute�n�
elektrick� pole takzvan�ch ultrarelativistick�ch elektron� $(v\approx c)$
je soust�ed�no prakticky ve sm�ru p���n�m ke sm�ru pohybu.
Jak ale uvid�me, i p�i pomal�ch pohybech n�boj� mohou relativistick� jevy
sehr�t rozhoduj�c� �lohu, co� je jist� p�ekvapuj�c�.

V souvislosti s elektrick�m polem pohybuj�c�ho se n�boje u�in�me je�t� t�i
pozn�mky. \\

1. Lze se p�esv�d�it, �e celkov� tok intenzity elektrick�ho pole
(\ref{Heavip}) z�st�v� roven $q/\varepsilon_{0}$. Integrac� ve sf�rick�ch
sou�adnic�ch po plo�e koule polom�ru $r$ obklopuj�c� n�boj dost�v�me
\begin{displaymath}
\Phi \;=\;\oint_{S}~\vec E\cdot d\vec S\;=\;\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }~
E~r^{2}~\sin \theta ~d\varphi ~d\theta \;=\;\frac{q}{2\varepsilon_{0}}~
\int_{0}^{\pi }~\Gamma ~\sin \theta ~d\theta \;=\;
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\;=\frac{q}{2\varepsilon_{0}}
\int_{0}^{\pi }~\frac{1-\beta^{2}}{(1-\beta^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}~
\sin \theta ~d\theta \;=\;\frac{q}{\varepsilon_{0}}\;
\end{displaymath}
(substituce $\cos \theta =x$). \\

2. Pole pozorovan� v bod� $A$ ve vzd�lenosti $r$ od n�boje ve skute�nosti
neodpov�d� stavu n�boje v okam�iku nula. Podle STR se jak�koli zm�na m��e
projevit ve vzd�lenosti $r$ nejd��ve za dobu $t=r/c$. Pole v bod� $A$ tedy
odpov�d� stavu n�boje v okam�iku $t=-R/c$, kde $R$ je vzd�lenost, kterou
se informace o tomto poli dostala rychlost� $c$ od n�boje do bodu $A$.
N�boj se p�itom nach�zel na ose $x$ ve vzd�lenosti $vt=vR/c$ p�ed po��tkem
(viz obr. 4.4). Je pom�rn� jednoduchou geometrickou �lohou vyj�d�it pole
$\vec E$ nikoli jako funkci $\vec r$, ale jako funkci $\vec R$ (takzvan�
{\em retardovan� pole}):

\begin{equation} \label{retard}
\vec E\;=\;\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{(1-\beta^{2})~(\vec R-R\vec \beta )}{(R-\vec R\cdot \vec \beta )^{3}}\;.
\end{equation}
Uveden�ho v�razu je t�eba v p��pad�, �e se velikost nebo rychlost n�boje
za pohybu m�n�. \\

\begin{figure}
\vspace*{7cm}

\centerline{obr. 4.4}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

3. V p��pad�, �e se n�boj pohybuje nerovnom�rn� nebo po zak�iven� dr�ze,
je situace slo�it�j�� a �e�� se v teorii elektromagnetick�ho pole. Zde jen
pouk�eme na to, �e celkov� po�et silo�ar sice z�st�v� stejn�, ale silo��ry
jsou zak�iveny ("vlasy n�boje vlaj�") a doch�z� k vyza�ov�n�
elektromagnetick�ch vln. Jde-li o nap��klad o n�hl� zbrzd�n� rovnom�rn� se
pohybuj�c�ho n�boje do klidu, p�ejde Heavisideovo pole (\ref{Heavip}) na
pole Coulombovo, a to b�hem doby brzd�n� $\Delta t$. Proto�e silo��ry mus�
z�stat spojit�, vznikne oblast v podob� kulov� vrstvy, kde silo��ry maj�
tangenci�ln� slo�ku. Tlou��ka t�to vrstvy je $c~\Delta t$ a rozp�n� se
prostorem rychlost� $c$. Mluv�me o takzvan�m brzdn�m z��en�. Podobn� p�i
k�ivo�ar�m pohybu n�boje v magnetck�m poli doch�z� k vyza�ov�n�
synchrotronov�ho z��en�, kter� zp�sobuje ne��douc� energetick� ztr�ty
v urychlova��ch. Na obr. 4.5 je nazna�en pr�b�h silo�ar urychlovan�ho
n�boje, na obr. 4.6 vznik tangenci�ln� slo�ky elektrick�ho pole. Matematick�m
�e�en�m t�chto �loh se zde nem��eme zab�vat. \\

\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.5
\hspace*{6cm}
obr. 4.6
\vspace*{1cm}
\end{figure}

M�jme nyn� dva bodov� n�boje a uva�ujme o s�le, kterou n�boj $q_{0}$ bude
p�sobit na n�boj $q$. Rozli�me �ty�i p��pady: \\

I. Oba n�boje jsou v klidu. S�la bude Coulombova,
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{q_{0}~q}{r^{3}}~\vec r\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}

II. N�boj $q_{0}$ se pohybuje rychlost� $\vec v$, n�boj $q$ je v klidu.
Podle (\ref{Heavip}) bude s�la rovna
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;\Gamma ~\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{q_{0}q}{r^{3}}~\vec r\;.
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}

III. N�boj $q_{0}$ je v klidu, n�boj $q$ se pohybuje rychlost� $\vec v$.
Spoj�me ��rkovanou soustavu $S'$ s n�bojem $q$. V t�to soustav� plat�
$\vec F'=q~\vec E'$ a podle (\ref{trans}) $E_{x}=E'_{x},~~E_{y,z}=(1/\gamma )
~E'_{y,z}$. Mus�me si toti� uv�domit, �e tentokr�t je to soustava $S$, v n�
je n�boj $q_{0}$ vytv��ej�c� pole v klidu.

Jak se bude transformovat s�la mezi ob�ma soustavami? Relativistick�
transformace slo�ek s�ly vyjad�uj� vztahy (1.31). Polo��me-li v nich
$\vec u=(v,0,0)$, dostaneme
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;F'_{x},~~~~~F_{y,z}\;=\;\frac{1}{\gamma }~F'_{y,z}\;.
\end{displaymath}
V laboratorn� soustav� $S$ bude tedy nehybn� n�boj $q_{0}$ p�sobit na
pohybuj�c� se n�boj $q$ silou o slo�k�ch
\begin{displaymath}
F_{x}\;=\;F'_{x}\;=\;q~E'_{x}\;=\;q~E_{x}\;,
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
F_{y,z}\;=\;\frac{1}{\gamma }~F'_{y,z}\;=\;\frac{1}{\gamma }~q~E'_{y,z}\;=\;
\frac{1}{\gamma }~q~\gamma ~E_{y,z}\;=\;q~E_{y,z}\;.
\end{displaymath}

Vid�me, �e elektrick� pole p�sob� stejnou silou na nehybn� i pohybuj�c� se
n�boj. Srovn�n�m p��pad� II. a III. zjist�me, �e nehybn� n�boj p�sob� na
pohybuj�c� se n�boj jinou silou ne� pohybuj�c� se n�boj na nehybn�. Mezi
pohybuj�c�mi se n�boji tedy {\em neplat� Newton�v z�kon akce a reakce}. Je
to zp�sobeno t�m, �e v relativistick� fyzice se silov� p�soben� ���� kone�nou
rychlost� a na akci nem��e n�sledovat okam�it� reakce.
\vspace*{3mm}

IV. P�ejdeme nyn� k obecn�mu p��padu, kdy oba n�boje se pohybuj�, a to
r�zn�mi rychlostmi. Tentokr�t spoj�me sou�adnou soustavu $S'$ s n�bojem
$q_{0}$, kter� se pohybuje v laboratorn� soustav� rychlost� $\vec v$ a
sm�rujeme osu $x$ pod�l t�to rychlosti. Je tedy $\vec v=(v,0,0)$. N�boj
$q$ m� potom v soustav� $S$ rychlost $\vec u$ a v soustav� $S'$ rychlost
$\vec u'$. V�imneme si op�t situace v okam�iku nula, kdy $t=t'=0$. N�boj
$q_{0}$ vytvo�� v soustav� $S'$ Coulombovo pole se st�edem v po��tku a
bude p�sobit na n�boj $q$ silou
\begin{displaymath}
\vec F'\;=\;q~\vec E'\;=\;q~\frac{q_{0}}{4\pi \varepsilon_{0}}~
\frac{\vec r'}{r'^{3}}\;=\;k~\frac{\vec r'}{r'^{3}}\;.
\end{displaymath}

V  kapitole o STR jsme odvodili transformaci takov� s�ly do laboratorn�
soustavy $S$ vztahem (1.33). Proto bude
\begin{equation} \label{silm}
\vec F\;=\;\frac{k~\gamma }{r'^{3}}\left[ \vec r~+~\frac{1}{c^{2}}~\vec u
\times(\vec v\times \vec r )\right] \;.
\end{equation}


Podle (\ref{sloz}) a (\ref{Heavip}) pohybuj�c� se n�boj $q_{0}$ vytv���
elektrick� pole
\begin{displaymath}
\vec E\;=\;\gamma ~\frac{q_{0}}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\vec r}{r'^{3}}\;=
\;\Gamma ~\frac{q_{0}}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{\vec r}{r^{3}}\;.
\end{displaymath}

S�lu, kterou p�sob� n�boj $q_{0}$ pohybuj�c� se obecn� rychlost� $\vec v$ na
n�boj $q$ pohybuj�c� se obecn� rychlost� $\vec u$ m��eme tedy zapsat ve tvaru

\begin{equation} \label{silal}
\vec F\;=\;q~\Gamma~\frac{q_{0}}{4\pi \varepsilon_{0}}~\frac{1}{r^{3}}~
\left[ \vec r~+~\frac{1}{c^{2}}~\vec u\times (\vec v\times \vec r)\right] \;=
\;q~\left[ \vec E~+~\frac{1}{c^{2}}~\vec u\times (\vec v\times \vec E)\right]
\;.
\end{equation}

Vid�me, �e mezi pohybuj�c�mi se n�boji p�sob� krom� elektrick� s�ly $qE$
je�t� dal�� s�la �m�rn� n�boji a kolm� k rychlosti n�boje $\vec u$. Tato
s�la nevymiz� ani p�i nerelativistick�ch rychlostech, kdy polo��me faktor
$\Gamma =1$. T�to s�le ��k�me s�la magnetick�.

Ve v�razu (\ref{silal}) st�le vystupuje rychlost $\vec v$ n�boje, kter�
vyvol�v� silov� p�soben�. Abychom se t�to rychlosti zbavili, zavedeme
vedle elektrick�ho dal�� pole, magnetick� a definujeme tzv. {\em vektor
magnetick� indukce } $\vec B$ \footnote{N�zev je historick� a nev�sti�n�.}
vztahem
\begin{equation} \label{magp}
\vec B\;=\;\frac{1}{c^{2}}~\vec v\times \vec E\;=\;
\frac{q_{0}}{4\pi c^{2}\varepsilon_{0}}~\frac{1}{r^{3}}~(\vec v\times \vec r)
\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\frac{q_{0}}{r^{3}}~(\vec v\times \vec r)\;.
\end{equation}

P�itom jsme zavedli novou konstantu $\mu_{0}$ naz�vanou {\em permeabilita
vakua} nebo t� magnetick� konstanta. Mezi konstantami $\varepsilon_{0}$ a
$\mu_{0}$ plat� vztah
\begin{equation} \label{epsmu}
\varepsilon_{0}~\mu_{0}\;=\;\frac{1}{c^{2}}\;.
\end{equation}
Zat�mco ka�d� z t�chto konstant zvlṻ ��dn� fyzik�ln� smysl nem� a vypl�v�
pouze z volby soustavy jednotek, jejich sou�in fyzik�ln� v�znam m� a
vyjad�uje vztah elektromagnetick�ch jev� k rychlosti sv�tla. Jak uvid�me
d�le, ��seln� hodnota $\mu_{0}$ byla stanovena p�esn� na $\mu_{0}\;=\;4\pi~.
10^{-7}~\hbox{H.m}^{-1}$ (henry na metr).

Nyn� m��eme napsat s�lu, kter� p�sob� na pohybuj�c� se elektrick� n�boj ve
tvaru
\begin{equation} \label{Lore}
\vec F\;=\;q~[~\vec E~+~\vec u\times \vec B~]
\end{equation}
To je zn�m� {\em Lorentzova s�la} a v�raz (\ref{Lore}) m��eme tak� pova�ovat
za definici elektrick�ho a magnetick�ho pole. Kdybychom si cht�li u�et�it
cel� p�edchoz� relativistick� odvozov�n�, mohli bychom br�t existenci
magnetick�ho pole jako nov�, samostatn� experiment�ln� fakt a formulovat
situaci takto: \\

{\em Pohybuj�c� se elektrick� n�boje bud� v prostoru jednak
elektrick�, jednak magnetick� pole. Na pohybuj�c� se n�boj p�sob� elektrick�
a magnetick� pole Lorentzovou silou (\ref{Lore}).}

\vspace*{2cm} {\bf\Large 2. Vlastnosti magnetick�ho pole}
\vspace*{1cm}

Magnetick� pole je pops�no vektorem magnetick� indukce $\vec B$, jeho�
rozlo�en� v prostoru m��eme zn�zornit {\em induk�n�mi �arami}. Jednotkou
magnetick� indukce v soustav� SI je tesla (T) a m� fyzik�ln� rozm�r
M$\hbox{T}^{-2}\hbox{I}^{-1}$. M��eme zav�st magnetick� induk�n� tok a
cirkulaci magnetick� indukce pod�l uzav�en� k�ivky vztahy
\begin{displaymath}
\Phi \;=\;\int_{S}~\vec B\cdot d\vec S\;,~~~~~~~~~~\Gamma \;=\;\oint _{l}~
\vec B\cdot d\vec l\;.
\end{displaymath}
Magnetick� induk�n� tok m� pro sv�j mimo��dn� v�znam jednotku se zvl�tn�m
n�zvem, weber. Tak� pro magnetick� pole plat� princip superpozice, magnetick�
pole vytv��en� jednotliv�mi pohybuj�c�mi se n�boji a proudy se nez�visle
s��taj�. \\

Jeden bodov� pohybuj�c� se n�boj nem��e vytvo�it stacion�rn� magnetick� pole.
Mus�me m�t uzav�en� stacion�rn� proud, rozd�lit ho na mal� proudov� elementy
a ur�it v�slednou magnetickou indukci podle principu superpozice. Na obr.
4.7 je zakreslena proudov� smy�ka $l$ a vektor pr�vodi�e $\vec R$ od mal�ho
dr�hov�ho elementu $d\vec l$ do bodu $A$, v n�m� magnetickou indukci ur�ujeme.

\begin{figure}
\vspace*{7cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.7
\hspace*{6cm}
obr. 4.8
\vspace*{1cm}
\end{figure}


Proudov� element $d\vec I$  m��eme vyj�d�it pomoc� hustoty a st�edn� rychlosti
n�boje v objemu smy�ky (obr. 4.8):
\begin{equation} \label{elem}
d\vec I\;=\;Id\vec l\;=\;j~\Delta S~d\vec l\;=\;\vec j~dV\;=\;\rho ~dV~
\vec v\;.
\end{equation}

Podle (\ref{magp}) bude proudov� element $d\vec I$ vytv��et v bod� $A$
magnetick� pole o indukci
\begin{equation} \label{elemp}
d\vec B\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\frac{\rho ~dV}{R^{3}}~(\vec v\times
\vec R)\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\frac{d\vec l\times \vec R}{R^{3}}\;.
\end{equation}

V�imn�me si, �e v tomto v�razu ji� nevystupuje hustota n�boje, n�br� pouze
proud. Jak v�me, proud a tedy i magnetick� pole mohou existovat i v p��pad�,
�e objemov� hustota elektrick�ho n�boje je nulov�.
Na rozd�l od bodov�ho n�boje, kter� m��eme realizovat mal�m nabit�m t�lesem
nem��e "proudov� element" samostatn� existovat, v�dy mus� b�t sou��st�
n�jak�ho uzav�en�ho obvodu. Proto m� fyzik�ln� smysl pouze magnetick� indukce
vyvolan� proudovou smy�kou $l$. Ur��me ji z principu superpozice integrac�
p��sp�vk� jednotliv�ch proudov�ch element�:
\begin{equation} \label{BiotS}
\vec B\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{l}~
\frac{d\vec l\times \vec R}{R^{3}}\;.
\end{equation}

Vztah (\ref{BiotS}) se naz�v� {\em Biot�v - Savart�v (- Laplace�v) z�kon} a
umo��uje naj�t magnetick� pole r�zn�ch stacion�rn�ch proudov�ch obvod�. \\

Uva�ujme {\em p��m� vodi�} j�m� prot�k� proud $I$ ve sm�ru osy $x$ (obr.
4.9) a hledejme magnetickou indukci v bod� $A$ na ose $z$ ve vzd�lenosti
$r$ od vodi�e. Z vektorov�ho sou�inu v Biotov� -  Savartov� z�konu je z�ejm�,
�e vektor magnetick� indukce bude kolm� k rovin� tvo�en� proudovou p��mkou
a bodem $A$ a bude te�n� ke kru�nici v rovin� kolm� k proudu se st�edem
na proudov� p��mce. Bude m�t sm�r pravoto�iv�ho �roubu vzhledem ke sm�ru
proudu (obr. 4.10).

\begin{figure}
\vspace*{55mm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.9
\hspace*{6cm}
obr. 4.10
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Prob�h�-li element $dl$ pod�l vodi�e, m�n� se veli�iny $l, R, \theta$, kter�
jsou v�z�ny vztahy
\begin{displaymath}
l\;=\;-~\frac{r}{\hbox{tg}~\theta } ~,~~~dl\;=\;\frac{r~d\theta }{\sin^{2}
\theta }~ ,~~~R\;=\;\frac{r}{\sin \theta }\;.
\end{displaymath}
Podle (\ref{BiotS}) pak m�me
\begin{equation} \label{primv}
B\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{l}~\frac{|d\vec l\times \vec R|}{R^{3}}\;
=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\frac{I}{r}~\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\sin \theta
~d\theta \;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\frac{I}{r}~(\cos \theta_{1}~-~\cos
\theta_{2})\;.
\end{equation}

V�raz (\ref{primv}) lze pou��t k v�po�tu p��sp�vku p��m�ho �seku vodi�e
k magnetick� indukci; �hly $\theta_{1}$ a $\theta_{2}$ sv�raj� pr�vodi�e
konc� vodi�e s bodem $A$.

Je-li vodi� nekone�n�, bude $\theta_{1}=0,~~\theta_{2}=\pi $ a magnetick�
indukce bude
\begin{equation} \label{primn}
B\;=\;\frac{\mu_{0}~I}{2\pi ~r}\;.
\end{equation}
\vspace*{2mm}


\begin{figure}
\vspace*{11cm}

\centerline{obr. 4.11}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Ur��me magnetick� pole plo�n�ho proudu prot�kaj�c�ho po nekone�n� rovin�
(obr. 4.11). S bodu $A$, v n�m� pole ur�ujeme, spust�me kolmici na proudovou
rovinu ve vzd�lenosti $r$. Vy�len�me dva p��mkov� proudy $dI= \alpha ~dl$
($\alpha $ je plo�n� hustota proudu) ve stejn�ch vzd�lenostech $l$ od paty
t�to kolmice a se�teme vektorov� jejich p��sp�vky k magnetick� indukci
v bod� $A$. Vid�me, �e v�sledn� vektor magnetick� indukce vyvolan� touto
dvojic� p��mkov�ch proud� $d\vec B$ je rovnob�n� s proudovou rovinou.
Nyn� zb�v� integrovat p�es v�echny takov� dvojice p��m�ch proud� v rovin�.
Vezmeme-li v �vahu, �e
\begin{displaymath}
l\;=\;r~\hbox{tg}~\theta ,~~~dl\;=\;\frac{r~d\theta }{\cos^{2}~\theta},~~~
R\;=\;\frac{r}{\cos \theta}
\end{displaymath}
a
\begin{displaymath}
dB\;=\;2~\frac{\mu_{0}~dI}{2\pi ~R}~\cos \theta \;=\;
\frac{\mu_{0}~\alpha ~\cos \theta~dl}{\pi ~R}
\end{displaymath}
a po integraci
\begin{equation} \label{rovv}
B\;=\; \frac{\mu_{0}~\alpha }{\pi }\int \frac{\cos \theta ~dl}{R}\;=\;
\frac{\mu_{0}~\alpha }{\pi }~\int_{0}^{\pi /2}~d\theta \;=\;
\frac{\mu_{0}~\alpha }{2}\;.
\end{equation}

Magnetick� indukce vpravo od proudov� roviny bude m�t tedy velikost
$B=(\mu_{0}~\alpha )/2$ a bude m��it kolmo k proudu a rovnob�n� s rovinou,
vlevo od roviny bude m�t sm�r opa�n�. Na proudov� rovin� m� tedy te�n�
slo�ka magnetick� indukce nespojitost $\mu_{0}~\alpha $. Je u�ite�n� srovnat
tyto z�v�ry s chov�n�m intenzity elektrick�ho pole na nabit� rovin� (2.24).

M�me-li dv� rovnob�n� proudov� roviny, bude se magnetick� indukce
superponovat. Budou-li plo�n� proudy souhlasn� rovnob�n�, vyru�� se pole
mezi rovinami, budou-li proudy nesouhlasn� rovnob�n�, bude magnetick� pole
o indukci $B=\mu_{0}~\alpha $ soust�ed�no v prostoru mezi rovinami. Nech�me-li
t�ci proud po pl�ti v�lce kolmo k ose, bude osov� magnetick� pole soust�ed�no
uvnit� v�lce. Pote�e-li proud po pl�ti rovnob�n� s osou, bude magnetick�
pole uvnit� v�lce nulov�.

Na obr. 4.12 je zn�zorn�n sm�r a rozlo�en� magnetick� indukce vytv��en�
dvojicemi proudov�ch rovin ve srovn�n� intenzitou elektrick�ho pole nabit�ch
rovin.

\begin{figure}
\vspace*{8cm}

\centerline{obr. 4.12}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Z�skan� v�sledky n�m umo��uj� naj�t obecn� {\em transforma�n� vztahy},
podle nich� se m�n� elektrick� a magnetick� pole p�i p�echodu od jedn�
inerci�ln� vzta�n� soustavy k druh�. M��eme toti� pou��t op�t na�i metodu
ut�k�n� s deskov�m kondenz�torem.

\begin{figure}
\vspace*{8cm}

\centerline{obr. 4.13}
\vspace*{1cm}
\end{figure}


Na obr. 4.13 je zn�zorn�n nabit� kondenz�tor, jeho� desky le�� v rovin� $x,z$.
Pohybuje-li se tento kondenz�tor rovnom�rn� ve sm�ru osy $x$, prot�k� v tomto
sm�ru vlastn� konvek�n� plo�n� proud. Je-li v laboratorn� soustav� rychlost
kondenz�toru rovna $u$ a plo�n� hustota n�boje $\sigma $, bude line�rn�
hustota proudu $\alpha \;=\;\sigma ~u$ a v prostoru mezi deskami kondenz�toru
bude existovat $y$-ov� slo�ka intenzity elektrick�ho pole a $z$-ov� slo�ka
magnetick� indukce:
\begin{displaymath}
E_{y}\;=\;\frac{\sigma }{\varepsilon_{0}},~~~~~~B_{z}\;=\;\mu_{0}~\alpha \;=
\;\mu_{0}~\sigma ~u\;.
\end{displaymath}

P�ejdeme-li k ��rkovan� soustav�, kter� se pohybuje v��i laboratorn� tak�
ve sm�ru $x$ rychlost� $v$, a v n� se kondenz�tor pohybuje rychlost�
$u'$, mus�me p�etransformovat rychlost $u$ a plo�nou hustotu n�boje
$\sigma $. Podle vzorc� pro skl�d�n� rychlost� (1.14) dostaneme
\begin{displaymath}
\beta'_{u}\;=\;\frac{\beta_{u}~-~\beta }{1~-~\beta_{u}~\beta },~~~\hbox{kde}
~~~~\beta =\frac{v}{c},~~~\beta_{u}=\frac{u}{c},~~~\beta'_{u}=\frac{u'}{c}\;.
\end{displaymath}

Pokud jde o plo�nou hustotu n�boje, bude ve vlastn� soustav� kondenz�toru
rovna $\sigma_{u}$ a v soustav�ch $S$ a $S'$ $\sigma =\gamma_{u}~\sigma_{u},
~~~\sigma '_{u}=\gamma '_{u}~\sigma_{u}$. Vztah mezi $\gamma $ a $\beta $
je d�n (1.1). V ��rkovan� soustav� tedy m�me

\begin{displaymath}
\sigma '\;=\;\gamma '_{u}\sigma_{u}\;=\;\frac{\gamma '_{u}}{\gamma_{u}}
\sigma \;=\;\frac{\sigma }{\gamma_{u}}\frac{1}{\sqrt{1-\beta _{u}^{,2}}}\;=\;
\frac{\sigma }{\gamma_{u}}\frac{1-\beta_{u}\beta }{\sqrt{(1-\beta^{2})
(1-\beta_{u}^{2})}}\;=\;\sigma \gamma (1-\beta_{u}\beta )\;.
\end{displaymath}

Tak dostaneme slo�ky elektrick�ho a magnetick�ho pole:

\begin{displaymath}
E'_{y}\;=\;\frac{\sigma '}{\varepsilon_{0}}\;=\;\gamma \left(
\frac{\sigma }{\varepsilon_{0}}-\frac{\beta_{u}\beta \sigma }{\varepsilon_{0}}
\right) \;=\;\gamma \left( E_{y}-\beta c\frac{\mu_{0}\sigma u}{c^{2}
\varepsilon_{0}\mu_{0}}\right)\;=\;\gamma (E_{y}-\beta cB_{z})\;,
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
B'_{z}\;=\;\mu_{0}\sigma 'u'\;=\;\mu_{0}\sigma \gamma c(\beta_{u}-\beta )\;
=\;\gamma (\mu_{0}\sigma u-\mu_{0}\sigma v)\;=\;\gamma \left( B_{z}-
\frac{\beta }{c}\;\frac{\sigma }{\varepsilon_{0}}\right) \;=\;\gamma
\left( B_{z}-\frac{\beta }{c}\;E_{y}\right) .
\end{displaymath}

Podobn� bychom postupovali i u ostatn�ch slo�ek. M��eme tedy napsat obecn�
transforma�n� vzorce pro elektrick� a magnetick� pole p�i p�echodu mezi
dv�ma inerci�ln�mi vzta�n�mi soustavami:

\begin{displaymath}
E'_{x}\;=\;E_{x}\;,~~E'_{y}\;=\;\gamma (E_{y}-\beta cB_{z})\;,~~E'_{z}\;=\;
\gamma (E_{z}+\beta cB_{y})
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{transEB}
B'_{x}\;=\;B_{x}\;,~~B'_{y}\;=\;\gamma \left( B_{y}+\frac{\beta }{c}E_{z}
\right) \;,~~B'_{z}\;=\;\gamma \left( B_{z}-\frac{\beta }{c}E_{y}\right)\;.
\end{equation}

Jsou-li v soustav� $S'$ n�boje v klidu, potom $\vec B'=0$ a plat� vztahy
(\ref{trans}). Pohybuje-li se soustava $S'$ pomalu, m��eme polo�it $\gamma
=1$ a transforma�n� vztahy se zjednodu�� na

\begin{equation} \label{transp}
\vec E'\;=\;\vec E\;+\;\vec v\times \vec B\;,~~~\vec B'\;=\;\vec B\;-\;
\frac{1}{c^{2}}~\vec v\times \vec E\;.
\end{equation}

P�i ka�d� transformaci je d�le�itou ot�zka takzvan�ch invariant�, tj. veli�in,
kter� se p�i transformaci nem�n�. Tak� v p��pad� elektrick�ho a magnetick�ho
pole m��eme ov��it, �e transformace (\ref{transEB}) ponech�vaj� beze zm�ny
dv� kombinace vektor� $\vec E,~ \vec B $:

\begin{equation} \label{invEB}
\vec E\cdot \vec B\;=\;\vec E'\cdot \vec B'\;,~~~B^{2}\;-\;\frac{1}{c^{2}}E^{2}
\;=\;B^{,2}-\frac{1}{c^{2}}E^{,2}\;.
\end{equation}

Znamen� to mimo jin�. �e jsou-li vektory $\vec E,~ \vec B$ v jedn� vzta�n�
soustav� vz�jemn� kolm� (jejich skal�rn� sou�in je roven nule), budou kolm�
ve v�ech vzta�n�ch soustav�ch. \\

Ur��me s�lu, kter� p�sob� na proudov� element se strany magnetick�ho pole.
Vyjdeme-li ze vzorce pro Lorentzovu s�lu, m��eme napsat

\begin{displaymath}
d\vec F\;=\;\rho ~dV(\vec E\;+\;\vec u\times \vec B)\;=\;\rho ~dV~\vec E\;+\;
\vec j~dV\times \vec B\;=\;\rho ~dV~\vec E\;+\;I~d\vec l\times \vec B\;.
\end{displaymath}

Je-li objem, v n�m� prot�k� proud elektricky neutr�ln� ($\rho =0$), bude
magnetick� p�soben� na proudov� element d�no pouze posledn�m �lenem. Proto�e
magnetick� element s�m vytv��� magnetick� pole o indukci (\ref{elemp}),
m��eme zapsat silov� z�kon pro vz�jemn� p�soben� dvou proudov�ch element�:

\begin{equation} \label{Ampv}
d\vec F\;=\;I_{1}d\vec l_{1}\times \vec B_{2}\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~
\frac{I_{1}I_{2}}{R_{12}^{3}}~[d\vec l_{1}\times (d\vec l_{2}\times
\vec R_{12})]\;.
\end{equation}

Tento silov� z�kon se n�kdy naz�v� {\em Amp�rov�m vzorcem}. Amp�r m�l snahu
vybudovat nauku o vz�jemn�m silov�m p�soben� vodi�� s proudem podle vzoru
Newtonovy dynamiky. Jak jsme se v�ak zmi�ovali, proudov� elementy nemohou
samostatn� existovat, a tak m� fyzik�ln� v�znam pouze v�sledn� silov� p�soben�
mezi uzav�en�mi proudov�mi smy�kami.



\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\centerline{obr. 4.14}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Uva�me nap��klad dva rovnob�n� nekone�n� dlouh� p��m� proudov� vodi�e (obr.
4.14). Na obr�zku je t� vyzna�en sm�r s�ly, kterou p�sob� druh� vodi� na
prvn�. Prot�kaj�-li ob�ma vodi�i souhlasn� proudy, vodi�e se p�itahuj�,
jsou-li proudy nesouhlasn�, vodi�e se odpuzuj�. Proto�e druh� vodi� vytv���
magnetick� pole o indukci kolm� k proudov�mu elementu druh�ho vodi�e, m��eme
pro velikost s�ly, kterou druh� vodi� p�sob� na element prvn�ho vodi�e napsat

\begin{displaymath}
dF_{12}\;=\;I_{1}~B_{12}~dl_{1},~~~B_{12}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~
\frac{I_{2}}{r}\;.
\end{displaymath}

S�la mezi dv�ma nekone�n�mi proudy je ov�em nekone�n�. Zaj�m�me se proto,
jakou silou p�sob� druh� vodi� na jednotku d�lky prvn�ho vodi�e. Dost�v�me

\begin{equation} \label{Ampd}
F_{l}\;=\;\frac{dF_{12}}{dl_{1}}\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~
\frac{I_{1}I_{2}}{r}\;.
\end{equation}

Tento vzorec byl vzat za z�klad pro definici jedn� ze z�kladn�ch jednotek
soustavy SI, amp�ru. Podle usnesen� 9. Gener�ln� konference pro m�ry a v�hy
v Pa��i v roce 1948 \\

{\em Amp�r (A) je proud, kter� p�i st�l�m pr�toku dv�ma rovnob�n�mi p��m�mi
nekone�n� dlouh�mi vodi�i zanedbateln�ho kruhov�ho pr��ezu, um�st�n�mi ve
vakuu ve vzd�lenosti jednoho metru, vyvol� mezi vodi�i s�lu $2.10^{-7}$
newtonu na jeden metr d�lky.}\\

Touto definic� je vlastn� zvolena hodnota konstanty $\mu_{0}$, jak jsme v��e
uvedli. Proto�e konstanty $\mu_{0}$ a $\varepsilon_{0}$ jsou vz�jemn� v�z�ny
byly definov�n�m amp�ru vlastn� stanoveny jednotky v�ech elektrick�ch i
magnetick�ch veli�in.

Stacion�rn� magnetick� pole je v�dy vytv��eno stacion�rn�mi proudy. P�itom
naz�le�� na tom, o jak� druh proudu jde, zda jde o konduk�n� proud prot�kaj�c�
vodi�em nebo o konvek�n� proud n�boj� mechanicky p�emis�ovan�ch v prostoru.
Tento poznatek musel b�t ov�em experiment�ln� ov��en. Zaslou�ili se o to v
minul�m stolet� americk� fyzik H.A.Rowland, d�le W.K.Roentgen a rusk� fyzik
A.A.Eichenwald. Rowland za sv�ho p�soben� v Berl�n� 1876 provedl citliv� pokus
s pozlacen�m ebonitov�m kotou�em, kter� rychle rotoval mezi dv�ma uzemn�n�mi
sklen�n�mi deskami. T�m vznikly vlastn� dva kondenz�tory s jednou spole�nou
rotuj�c� elektrodou. P�i rotaci nabit� elektrody vznikl smy�kov�
proud a zm�ny j�m vytv��en�ho slab�ho magnetick�ho pole (asi $10^{-5}$
velikosti pole geomagnetick�ho) p�i zm�n� sm�ru rotace byly registrov�ny
magnetkou zav�enou v mosazn� trubce na torzn�m vl�kn�. Podobn� pokus provedl
pozd�ji (1888) Roentgen, kdy� nechal rotovat dielektrick� sklen�n� kotou�
mezi deskami nehybn�ho kondenz�toru. Na povrchu kotou�e se indukovaly
polariza�n� v�zan� n�boje, kter� p�i rotaci vytv��ely konvek�n� proud.
Magnetick� pole vytv��ej� samoz�ejm� i v�zan� proudy v l�tkov�m prost�ed�
a tak� proud posuvn�, kter� je ov�em nestacion�rn�. To prok�zal experiment�ln�
Whitehead, kdy� registroval magnetick� impulsy vznikaj�c� p�i pr�chodu
st��dav�ho elektrick�ho proudu kondenz�torem zapln�n�m dielektrikem. \\

Tak� stacion�rn� magnetick� pole m��eme popsat soustavou Maxwellov�ch rovnic
vyjad�uj�c�ch jeho obecn� vlastnosti. Jednou z t�chto vlastnost� je
experiment�ln� fakt, �e neexistuj� magnetick� n�boje, z nich� by induk�n�
��ry vych�zely a �e magnetick� pole (i nestacion�rn�) je solenoid�ln�.
Induk�n� ��ry se mus� uzav�rat samy do sebe nebo vych�zet a kon�it v nekone�nu.
\footnote{Jak uk�zal P.A.M.Dirac, kvantov� teorie pole p�ipou�t� existenci
magnetick�ho monop�lu, tedy ��stice nesouc� magnetick� n�boj, jeho� velikost
je jednozna�n� v�z�na s velikost� element�rn�ho elektrick�ho n�boje. Tato
��stice v�ak nebyla dosud objevena a �sil� v tomto sm�ru pokra�uje, v duchu
p�esv�d�en� fyzik�, �e to co m��e existovat, existuje.

Jinak se pojem magnetick�ho n�boje (magnetick�ho mno�stv�) ve fyzice u��v�
jako form�ln� p�edstava definovan� pomoc� Coulombova z�kona pro magnetick�
s�ly. M�me-li toti� dva dlouh� ty�ov� magnety a zkoum�me s�lu, kter� p�sob�
mezi jejich konci, m��eme tyto konce p�ibli�n� pova�ovat za bodov� zdroje
induk�n�ch �ar, za "magnetick� n�boje".}

Tok magnetick�ch induk�n�ch �ar uzav�enou plochou je tedy v�dy roven nule:
\begin{equation}
\Phi \;=\;\oint_{S}~\vec B\cdot d\vec S\;=\;0\;,
\end{equation} \label{solen}
neboli v diferenci�ln�m tvaru
\begin{equation}
\hbox{div}~\vec B\;=\;0\;.
\end{equation}

Ur��me, �emu se rovn� cirkulace magnetick� indukce pod�l uzav�en� k�ivky.
Vezm�me zprvu nekone�n� p��m� vodi� s proudem $I$, o n�m� v�me �e vytv���
induk�n� ��ry magnetick�ho pole v podob� kru�nic se st�edem na vodi�i a o
velikosti dan� (\ref{primn}). Cirkulace pod�l takov� kru�nice bude
\begin{equation} \label{cirk}
\Gamma \;=\;\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;\oint_{l}~
\frac{\mu_{0}~I}{2\pi ~r}~dl\;=\;\mu_{0}~I\;.
\end{equation}
Tento v�sledek m��eme zobecnit na libovolnou uzav�enou k�ivku a libovoln�
rozlo�en� proud�. P�edn� je z�ejmo, �e neobep�n�-li k�ivka ��dn� proud,
bude cirkulace pod�l n� nulov�. Na obr. 4.15 vid�me uzav�enou k�ivku v poli
p��mkov�ho proudu sestavenou ze dvou radi�ln�ch �sek� a dvou koncentrick�ch
oblouk� kru�nic.

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.15}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Radi�ln� �seky k cirkulaci nep�isp�vaj�, p��sp�vky na oblouc�ch kru�nic se
vz�jemn� vyru�� (pole kles� nep��mo �m�rn� polom�ru, d�lka oblouku roste
�m�rn� s polom�rem). Na obr. 4.16 vid�me obecnou k�ivku neobep�naj�c� proud
v poli p��m�ho vodi�e. M��eme ji rozd�lit na mal� �seky $d\vec l_{1},~
d\vec l_{2}$, vy�at� dv�ma bl�zk�mi radi�ln�mi paprsky. D�lky t�chto �sek�
budou v pom�ru
\begin{displaymath}
\frac{r_{1}}{\cos \alpha_{1}}~:~\frac{r_{2}}{\cos \alpha_{2}}~,
\end{displaymath}
zat�mco projekce vektoru $\vec B$ do tangenci�ln�ho sm�ru budou v pom�ru
obr�cen�m.

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.16}
\vspace*{1cm}
\end{figure}



\begin{figure}
\vspace*{65mm}

\centerline{obr. 4.17}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Cirkulace bude tedy nenulov� jen tehdy, obep�n�-li k�ivka proud. Pro obecnou
k�ivku $l_{1}$ na obr. 4.17 m��eme prov�st n�sleduj�c� �vahu.
Zvol�me pomocnou kru�nici $l_{2}$ se st�edem na vodi�i a vytvo��me spojen�
obou k�ivek $l_{1}+l_{2}$ tak, aby p��sp�vek spojovac�ho �seku k cirkulaci
bylo mo�no zanedbat. Nov� spojen� k�ivka ji� proud neobep�n� a cirkulace
pod�l n� je tedy nulov�. Vzhledem k tomu, �e sm�ry proch�zen� obou ��st�
spojen� k�ivky jsou protich�dn�, m�me
\begin{displaymath}
\oint_{l_{2}}~\vec B\cdot d\vec l\;-\;\oint_{l_{1}}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;0\;.
\end{displaymath}
Tak� pro obecnou k�ivku $l_{1}$ bude tedy cirkulace d�na (\ref{cirk}).

P�i na�em zobec�ov�n� jsme pracovali s k�ivkami v rovin� kolm� ke sm�ru proudu;
bylo by ov�em mo�n� uva�ovat i k�ivky prostorov�. Bude-li magnetick� pole
vytv��eno v�ce proudy m��eme pou��t princip superpozice. Induk�n� ��ry pro
t�i paraleln� vodi�e jsou p�ibli�n� zakresleny na obr. 4.18.

\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.18
\hspace*{6cm}
obr. 4.19
\vspace*{1cm}
\end{figure}

T�m dosp�v�me k obecn�mu {\em Amp�rovu z�konu:

Cirkulace magnetick� indukce pod�l libovoln� uzav�en� k�ivky je rovna
celkov�mu proudu, kter� tato k�ivka obep�n�, n�soben�mu $\mu_{0}$.}

Podle toho, prot�k�-li proud jednotliv�mi vodi�i nebo je-li v prostoru
rozlo�en s hustotou $\vec j$ dostaneme matematick� vyj�d�en� Amp�rova
z�kona:
\begin{equation} \label{Ampez}
\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;\mu_{0}~\sum_{\alpha }~I_{\alpha }\;=\;
\mu_{0}~\int_{S}~\vec j\cdot d\vec S~~.
\end{equation}

Amp�r�v z�kon m� podobn� v�znam pro pole magnetick� jako Gauss�v z�kon pro
pole elektrick�. S pou�it�m Stokesovy v�ty jej m��eme vyj�d�it t� v
diferenci�ln�m tvaru. M�me
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;\int_{S}~\hbox{rot}~\vec B\cdot d\vec S\;
\end{displaymath}
a porovn�me-li s pravou stranou (\ref{Ampez}), m��eme vzhledem k libov�li ve
volb� k�ivky a plochy p�irovnat integrovan� funkce. V diferenci�ln�m tvaru zn�
Amp�r�v z�kon
\begin{equation} \label{Ampd}
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\vec j\;.
\end{equation}

Shrneme-li nyn� v�echny dosud z�skan� rovnice pro stacion�rn� elektrick�
a magnetick� pole, dostaneme soustavu Maxwellov�ch rovnic pro stacion�rn�
pole jako

\begin{displaymath}
\hbox{div}~\vec E\;=\;\frac{\rho }{\varepsilon_{0}}~~~~~~~~~~
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~\vec j
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Maxst}
\hbox{rot}~\vec E\;=\;0~~~~~~~~~~
\hbox{div}~\vec B\;=\;0\;\;.
\end{equation}

Rovnice v prvn�m ��dku (I. s�rie) spojuj� intenzitu elektrick�ho pole a
magnetickou indukci s n�boji a proudy; z nich je tedy mo�no vypo��tat pole,
zn�me-li rozlo�en� n�boj� a proud� a naopak. Rovnice ve druh�m ��dku
(II. s�rie) n�boje a proudy neobsahuj� a vyjad�uj� pouze obecn� vlastnosti
stacion�rn�ch pol�. ��kaj�, �e stacion�rn� elektrick� pole je potenci�ln� a
stacion�rn� magnetick� pole je solenoid�ln�. P�itom se tato soustava rozpad�
na dv� nez�visl� podsoustavy rovnic pro elektrick� a pro magnetick� pole.
P�esto �e ob� pole jsou vytv��ena t�mi� pohybuj�c�mi se n�boji, nejsou
vz�jemn� prov�z�na. \\

Najdeme nyn� obecn� �e�en� rovnic stacion�rn�ho magnetick�ho pole. Vzhledem
k tomu, �e divergence tohoto pole je nulov�, m��eme zav�st jin� vektorov�
pole $\vec A~(x,y,z)$ naz�van� {\em vektorov� potenci�l} takov�, �e
\begin{equation} \label{vekp}
\vec B\;=\;\hbox{rot}~\vec A\;.
\end{equation}
Uvid�me, jestli si t�m pom��eme. Dosad�me-li do rovnice pro rotaci $\vec B$,
dostaneme
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\hbox{rot~rot}~\vec A\;=\;\hbox{grad~div}~\vec A\;-\;
\Delta~\vec A\;=\;\mu_{0}~\vec j\;.
\end{displaymath}

Rovnice vypad� slo�it�, ale m��eme vyu��t ur�it� volnosti ve volb� vektorov�ho
potenci�lu. M��eme ho toti� zvolit tak, aby jeho divergence m�la libovolnou
zadanou hodnotu, byla nap��klad nulov�. \footnote{Zd�vodn�n� je n�sleduj�c�.
Nech� $\hbox{div}\vec A=f$. Pokus�me se p�ej�t k nov�mu vektorov�mu potenci�lu
$\vec A'$ takov�mu, aby platilo $\hbox{div}\vec A'=0$ a z�rove� $\hbox{rot}
\vec A'=\vec B$. K tomu sta�� p�i��st k potenci�lu $\vec A$ potenci�l
$\vec A''$, kter� vyhovuje rovnic�m $\hbox{rot}\vec A''=0,~~\hbox{div}\vec A''
=-f$. Potom $\vec A'=\vec A+\vec A''$ spl�uje po�adovan� vlastnosti. Je pouze
ot�zka, zda vektorovou funkci $\vec A''$ lze naj�t, tj. zda rovnice pro ni
maj� �e�en�. Tyto rovnice jsou v�ak form�ln� shodn� s rovnicemi pro vektor
stacion�rn�ho elektrick�ho pole, kde polo��me $f=-\rho /\varepsilon_{0}$.
O existenci elektrick�ho pole pak fyzik nepochybuje.} Tato podm�nka se
naz�v� {\em cejchovac�} nebo {\em kalibra�n�}.\\

Bude-li $\hbox{div}~\vec A\;=\;0$, zjednodu�� se rovnice pro vektorov�
potenci�l na
\begin{equation} \label{Poiv}
\Delta \vec A\;=\;-~\mu_{0}~\vec j\;.
\end{equation}

To je vektorov� Laplaceova - Poissonova rovnice zcela analogick� rovnici
(2.13). Analogie mezi skal�rn�m potenci�lem $\varphi $ a vektorov�m
potenci�lem $\vec A$ tak vynik�.

�e�en� rovnice (\ref{Poiv}) m��eme napsat okam�it� podle analogie s �e�en�m
pro elektrostatick� potenci�l (2.20). M�me
\begin{equation} \label{veks}
\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{V}~\frac{\vec j(x',y',z')~dV}{R}\;=\;
\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{l}~\frac{d\vec l}{R}\;.
\end{equation}

Zn�me-li vektorov� potenci�l, ur��me magnetickou indukci jako
\begin{displaymath}
\vec B\;=\;\hbox{rot}~\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int_{V}~\hbox{rot}~
\left( \frac{\vec j}{R}\right) ~dV\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{V}~\nabla
\left( \frac{1}{R}\right) \times \vec j~dV\;=\;
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{V}~\frac{\vec j\times \vec R}{R^{3}}~dV\;=\;
\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{l}~\frac{d\vec l\times\vec R}{R^{3}}\;.
\end{displaymath}

(P�i �prav� jsme prov�d�li operaci rotace podle ne��rkovan�ch sou�adnic
$x,y,z$, a proto jsme pova�ovali $\vec j$ za konstantn� vektor. Pou�ili jsme
posledn� ze vzorc� (M.23). P�i v�po�tu gradientu $1/R$ jsme postupovali jako
u slo�en� funkce; $R=\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}$.)

V�sledek, kter� jsme z�skali p�edstavuje ji� zn�m� Biot�v - Savart�v z�kon
(\ref{BiotS}).

Prot�k�-li proud o line�rn� hustot� $\vec \alpha $ po plo�e, budeme m�t
analogicky (\ref{veks}) a (\ref{BiotS})
\begin{displaymath}
\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{S}\frac{\vec \alpha }{R}~dS\;=\;
\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{l}~\frac{d\vec l}{R}
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{Biotp}
\vec B\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{S}~\frac{\alpha \times \vec R}{R^{3}}
dS\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{S}~\frac{d\vec l\times \vec R}{R^{3}}\;.
\end{equation}
\\

Obecn� lze dok�zat:\\

1. Je-li vektorov� funkce $\vec j$ kone�n� a dostate�n� hladk� ve vnit�n�ch
bodech proudov�ho objemu V, bude magnetick� indukce {\em v�ude} kone�n� a
spojit�. Vektorov� potenci�l $\vec A$ bude m�t nav�c i parci�ln� derivace
alespo� prvn�ho ��du.\\

2. Na proudov�ch ploch�ch nen� magnetick� indukce definov�na a vektorov�
potenci�l zde nem� derivaci. P�i pr�chodu touto plochou z�st�vaj� norm�lov�
slo�ky magnetick� indukce spojit�, zat�mco te�n� se m�n� skokem o $\mu_{0}
\alpha $. \\

Uveden� hrani�n� podm�nky na proudov� plo�e snadno z�sk�me z v�ty o
neexistenci magnetick�ho n�boje a Amp�rova z�kona. Obklop�me-li proudovou
plochu t�sn� p�il�haj�c�m v�lcem s osou kolmou k plo�e, bude induk�n�
tok v�lcovou plochou nulov� a pro norm�lov� slo�ky na obou stran�ch plochy
m�me
\begin{equation} \label{hranb1}
\hbox{Div}~\vec B\;=\;B_{1n}\;-\;B_{2n}\;=0  ~~~.
\end{equation}
Nech�me-li pod�l roviny prob�hat obd�ln�kovou smy�ku tak, �e del�� strany
$l$ obd�ln�ka vedou t�sn� po obou stran�ch roviny a krat�� strany jsou
zanedbateln�, bude smy�kou obep�nan� proud $\mu_{0} \alpha l$ , a tak
\begin{equation} \label{hranb2}
\hbox{Rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}\vec \alpha ,~~~~~~~~~~|\hbox{Rot}~\vec B|\;=\;
B_{1t}\;-\;B_{2t}\;=\;\mu_{0}\alpha\;.
\end{equation}

Shrneme zp�soby v�po�tu magnetick� indukce r�zn�ch proudov�ch konfigurac�.
M��eme k tomu pou��t princip superpozice p��sp�vk� jednotliv�ch proudov�ch
element�. P�itom m��eme integrovat bu� vektorov� potenci�ly (co� je jednodu���)
a pak naj�t magnetickou indukci ze vztahu (\ref{vekp}), nebo m��eme p��mo
integrovat magnetickou indukci pomoc� Biotova - Savartova z�kona. Pokud je
rozlo�en� proud� symetrick�, m��e b�t v�hodn�j�� pou��t Amp�r�v z�kon.
V p��pad� nepravideln�ho uspo��d�n� proud� v n�jak�m mal�m objemu m��eme
podobn� jako u elektrick�ho pole rozlo�it magnetickou indukci na velk�ch
vzd�lenostech do �ady magnetick�ch multip�l� a omezit se na �len nejni���ho
��du, magnetick� dip�l (magnetick� n�boj, monop�l neexistuje). O t�to metod�
pojedn�me v n�sleduj�c�m odstavci. \\


P�edstavme si nyn�, �e vlo��me proudovou rovinu do vn�j��ho magnetick�ho pole
$\vec B_{0}$ rovnob�n�ho s rovinou a kolm�ho ke sm�ru plo�n�ho proudu
(obr. 4.19). Pole plo�n�ho proudu se pak bude superponovat s vn�j��m polem
a po stran�ch roviny budeme m�t
\begin{displaymath}
B_{1}\;=\;B_{0}\;+\;\frac{\mu_{0}\alpha }{2}\;,~~~~B_{2}\;=\;B_{0}\;-\;
\frac{\mu_{0}\alpha }{2}\;,
\end{displaymath}
odkud
\begin{displaymath}
B_{1}\;-\;B_{2}\;=\;\mu_{0}\alpha \;,~~~~B_{1}\;+\;B_{2}\;=\;2~B_{0}\;.
\end{displaymath}

Vy�len�me-li v rovin� proudov� p�s ���ky $h$, a v n�m element d�lky $d\vec l$,
bude na n�j vn�j�� pole p�sobit silou kolmou k rovin� (tlakovou silou)
o velikosti
\begin{displaymath}
dF\;=\;|I~d\vec l\times \vec B_{0}|\;=\;\alpha ~h~dl~B_{0}\;=\;\alpha ~B_{0}~
dS\;,
\end{displaymath}
tak�e na rovinu bude p�sobit v�sledn� {\em magnetick� tlak}
\begin{displaymath}
p_{m}\;=\;\frac{dF}{dS}\;=\;\alpha B_{0}\;=\;\frac{1}{2\mu_{0}}~(B_{1}-B_{2})
~(B_{1}+B_{2})\;=\;\frac{B_{1}^{2}}{2\mu_{0}}\;-\;\frac{B_{2}^{2}}{2\mu_{0}}\;.
\end{displaymath}
Tento v�sledek m��eme z�ejm� pova�ovat za v�sledn� tlak p�sob�c� s obou stran
roviny.

Magnetick� pole tedy vyv�j� tlak na plo�n� proudy, a to
\begin{equation} \label{magtl}
p_{m}\;=\;\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\;.
\end{equation}

S magnetick�m tlakem se mus� po��tat v magnetick� hydrodynamice p�i proud�n�
vodiv�ch kapalin (rtuti, roztaven�ch alkalick�ch kov� p�i chlazen� aktivn�
zony rychl�ch reaktor�, plazmatu apod.) V t�chto p��padech se magnetick�
tlak superponuje s tlakem hydrodynamick�m.

Situace je zde podobn�, jako u mechanick�ho nap�t�, kter� vyv�j�
elektrostatick� pole na nabit� plochy. Vykon�-li magnetick� tlakov� s�la
pr�ci, stane se tak na �kor energie nahromad�n� v magnetick�m poli. Naopak
mechanickou silou p�sob�c� na proudov� plochy m��eme zv�t�ovat energii
magnetick�ho pole a t�m vlastn� magnetick� pole vytv��et (tzv. magnetick�
dynamo). \footnote{T�mto zp�sobem se vysv�tluje vznik magnetick�ch pol�
v kosmick�m prostoru. Magnetick� induk�n� ��ry jsou ve vodiv� l�tce (plazmatu)
jakoby vmra�eny, pohybuj� se spolu s n� a p�i gravita�n�m stla�ov�n� l�tky
roste tak� hustota induk�n�ch �ar a t�m i magnetick� pole.}

Podobn� jako u elektrick�ho pole je i magnetick� tlak roven objemov� hustot�
energie magnetick�ho pole:
\begin{equation} \label{magen}
w_{m}\;=\;\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\;.
\end{equation}
Vezmeme-li v �vahu (2.19), m��eme pro celkovou hustotu energie
elektromagnetick�ho pole napsat:
\begin{equation} \label{mgen}
w\;=\;w_{e}\;+\;w_{m}\;=\;\frac{\varepsilon_{0}~E^{2}}{2}\;+\;
\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\;.
\end{equation}

\vspace*{1cm}

\underline{Relativistick� v�klad s�ly p�sob�c� mezi dv�ma proudy} \\

Odvodili jsme s�lu (\ref{Ampd}), kter� p�sob� mezi dv�ma p��m�mi rovnob�n�mi
vodi�i prot�kan�mi proudem a uk�zali, �e jsou-li proudy rovnob�n� souhlasn�,
vodi�e se p�itahuj�. P�vod t�to s�ly m��eme tak� vylo�it na z�klad� poznatk�
speci�ln� teorie relativity.

Uva�me nap�ed dva rovnob�n� n�bojov� paprsky, tj. n�boje t�ho� znamen�
rozlo�en� s line�rn� hustotou $\tau $ na dvou rovnob�n�ch p��mk�ch ve
vzd�lenosti $r$, a pohybuj�c� se v t�m� sm�ru tou� rychlost� $v$. Intenzita
pole vytv��en�ho line�rn�m n�bojem se ur�uje podle Gaussova z�kona a bude
m�t proto stejn� tvar bez ohledu na to, zda se n�boje pohybuj� �i nikoli.
Zm�n� se ov�em line�rn� hustota n�boj� vzhledem k efektu kontrakce d�lek;
bude-li v soustav� $S'$ pohybuj�c� se spolu s n�boji line�rn� hustota $\tau '$
a v laboratorn� soustav� hustota $\tau $, bude mezi nimi platit vztah
$\tau '=\tau /\gamma $. Ur��me nyn� s�lu, kterou p�sob� jeden paprsek na
jednotku d�lky druh�ho. Ukazuje se, �e p���n� slo�ka s�ly $F_{\bot }$ na jednotku
d�lky je stejn� v nehybn� i pohybuj�c� se soustav�. Transformuje se toti�
\begin{displaymath}
l'\;=\;\gamma ~l,~~~t'\;=\;\frac{t}{\gamma },~~~F_{\bot }'\;=\;
\frac{dp_{\bot }'}{dt'}\;=\;\gamma ~\frac{dp_{\bot }}{dt}\;=\;\gamma F_{\bot }.
\end{displaymath}
S�la na jednotku d�lky je tedy
\begin{displaymath}
F'_{l}\;=\;\frac{F_{\bot }'}{l'}\;=\;\frac{\gamma ~F_{\bot }}{\gamma ~l}\;=\;
F_{l}\;.
\end{displaymath}
V pohybuj�c� se vzta�n� soustav� jsou n�boje nehybn� a p�sob� na n� jen
elektrick� s�la na jednotku d�lky:
\begin{displaymath}
F'_{l}\;=\;\frac{\tau '^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;.
\end{displaymath}
P�ejdeme-li do laboratorn� soustavy, dostaneme
\begin{displaymath}
F_{l}\;=\;F'_{l}\;=\;\frac{1}{\gamma^{2}}~\frac{\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;=\;
\frac{\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}~\left( 1~-~\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) \;.
\end{displaymath}
Prvn� �len na prav� stran� je elektrick� odpudiv� s�la, kter� p�sob� mezi
nehybn�mi line�rn�mi n�boji. Pohybuj�-li se n�boje (��m� vzniknou dva line�rn�
proudy), bude mezi nimi p�sobit je�t� dal��, {\em p�ita�liv� } s�la vyj�d�en�
druh�m �lenem. Tato s�la je ov�em druh�ho ��du vzhledem k $v/c$ a pokud se
n�boje nepohybuj� relativistick�mi rychlostmi, lze ji zanedbat.   \\


Jin� situace nastane, pote�e-li proud dv�ma rovnob�n�mi, nenabit�mi vodi�i.
Pomineme-li chaotick� tepeln� pohyb ��stic, m��eme v laboratorn� soustav�
pova�ovat kladn� i z�porn� n�boje ve vodi�i (ionty a elektrony) za nehybn�
a vyrovnan� (s line�rn�mi hustotami $\tau >0$ a $-\tau $ o t�e absolutn�
velikosti). Nen� proto d�vodu, aby mezi dv�ma m�d�n�mi dr�ty, kter�mi nete�e
proud, p�sobila n�jak� s�la. P�edpokl�dejme nyn�, �e vodi�i za�nou prot�kat
proudy souhlasn�m sm�rem, a to proto, �e se elektrony daj� do pohybu
uspo��danou rychlost� $v$ (viz obr. 4.20). V d�sledku efektu kontrakce d�lek
se nyn� zm�n� line�rn� hustoty pohybuj�c�ch se elektron�. Dr�t, j�m� te�e
proud se stane nabit�m. Vzhledem k nepatrn�m rychlostem elektron� ve vodi��ch
bude tento n�boj ov�em velmi mal�. Oba vodi�e se nabij� n�boji se stejn�m
znam�nkem a m�ly by se (nepatrn�) {\em odpuzovat}. Experiment n�m ov�em ��k�,
�e se {\em p�itahuj�}, a to takovou silou, �e je na n� mo�no zalo�it
konstrukci elektrick�ch stroj�. Kde se bere tato p�ita�liv� s�la?

\begin{figure}
\vspace*{5cm}
\centerline{obr. 4.20}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Line�rn� hustota n�boje prvn�ho vodi�e, j�m� prot�k� proud, bude $\tau -
\gamma ~\tau $. Ten bude p�sobit na nehybn� ionty druh�ho vodi�e silou na
jednotku d�lky
\begin{displaymath}
F_{l+}\;=\;\frac{(\tau -\gamma \tau )~\tau }{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;=\;
\frac{\tau^{2}~(1-\gamma )}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}
\end{displaymath}
Abychom ur�ili s�lu p�sob�c� na {\em pohybuj�c�} se elektrony druh�ho vodi�e,
mus�me p�ej�t do soustavy, v n� jsou tyto elektrony v klidu a pak
p�etranformovat v�sledek do laboratorn� soustavy:
\begin{displaymath}
F_{l-}\;=\;F'_{l-}\;=\;\frac{(\gamma ~\tau -\tau )~(-\tau)}{2\pi ~\varepsilon_{0}
~r}\;=\;\frac{\tau^{2}~(1-\gamma )}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;.
\end{displaymath}
S�la p�sob�c� v laboratorn� soustav� na ionty i elektrony druh�ho vodi�e je
tedy stejn�. V�sledn� s�la je pak rovna
\begin{displaymath}
F_{l}\;=\;2~\frac{\tau^{2}~(1-\gamma )}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;=\;
\frac{\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}~[~2~(1-\gamma )~-~(1-\gamma )^{2}~+~
(1-\gamma )^{2}~]\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}~[~(1-\gamma^{2})~+~(1-\gamma )^{2}~
]\;=\;-~\frac{\gamma^{2}~\tau^{2}~v^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}
~c^{2}~r}~+~\frac{(1-\gamma )^{2}\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;.
\end{displaymath}

Proto�e $\gamma \tau v~=~I$, p�edstavuje prvn� �len na prav� stran�
p�ita�livou s�lu o velikosti
\begin{displaymath}
F_{lm}\;=\;\frac{\mu_{0}~I^{2}}{2\pi ~r}\;.
\end{displaymath}
Tuto s�lu naz�v�me magnetickou a odpov�d� p�esn� Amp�rov� s�le (\ref{Ampd}).
STR tak vysv�tluje experiment�ln� fakt, �e se dva vodi�e prot�kan� souhlasn�mi
proudy p�itahuj� a naopak tento fakt je v�znamn�m potvrzen�m teorie
relativity. M��e p�itom p�ekvapovat, �e vlastn� cel� elektrotechnika je
zalo�ena na relativistick�ch efektech druh�ho ��du $v/c$, p�esto�e se ��stice
v�bec nepohybuj� relativistick�mi rychlostmi. Ve v�razu pro s�lu jsme
na�li je�t� druh� �len, kter� p�edstavuje slabou odpudivou elektrickou s�lu
\begin{displaymath}
F_{le}\;=\;\frac{(1-\gamma )^{2}~\tau^{2}}{2\pi ~\varepsilon_{0}~r}\;
\approx \;\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{\mu_{0}~I^{2}}{8\pi ~r}\;.
\end{displaymath}
Je tedy �tvrt�ho ��du $v/c$ vzhledem k elektrick�m sil�m, kter� by p�sobily,
kdyby n�boje ve vodi��ch nebyly vykompenzov�ny a druh�ho ��du vzhledem k
sil�m magnetick�m. M��eme ji samoz�ejm� zanedbat. \\

D�le uvedeme v�po�et magnetick� indukce a magnetick�ch sil p�sob�c�ch na
n�kter� symetrick� proudov� konfigurace.
\vspace*{3mm}

1. \underline{Magnetick� pole p��m�ho a rovinn�ho vodi�e} \\

M�jme nekone�n� p��m� vodi� prot�kan� proudem $I$. V�me, �e ve sv�m okol�
vytv��� magnetick� pole, jeho� vektor le�� v rovin� kolm� k vodi�i,
je te�n� ke kru�nic�m se st�edem na vodi�i a je orientov�n podle pravidla
pravoto�iv�ho �roubu. Velikost magnetick� indukce m��eme naj�t integrov�n�m
podle Biotova - Savartova z�kona. Pro �sek vodi�e kone�n� d�lky m�me
v�sledek (\ref{primv}), kter� pro nekone�n� vodi� p�ech�z� v (\ref{primn}).
Mohli bychom t� integrovat vektorov� potenci�l a podle analogie se skal�rn�m
potenci�lem p��mkov�ho n�boje bychom dostali
\begin{displaymath}
\vec A\;=\;-~\frac{\mu_{0}~I}{2\pi }~\ln r~~\vec x_{0}\;.
\end{displaymath}
Vektorov� potenci�l m��� ve sm�ru vodi�e a nen� ur�en jednozna�n�. Pomoc�
operace rotace bychom z n�ho op�t dostali v�raz pro magnetickou indukci.

Pro nekone�n� vodi� m��eme v�ak tak� pou��t Amp�r�v z�kon aplikovan� na
kru�nici obep�naj�c� vodi�. Pak dostaneme
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;2~\pi ~r~B\;=\;\mu_{0}~I\;,
\end{displaymath}
odkud okam�it� plyne (\ref{primn}).  \\

Je-li nekone�n� vodi� kone�n� tlou��ky R, potom pou�it�m Amp�rova z�kona
dostaneme cirkulaci magnetick� indukce pod�l kru�nice o polom�ru $r<R$
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;\mu_{0}~\pi r^{2}~j\;,
\end{displaymath}
odkud
\begin{displaymath}
B\;=\;\frac{\mu_{0}~j~r}{2}\;=\;\frac{\mu_{0}~I~r}{2\pi~R^{2}}.
\end{displaymath}
Magnetick� indukce uvnit� vodi�e s konstantn� proudovou hustotou $\vec j$
tedy z�vis� p��mo �m�rn� na polom�ru, jak je vid�t na obr. 4.21.  \\

Tak� k ur�en� magnetick�  indukce plo�n�ho proudu prot�kaj�ho po rovinn�
desce s line�rn� hustotou $\alpha $ lze pou��t Amp�rova z�kona. Vyjdeme z
p�edpokladu, �e vektor magnetick� indukce je rovnob�n� s deskou a kolm� ke
sm�ru proudu a zvol�me uzav�enou k�ivku jako na obr. 4.22.

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.21
\hspace*{6cm}
obr. 4.22
\vspace*{1cm}
\end{figure}

K cirkulaci z�ejm� p�isp�vaj� jen �seky rovnob�n� s deskou, tak�e
\begin{displaymath}
2~B~l\;=\;\mu_{0}~\alpha ~l,~~\hbox{odkud} ~~~B\;=\;\frac{\mu_{0}~\alpha }{2}
\;.
\end{displaymath}

\vspace*{3mm}

2. \underline{Magnetick� pole kruhov� smy�ky} \\

Ur��me magnetick� pole na ose kruhov� smy�ky prot�kan� proudem $I$ (v jin�ch
bodech prostoru je to obt�n�). P�itom zanedb�me pole proudu v p��vodech
ke smy�ce. Pou�ijeme Biotova - Savartova z�kona a budeme s��tat p��sp�vky
od dvojic protilehl�ch proudov�ch element� $I~d\vec l_{1}, ~~I~d\vec l_{2}$
na obr. 4.23. P��sp�vky takov�ch dvojic budou z�ejm� v�dy m��it ve sm�ru osy
$z$ v pravoto�iv�m sm�ru. Jejich velikost je
\begin{displaymath}
dB\;=\;2~\frac{\mu_{0}}{4\pi}~\frac{I~dl}{R^{2}}~\cos \theta ,~~~~~ \cos
\theta \;=\;\frac{r}{R}
\end{displaymath}
kde $r$ je polom�r smy�ky  a $R$ d�lka pr�vodi�e. Integrac� pod�l polokru�nice
dostaneme
\begin{displaymath}
B\;=\;\frac{\mu_{0}}{2\pi }~\frac{I~r}{R^{3}}~\int_{0}^{\pi r}~dl\;=\;
\frac{\mu_{0}~I}{2}~\frac{r^{2}}{(r^{2}~+~z^{2})^{3/2}}\;.
\end{displaymath}
Maxim�ln� hodnota magnetick� indukce je ve st�edu smy�ky ve v��ce $z=0$, a to
\begin{displaymath}
B(0)\;=\;\frac{\mu_{0}~I}{2~r}\;.
\end{displaymath}
Je zaj�mav� srovnat pr�b�h magnetick� indukce na ose na obr. 4.24 s pr�b�hem
intenzity elektrick�ho pole nabit� kru�nice na obr. 2.15.

\begin{figure}
\vspace*{10cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.23
\hspace*{6cm}
obr. 4.24
\vspace*{1cm}
\end{figure}

\vspace*{3mm}

3. \underline{Magnetick� pole solenoidu a toroidu} \\

Pod solenoidem rozum�me c�vku s hust� navinut�m dr�tem, j�m� prot�k� proud.
Nech� polom�r solenoidu je $r$ a d�lka $L$, celkov� po�et z�vit� $N$ a po�et
z�vit� na jednotku d�lky $n$. Potom m��eme rozd�lit solenoid na kr�tk� �seky
d�lky $dl$ a pova�ovat je za kruhov� proudy $n~I~dl$ (obr. 4.25).

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.25}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Abychom ur�ili magnetickou indukce kdekoli na ose solenoidu, sta�� se��st
p��sp�vky takov�ch kruhov�ch proud�. Je-li $l$ vzd�lenost bodu na ose
od kruhov�ho proudu a $\alpha $ �hel pod n�m�  je vid�t okraj kru�nice  z
bodu na ose a $R$ d�lka pr�vodi�e, plat� $l=r~\hbox{cotg}~\alpha,~~
dl=-r~d\alpha/\sin^{2}~\alpha, R=r/\sin ~\alpha $, a tedy
\begin{displaymath}
dB\;=\;\frac{\mu_{0}~I~n~dl}{2}~\frac{r^{2}}{R^{3}}\;=\;-~
\frac{\mu_{0}~I~n}{2}~\sin \alpha ~d\alpha ,~~~~~~\hbox{a}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
B\;=\;-~\frac{\mu_{0}~I~n}{2}~\int_{\alpha_{2}}^{\alpha_{1}}~\sin \alpha ~
d\alpha \;=\;\frac{\mu_{0}~I~n}{2}~(\cos ~\alpha_{1}\;-\;\cos \alpha_{2})\;.
\end{displaymath}

Pr�b�h indukce na ose kone�n�ho solenoidu vid�me na obr. 4.26; v centr�ln�
oblasti je konstantn�, na konc�ch se projevuj� okrajov� efekty a induk�n�
��ry se zak�ivuj�. Pokud z�vity nebudou hust� navinuty, bude pr�b�h pole
zvln�n. Solenoid m��eme pova�ovat t� za v�lcovou plochu, po jej�m� pl�ti
prot�k� plo�n� proud.

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.26}
\vspace{1cm}
\end{figure}

Je-li solenoid nekone�n�, dosad�me $\alpha_{1}=0,~~
\alpha_{2}=\pi $ a dostaneme
\begin{displaymath}
B\;=\;\mu_{0}~I~n
\end{displaymath}

Tent�� v�sledek bychom dostali z Amp�rova z�kona, kdybychom zvolili
obd�ln�kovou integra�n� k�ivku jako na obr. 4.27. Z d�vodu symetrie mus�
b�t pole rovnob�n� s osou, tak�e p���n� �seky 2 a 4 k cirkulaci nep�isp�vaj�.
Je-li �sek 1 na ose fixov�n, potom pole vn� solenoidu mus� b�t konstantn�.
M�n�me-li toti� k�ivku tak, �e posouv�me vn�j�� stranu 3 d�le od solenoidu,
obep�n� k�ivka st�le t�� proud $ILn$. Vn�j�� pole by ov�em muselo klesat
se vzd�lenost� od osy v�lce a tak nezb�v�, ne� aby bylo v�ude nulov�. Odtud
v�ak plyne, �e �sek 1 m��e b�t um�st�n nejen na ose, ale v libovoln�
vzd�lenosti od n� a v�dy dostaneme indukci $B=\mu_{0}In$. {\em Pole uvnit�
nekone�n�ho solenoidu je homogenn�!}.

\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.27
\hspace*{6cm}
obr. 4.28
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Toroid m��eme pova�ovat za solenoid sto�en� do prstence. M� v�hodu, �e se u
n�ho neprojevuj� okrajov� efekty a nev�hodu, �e pole u� nen� homogenn�.
Jsou-li vnit�n� a vn�j�� polom�r toroidu $R_{1},~R_{2}$, bude podle Amp�rova
z�kona pole v toroidu na kru�nici o polom�ru $r$ d�no z $2\pi rB=\mu_{0}IN$
jako
\begin{displaymath}
B\;=\;\frac{\mu_{0}~I~N}{2\pi ~r}\;.
\end{displaymath}

Je-li toroid tenk� a rozd�l mezi jeho vnit�n�m a vn�j��m polom�rem mal�, bude
v n�m pole p�ibli�n� homogenn� a rovn� poli solenoidu. Odvozen� v�sledky pro
solenoid a toroid nez�visej� na tvaru jejich pr��ezu.

\vspace*{3mm}

3. \underline{S�la a moment s�ly p�sob�c� na proudovou smy�ku v magnetick�m
poli} \\

Na rovinnou proudovou smy�ku $l$ plochy $\Delta S$ prot�kanou proudem $I$
p�sob� v magnetick�m poli s�la $\vec F$ a moment s�ly $\vec M$
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;I~\oint_{l}~d\vec l~\times ~\vec B,~~~~~\vec M\;=\;\oint_{l}~
\vec r\times d\vec F\;=\;I~\oint_{l}~\vec r\times (~d\vec l\times \vec B~)\;.
\end{displaymath}
Vyn�sob�me-li integr�l pro s�lu skal�rn� konstantn�m vektorem $\vec c$,
dostaneme
\begin{displaymath}
\vec c~\cdot ~\oint_{l}~d\vec l\times \vec B\;=\;-~\oint_{l}~(~\vec c\times
\vec B~)~\cdot ~d\vec l\;=\;-~\int_{\Delta S}~\hbox{rot}~(~\vec c\times \vec B
~)~\cdot ~d\vec S\;=\;\int_{\Delta S}~(~\vec c~\nabla~)~\vec B~\cdot ~d\vec S\;,
\end{displaymath}
Budou-li se parci�ln� derivace $\vec B$ v plo�e smy�ky m�lo m�nit (nap��klad
bude-li smy�ka mal�) a zavedeme-li Amp�r�v magnetick� moment smy�ky $\vec m=
I\Delta \vec S$, dostaneme
\begin{displaymath}
\vec c~\cdot ~\vec F\;=\;\vec m~\cdot ~(~\vec c~\nabla ~)~\vec B\;.
\end{displaymath}
Proto�e rotace $\vec B$ v plo�e smy�ky je nulov�, plat�
\begin{displaymath}
\vec m~\cdot ~(~\vec c~\nabla ~)~\vec B\;=\;\vec c~\cdot ~(~\vec m~\nabla ~)~
\vec B\;.
\end{displaymath}
Na smy�ku proto p�sob� s�la
\begin{displaymath}
\vec F\;=\;(~\vec m~\nabla ~)~\vec B\;=\;\nabla ~(~\vec m~\cdot ~\vec B~)\;,
\end{displaymath}
analogick� s�le p�sob�c� na elektrick� dip�l v nehomogenn�m elektrick�m poli
(2.39).

Bude-li magnetick� pole homogenn�, budou derivace $\vec B$ nulov� a v�sledn�
s�la bude nulov�. Budou v�ak p�sobit s�ly, kter� se budou sna�it smy�ku
deformovat. \\


Pokud jde o moment s�ly, bude p�sobit i v homogenn�m poli. M�me
\begin{displaymath}
\vec M\;=\;I~\oint_{l}~\vec r\times (~d\vec l\times \vec B~)\;=\;I~\oint_{l}~
(\vec B~\cdot ~\vec r~)~d\vec l\;-\;I\oint_{l}~\vec B~(~\vec r`\cdot ~d\vec l~)\;.
\end{displaymath}
Druh� integr�l je roven nule (vytkneme konstantn� $\vec B$ a pou�ijeme
Stokesovu v�tu). Prvn� integr�l op�t vyn�sob�me skal�rn� konstantn�m vektorem
$\vec c$:
\begin{displaymath}
\vec c~\cdot ~\oint_{l}~(~\vec B~\cdot ~\vec r)~d\vec l\;=\;\int_{\Delta S}~
\hbox{rot}~[~(~\vec B~\cdot ~\vec r~)~\vec c~]~\cdot ~d\vec S\;=\;-~
\int_{\Delta S}~[~\vec c\times \hbox{grad}~(~\vec B~\cdot ~\vec r~)~]~\cdot ~
d\vec S\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;-~\int_{\Delta S}~(~\vec c\times \vec B~)~\cdot ~d\vec S\;=\;
-\vec c~\cdot ~\int_{\Delta S}~\vec B\times d\vec S\;,
\end{displaymath}
a tedy
\begin{displaymath}
\vec M\;=\;-~I~\int_{\Delta S}~\vec B\times d\vec S\;=\;-~I~\vec B\times
\int_{\Delta S}~d\vec S\;=\;I~\Delta \vec S\times \vec B\;=\;\vec m\times
\vec B\;,
\end{displaymath}
Moment s�ly je op�t analogick� momentu (2.37) p�sob�c�mu na elektrick� dip�l
v elektrick�m poli a sna�� se nato�it proudovou smy�ku tak, aby jej� vlastn�
magnetick� pole bylo souhlasn� rovnob�n� s vn�j��m polem $\vec B$.

\vspace*{2cm} {\bf\Large 3. Magnetick� dip�l a vektor magnetizace}
\vspace*{1cm}

Podobn� jako jsme zkoumali elektrick� pole n�boje obecn� rozlo�en�ho v objemu
$V$ m��eme zkoumat i magnetick� pole mal�ho proudov�ho objemu nebo mal�
smy�ky na velk�ch vzd�lenostech. M�jme objem $V$, v n�m� se uzav�raj�
proudy s rozlo�en� s hustotou $\vec j$. V teorii elektromagnetick�ho pole
se ukazuje, �e vektorov� potenci�l na vzd�lenostech mnohem v�t��ch ne� jsou
rozm�ry tohoto objemu m��eme op�t jednozna�n� rozlo�it do �ady magnetick�ch
multip�l� jako
\begin{equation} \label{mrozv}
\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{V}~\frac{\vec j~dV}{R}\;=\;
\frac{\mu_{0}}{4\pi r}~\int_{V}~\vec j~dV\;+\;\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}~
\vec m\times \vec r\;+\;\cdots\;,
\end{equation}
kde
\begin{equation} \label{Mdi}
\vec m\;=\;\frac{1}{2}~\int_{V}~(~\vec r'\times \vec j~)~dV \;.
\end{equation}
Zde op�t $\vec R$ p�edstavuje vektor pr�vodi�e, $\vec r$ je polohov� vektor
bodu, v n�m� potenci�l ur�ujeme a $\vec r'$ prob�h� objem $V$. Prvn� �len v
rozvoji (\ref{mrozv}) je roven nule, vzhledem k tomu, �e proudy jsou v objemu
uzav�eny a tento fakt vyjad�uje neexistenci magnetick�ho monop�lu. Druh�
�len je p��sp�vek magnetick�ho dip�lu, p�i�em� {\em magnetick� dip�lov�
moment} je definov�n vztahem (\ref{Mdi}). Vy��� magnetick� multip�ly jsou
m�n� v�znamn�. \\

Oby�ejn� pod magnetick�m dip�lem rozum�me malou (a proto rovinnou)
proudovou smy�ku plochy $\Delta S$ prot�kanou proudem $I$. Zvol�me-li po��tek
sou�adnic uvnit� plochy t�to smy�ky, p�ejde definice dip�lov�ho momentu na
\begin{equation} \label{mdi}
\vec m\;=\;\frac{1}{2}~\int_{V}~(\vec r'\times \vec j~)~dV\;=\;\frac{1}{2}
~I~\int_{l}~\vec r'\times d\vec l\;=\;I~\Delta ~\vec S\;.
\end{equation}

Vektorov� potenci�l magnetick�ho dip�lu m��eme dostat tak� p��mo integrac�
pod�l smy�ky s pou�it�m v�ty (M.47):
\begin{displaymath}
\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\oint_{l}~\frac{d\vec l}{R}\;=\;-\;
\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{\Delta S}~\nabla~\left( \frac{1}{R}\right)
\times d\vec S\;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~\int_{\Delta S}~
\frac{d\vec S\times \vec R}{R^{3}}\;\approx \;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~I~
\frac{\Delta S\times \vec r}{r^{3}}\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~
\frac{\vec m\times \vec r}{r^{3}}\;.
\end{displaymath}
\\

Magnetickou indukci dip�lu najdeme jako
\begin{equation} \label{indd}
\vec B\;=\;\hbox{rot}~\vec A\;=\;-~\frac{\mu_{0}}{4\pi }~(~\vec m~\nabla ~)~
\frac{\vec r}{r^{3}}\;=\;-~\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\nabla ~\frac{\vec m~\cdot ~
\vec r}{r^{3}}\;.
\end{equation}
Tento v�raz m� matematicky stejn� tvar jako v�raz pro gradient potenci�lu
elektrick�ho dip�lu (2.31), a proto m��eme magnetickou indukci ps�t podle
(2.33) jako
\begin{equation} \label{inmi}
\vec B\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\left[
\frac{3~(\vec m~\cdot ~\vec r~)~\vec r}{r^{5}}
~-~\frac{\vec m}{r^{3}}~\right] \;.
\end{equation}

Pr�b�h silo�ar elektrick�ho a magnetick�ho dip�lu na velk�ch vzd�lenostech
je skute�n� shodn�, jak je vid�t z obr. 4.29. \footnote{Magnetick� dip�lov�
moment definovan� vztahem (\ref{mdi}) se naz�v�
{\em Amp�r�v} nebo proudov�. Vedle toho lze form�ln� definovat takzvan�
{\em Coulomb�v magnetick� moment} s pou�it�m p�edstavy o magnetick�m n�boji a
Coulombova z�kona pro magnetick� s�ly mezi dv�ma p�ly dlouh�ch ty�ov�ch
magnet�:
\begin{displaymath}
F\;=\;\frac{1}{4\pi ~\mu_{0}}~\frac{q_{m1}~q_{m2}}{r^{2}}\;.
\end{displaymath}
Jsou-li severn� a ji�n� magnetick� p�l pak odd�leny vektorem $\vec l$, bude
Coulomb�v magnetick� moment $\vec m_{C}=q_{m}~\vec l$. Uk�e se, �e jeho vztah
k Amp�rovu magnetick�mu momentu je prost� $\vec m_{C}=\mu_{0}~\vec m$.}

\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\centerline{obr. 4.29}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Magnetick� dip�l, jeho� pole je d�no p�esn� vztahem (\ref{indd}) naz�v�me
podobn� jako u elektrick�ho dip�lu bodov�m, tj. zanedb�v�me rozm�ry smy�ky
Vzhledem k form�ln� shodnosti s polem elektrick�ho dip�lu m��eme p�evz�t i
vztahy pro s�lu, moment silov� dvojice a energii magnetick�ho dip�lu ve
vn�j��m magnetick�m poli:
\begin{equation} \label{silen}
\vec F\;=\;(\vec m\nabla )~\vec B,~~~\vec D\;=\;\vec m\times \vec B,~~~
W\;=\;-~\vec m~\cdot ~\vec B\;.
\end{equation}

Silov� moment se sna�� nat��et magnetick� dip�l do sm�ru pole a nehomogenn�
magnetick� pole pak vtahuje takto orientovan� dip�l do oblast siln�j��ho
pole, kde je v�t�� hustota induk�n�ch �ar. Existuje v�ak jeden podstatn�
rozd�l od chov�n� elektrick�ch dip�l�, kter� m� vztah k elektromagnetick�
indukci. Je-li magetick� dip�l {\em indukov�n} vn�j��m polem, je orientov�n
{\em proti sm�ru pole} (!), jak uvid�me pozd�ji. Takov� dip�l je pak z oblasti
siln�j��ho pole {\em vytla�ov�n}. \\

Ob�h�-li nabit� ��stice hmotnosti $m$ a n�boje $q$ rovnom�rn� po kru�nici,
vytv��� smy�kov� proud $I=qv/2\pi r$ a jej� magnetick� dip�lov� moment
(budeme ho pro tuto chv�li ozna�ovat $\mu $) m� velikost
\begin{equation} \label{cast}
\mu \;=\;I~\Delta S\;=\;\frac{q~v}{2\pi ~r}~\pi ~r^{2}\;=\;\frac{1}{2}~
q~r~v\;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}~m~v\;=\;\gamma l\;.
\end{equation}

Zde $l$ p�edstavuje velikost momentu hybnosti ��stice a $\gamma $ naz�v�me
{\em gyromagnetick� pom�r}:
\begin{equation} \label{gyro}
\gamma \;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}\;=\;\frac{\mu }{l}\;.
\end{equation}
Magnetick� moment a moment hybnosti jsou tedy spolu v�z�ny. Z kvantov�
mechaniky je zn�mo, �e moment hybnosti orbit�ln�ho pohybu elektronu v atomu
je kvantov�n a jeho projekce v dan�m sm�ru m��e nab�vat jen n�sobk�
nejmen�� hodnoty Planckovy konstanty $\hbar = 1,054.10^{-34} \hbox{J.s}$.
Proto i magnetick� orbit�ln� moment elektronu je kvantov�n a m��e nab�vat
pouze cel�ch n�sobk� hodnoty
\begin{equation} \label{Bohr}
\mu_{B}\;=\;\frac{1}{2}~\frac{e}{m_{e}}~\hbar \;=\;9,273.10^{-24}~
\hbox{A.m}^{2}\;.
\end{equation}

Tato hodnota se naz�v� {\em Bohr�v magneton} a ukazuje na ��dovou velikost
magnetick�ch dip�lov�ch moment� atom�. V roce 1915 provedli A. Einstein a
W.J.de Haas zn�m� {\em Einstein�v - de Haas�v} experiment k ur�en�
gyromagnetick�ho pom�ru ��stic magnetika. Zav�s�me-li ferromagnetick� v�lec
ve vn�j��m magnetick�m poli a zm�n�me n�hle polaritu tohoto pole, mus� se
v�lec pooto�it, proto�e se zm�n� jeho moment hybnosti.

T�mto zp�sobem byl
zm��en gyromagnetick� pom�r elektron�, kter� se v�ak uk�zal b�t roven
$\gamma =e/m_{e}$ a nikoli (\ref{gyro}) ! Pozd�ji se vyjasnilo, �e
ferromagnetismus nen� vyvol�n orbit�ln�m pohybem elektron�, ale jejich
spiny, vlastn�mi momenty hybnosti, kter� nesouvisej� s pohybem elektron�
v prostoru. Jejich nejmen�� hodnota je pak $\hbar /2$, tak�e vlastn�
magnetick� dip�lov� moment elektronu je op�t roven Bohrov� magnetonu.
P�esn�j�� v�po�et na z�klad� kvantov� elektrodynamiky d�v� v p�ekvapiv�m
souhlase s experimentem hodnotu $\mu_{e}=1,00116~\mu_{B}$.

Jadern� ��stice, protony a neutrony, maj� tak� sv� magnetick� dip�lov�
momenty, kter� se vyjad�uj� v {\em jadern�ch magnetonech}
\begin{equation} \label{jadm}
\mu_{N}\;=\;\frac{m_{e}}{m_{p}}~\mu_{B}\;=\;5,051.10^{-27}~\hbox{A.m}^{2}\;.
\end{equation}
Magnetick� moment protonu a neutronu nen� roven cel�mu n�sobku jadern�ho
magnetonu, ale $\mu_{p}=2,792~\mu_{N},~~~\mu_{n}=-1,913~\mu_{N}$. \\

M�jme nabit� t�leso n�boje $Q$, hmotnosti $M$, momentu hybnosti $\vec L$ a
momentu setrva�nosti $I$ rotuj�c� s �hlovou rychlost� $\vec \Omega $. Jeho
magnetick� dip�lov� moment je
\begin{equation} \label{teles}
\mu \;=\;\gamma ~L\;=\;\gamma ~I~\Omega \;=\;\frac{1}{2}~\frac{Q}{M}~
I~\Omega \;.
\end{equation}
Zn�me-li tedy momenty setrva�nosti t�les, m��eme p��mo ur�it jejich
magnetick� momenty. Nap��klad rotuj�c� prostorov� nabit� koule o momentu
setrva�nosti $I=\frac{2}{5}MR^{2}$ bude m�t magnetick� dip�lov� moment
\begin{equation} \label{magko}
\mu \;=\;\frac{1}{5}~Q~\Omega ~R^{2}\;.
\end{equation}
Pro povrchov� nabitou kouli bude v (\ref{magko}) koeficient 1/3, pro objemov�
nabit� v�lec 1/4 atd. \\

Pro studium magnetick�ch vlastnost� l�tek je d�le�it� zn�t velikosti a
chov�n� magnetick�ch moment� atom� a molekul. Vedle vlastn�ch magnetick�ch
moment� atom�, kter� jsou ��dov� rovny Bohrovu magnetonu, vznikaj� po
vlo�en� l�tky do vn�j��ho magnetick�ho pole momenty indukovan�. Magnetick�
pole bude na vlastn� momenty p�sobit silov�m momentem, kter� vyvol� zm�nu
momentu hybnosti:
\begin{displaymath}
\frac{d\vec l}{dt}=\vec \mu \times \vec B\;.
\end{displaymath}
Pomoc� gyromagnetick�ho pom�ru m��eme tuto rovnici p�epsat na
\begin{equation} \label{Larm}
\frac{d\vec \mu }{dt}\;=\;\gamma ~(\vec \mu \times \vec B)\;.
\end{equation}
Tato rovnice popisuje precesn� pohyb vektoru magnetick�ho dip�lov�ho momentu
kolem sm�ru vn�j��ho magnetick�ho pole s �hlovou frekvenc�
\begin{equation} \label{Larmf}
\vec \omega_{L}\;=\;-~\gamma ~\vec B
\end{equation}
(takzvan� {\em Larmorova frekvence}). Precese zmen�� st�edn� hodnotu
momentu hybnosti a t�m i magnetick�ho momentu ��stice. Kon�-li nap��klad
elektron kruhov� pohyb v rovin� sv�raj�c� se sm�rem magnetick�ho pole ur�it�
�hel a je-li $<\rho^{2}>$ st�edn� kvadratick� polom�r pr�m�tu dr�hy do roviny
kolm� ke sm�ru pole, zmen�� se d�ky Larmorov� precesi moment hybnosti o
$\Delta l_{L}=m_{e}<\rho^{2}>\omega_{L}$. To je ekvivalentn� vzniku
indukovan�ho magnetick�ho momentu
\begin{equation} \label{indm}
\vec \mu_{ind}\;=\;\gamma \Delta \vec l_{L}\;=\;-~\frac{e^{2}}{4m_{e}}<\rho^{2}>
\vec B\;=\;-\beta \vec B.
\end{equation}
Tento v�raz m��eme srovnat s indukovan�m elektrick�m dip�lov�m momentem (2.40).
V atomu se $Z$ elektrony mus�me ov�em jednotliv� momenty s��tat. Pro kulov�
symetrick� atom oby�ejn� uv�d�me st�edn� kvadratickou hodnotu polom�ru dr�hy
elektron� $<r_{0}^{2}>$ a pak dost�v�me indukovan� moment atomu jako
\begin{equation} \label{inda}
\vec \mu_{indA}\;=\;-~\frac{e^{2}~Z<r_{0}^{2}>}{6m_{e}}~\vec B\;.
\end{equation}
Hodnota $<\rho_{0}^{2}>$, kterou je t�eba ov�em ur�ovat metodami kvantov�
fyziky, je ��dov� rovna rozm�ru atomu, $10^{-10}$~m. \\

Podobn� jako u elektrick�ch dip�l� m��eme uva�ovat spojit� prostorov� �i
plo�n� rozlo�en� magnetick�ch dip�l�. Jsou-li v n�jak�m objemu magnetick�
dip�lov� momenty o koncentraci $N$ v�echny souhlasn� orientov�ny, m��eme
zav�st vektor $\vec M~=~N~\vec m$, kter� naz�v�me {\em vektorem magnetizace}.
Ten obecn� (tj. i kdy� momenty nejsou v�echny stejn� orientov�ny)
p�edstavuje magnetick� dip�lov� moment jednotky objemu. \footnote{Nahrad�me-li
Amp�r�v magnetick� moment momentem Coulombov�m, naz�v�me vektor $\vec P_{m}=
N\vec m_{C}$ {\em vektorem magnetick� polarizace}}. Objem s nenulov�m vektorem
magnetizace naz�v�me {\em magnetizovan�m}. Magnetizace se z�ejm� m��� v
jednotk�ch amp�r na metr.

\begin{figure}
\vspace*{4cm}

\centerline{obr. 4.30}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Ur��me vektorov� potenci�l magnetick�ho pole buzen�ho v bod� o polohov�m
vektoru $\vec r$ magnetizovan�m objemem s vektorem magnetizace
$\vec M(\vec r')$:
\vspace*{3mm}

\begin{displaymath}
\vec A\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\int_{V}~
\frac{\vec M(\vec r')\times \vec R}{R^{3}}~dV\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }\left[
~-~\int_{V}~\hbox{rot}'~\left( ~\frac{\vec M(\vec r')}{R}~\right)~dV\;+\;
\int_{V}~\frac{\hbox{rot}'~\vec M(\vec r')}{R}~dV~\right] \;=
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~\left[ \oint_{S}~
\frac{\vec M(\vec r')\times d\vec S}{R}\;+\;\int_{V}~
\frac{\hbox{rot}'~\vec M(\vec r')}{R}~dV~\right] \;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi }~
\left[ \oint_{S}~\frac{\vec \alpha_{m}(\vec r')~dS}{R}\;+\;\int_{V}~
\frac{\vec j_{m}(\vec r')~dV}{R}~\right] \;,
\end{displaymath}
\vspace*{3mm}
kde pod rot' se rozum� rotace derivovan� podle prom�nn� $\vec r'$. V�sledn�
potenci�l je tedy ekvivalentn� potenci�lu pole buzen�ho plo�n�m proudem
hustoty $\vec \alpha_{m}$ v�zan�m na povrch t�lesa a objemov�m proudem hustoty
$\vec j_{m}$ v�zan�m uvnit� t�lesa (tzv. magnetiza�n� proudy), kde
\begin{equation} \label{magpr}
\vec \alpha_{m}\;=\;\vec M\times \vec n,~~~~~~\vec j_{m}\;=\;\hbox{rot}~\vec M
\end{equation}
($\vec n$ je jednotkov� vektor norm�ly k povrchu t�lesa).

Magnetizovan� objem se tedy chov� jako ur�it� ekvivalentn� rozd�len� plo�n�ch
a objemov�ch proud�. Je-li v dan�m objemu vektor magnetizace konstantn�, bude
takov� objem vytv��et pole toto�n� s polem plo�n�ho proudu na povrchu. M�jme
nap��klad objem ve tvaru kolm�ho v�lce s vektorem magnetizace rovnob�n�m
s osou. Pro dostate�n� dlouh� v�lec bude pole vn� nulov� a pole uvnit� bude
polem solenoidu (obr. 4.30)
\begin{equation} \label{solm}
B\;=\;\mu_{0}~\alpha \;=\;\mu_{0}~M\;.
\end{equation}
N�zorn� je to vid�t na obr. 4.31. Smy�kov� proudy dip�l� se uvnit� v�lce
vyru�� a z�stane pouze obvodov� proud.


\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.31
\hspace*{6cm}
obr. 4.32
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Zvolme nyn� v�lec podstavy $S$ a mal� v��ky $\Delta h$ (obr.4.32).
Jeho celkov� magnetick� moment bude roven
\begin{equation}
\vec m_{0}\;=\;\vec M~S~\Delta h\;=\;\vec m_{s}~S\;,
\end{equation}
kde $\vec m_{s}$ p�edstavuje plo�nou hustotu magnetick�ch dip�l�. Takov�
nekone�n� tenk� v�lcov� vrstva p�edstavuje vlastn� rovinnou {\em magnetickou
dvojvrstvu} a je ekvivalentn� smy�kov�mu proudu $I$, kter� vytv��� magnetick�
moment $m_{0}=I~S$. Velikost plo�n� hustoty Amp�rov�ch magnetick�ch
moment� je tedy rovna $m_{s}=I$, Coulombov�ch moment� $m_{Cs}=\mu_{0}I$.


\vspace*{2cm} {\bf\Large 4. Magnetika v magnetick�m poli}
\vspace*{1cm}

Magnetika budeme pova�ovat za t�lesa tvo�en� element�rn�mi magnetick�mi
dip�ly; tyto dip�ly mohou b�t jak vlastn�, tak indukovan�. Vedle voln�ch
proud� o hustot� $\vec j$ mus�me v magnetiku tedy uva�ovat i v�zan�,
nagnetiza�n� proudy s hustotou (\ref{magpr}). M��eme tedy ps�t Maxwellovu
rovnici
\begin{displaymath}
\hbox{rot}~\vec B\;=\;\mu_{0}~(~\vec j\;+\;\vec j_{m}~)\;=\;\mu_{0}~(~\vec j\;
+\;\hbox{rot}~M~)\;.
\end{displaymath}
D�l�me-li tuto rovnici $\mu_{0}$, p�evedeme $\hbox{rot}~M$ na levou stranu
a zavedeme vektor
\begin{equation} \label{H}
\vec H\;=\;\frac{1}{\mu_{0}}~\vec B\;-\;\vec M\;,
\end{equation}
m��eme zapsat soustavu Maxwellov�ch rovnic pro stacion�rn� magnetick� pole
v magnetiku jako
\begin{equation} \label{Maxma}
\hbox{div}~\vec B\;=\;0\;,~~~~~\hbox{rot}~\vec H\;=\;\vec j\;.
\end{equation}

��elnost zaveden� vektoru $\vec H$, kter� naz�v�me {\em vektorem intenzity
magnetick�ho pole}, je v tom, �e se pak m��eme omezit pouze na zad�n� proudov�
hustoty {\em voln�ch} proud� (kter� se daj� m��it amp�rmetrem); vlastnosti
v�zan�ch magnetiza�n�ch proud� jsou ji� ve vektoru $\vec H$ obsa�eny.

Tak Amp�r�v z�kon pro cirkulaci intenzity magnetick�ho pole bude zn�t
\begin{equation} \label{Amph}
\oint_{l}~\vec H~\cdot ~d\vec l\;=\;\int_{S}\vec j~\cdot ~d\vec S\;=\;I\;,
\end{equation}
kde $I$ je voln� proud. Podle analogie s elektrick�m polem naz�v�me tuto
cirkulaci {\em magnetomotorick�m nap�t�m}  ${\cal E}_{m} = I$.

Je z�ejm�, �e na hranici dvou magnetik, tj. na plo�e, kde jsou pouze v�zan�
proudy, budou te�n� slo�ky vektoru intenzity magnetick�ho pole spojit� na
rozd�l od slo�ek magnetick� indukce, kter� zde maj� skok $\mu_{0}\alpha $.
Naproti tomu vektor intenzity magnetick�ho pole nem� tak obecn� v�znam jako
vektor magnetick� indukce, kter� ud�v� silov� p�soben� mezi proudy. Nem��eme
tak� nap��klad udat obecn� vztah pro divergenci $\vec H$.

Soustava rovnic (\ref{Maxma}) nem� pln� ur�en� �e�en� a bylo by ji t�eba
je�t� doplnit o vztah mezi vektory $\vec H$ a $\vec B$. Z definice je patrno,
�e tyto vektory nemus� m�t obecn� ani stejn� sm�r. Vektor $\vec M$ m��e b�t
konstantn�, nez�visl� na vn�j��m magnetick�m poli. Takov� magnetika naz�v�me
{\em ide�ln� tvrd�mi} a jsou vhodn� k vytv��en� permanentn�ch magnet�.

V�t�ina magnetik se v�ak magnetizuje teprve pod vlivem vn�j��ho magetick�ho
pole. Pokud atomy magnetika maj� vlastn� magnetick� dip�lov� momenty (takov�m
��k�me {\em paramagnetika}), budou se tyto dip�ly ve vn�j��m magnetick�m poli
nat��et ve sm�ru pole. Mluv�me o tzv. orienta�n� magnetizaci. Pokud atomy
vlastn� momenty nemaj�, budou se v magnetick�m poli indukovat. Takov� l�tky
naz�v�me {\em diamagnetika}. Jak jsme se ji� zmi�ovali, indukovan� momenty
budou orientov�ny proti sm�ru vn�j��ho magnetick�ho pole a budou ho oslabovat.
Diamagnetismus je univerz�ln� vlastnost� v�ech l�tek, ov�em u paramagnetik
je p�ekryt magnetick�m polem vlastn�ch dip�l�, kter� jsou orientov�ny ve
sm�ru vn�j��ho pole a zesiluj� ho. V obou p��padech m��eme o�ek�vat, �e pro
nep��li� siln� pole bude vektor magnetizace �m�rn� intenzit� magnetick�ho pole
({\em ide�ln� m�kk�} magnetika). Potom
\begin{equation} \label{susc}
\vec M\;=\;\kappa ~\vec H\;.
\end{equation}
Konstantu �m�rnosti $\kappa $ naz�v�me {\em magnetickou susceptibilitou.}

Pro dostate�n� siln� pole pozorujeme u n�kter�ch magnetik (naz�van�ch
{\em feromagnetika} jev hystereze. Je obdobn� jevu hystereze u feroelektrik a
mohli bychom nakreslit hysterezn� k�ivku analogickou k�ivce na obr. 2.32
pro z�vislost $M$ na $H$. Na obr. 4.33 vid�me hysterezn� smy�ku feromagnetika
pro dv� r�zn� hodnoty maxim�ln� magnetizace $M_{m}$.

\begin{figure}
\vspace*{7cm}

\centerline{obr. 4.33}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Z po��tku vych�z� op�t "panensk� k�ivka" prvotn�ho magnetov�n�, kter� se
postupn� bl�� nasycen� hodnot� $M_{s}$. P�i zp�tn�m magnetov�n� z�st�v� i
p�i nulov�m vn�j��m poli {\em  remanentn� magnetizace} $M_{r}$, ke zru�en�
magnetizace je t�eba {\em koercitivn�ho pole} $H_{c}$. Hodnota nasycen�
(t� {\em spont�nn�}) magnetizace je d�le�itou charakteristikou feromagnetika
a nap��klad pro �ist� �elezo p�i pokojov� teplot� se ud�v� $\mu_{0}M_{s}=
2,15 ~\hbox{Wb.m}^{-2}$. Feromagnetika s vysokou hodnotou koercitivn�ho pole
($>10^{3}~\hbox{A.m}^{-1}$) a velkou remanentn� magnetizac� (�irokou hysterezn�
k�ivkou) se naz�vaj� {\em magneticky tvrd�} a hod� se pro konstrukci
permanentn�ch magnet�. Naopak materi�ly s �zkou hysterezn� k�ivkou ($H_{c}<
100~\hbox{A.m}^{-1}$) jsou {\em magneticky m�kk�} a pou��vaj� se v za��zen�ch
s prom�nn�m magnetick�m polem. K nim pat�� nap��klad pou��van� ocel Aramco.\\

Vra�me se k p�edpokladu, �e mezi magnetizac� a intenzitou pole plat� vztah
p��m� �m�rnosti. Potom m��eme ps�t
\begin{equation} \label{BH}
\vec B\;=\;\mu_{0}~(~\vec H\;+\;\vec M~)\;=\;\mu_{0}~(~\vec H\;+\;\kappa
~\vec H~)\;=\;\mu_{0}(~1\;+\;\kappa ~)~\vec H\;=\;\mu_{0}\mu_{r}~\vec H\;=\;
\mu ~\vec H\;.
\end{equation}

Vektor magnetick� indukce je tedy �m�rn� vektoru intenzity magnetick�ho pole
s koeficientem �m�rnosti $\mu $, kter� naz�v�me {\em absolutn� permeabilitou}
magnetika. V soustav� jednotek SI, kde byla form�ln� zavedena rozm�rn�
konstanta $\mu_{0}$, naz�van� permeabilitou vakua, je absolutn� permeabilita
sou�inem t�to konstanty a bezrozm�rn� tzv. {\em relativn� permeability}
magnetika $\mu_{r}$. Pokud vektory magnetick� indukce a intenzity pole nemaj�
t�� sm�r (nap��klad v krystalech nebo jin�ch magneticky anizotropn�ch
materi�lech), bude m�t permeabilita charakter tenzoru a dostaneme
\begin{equation} \label{tenz}
B_{i}\;=\;\mu_{ik}~H_{k}\;.
\end{equation}
Veli�ina intenzita magnetick�ho pole m� v soustav� SI rozm�r [H]=
$\hbox{L}^{-1}$I a m��� se v amp�rech na metr. Jej� cirkulace
(magnetomotorick� nap�t�) se m��� v amp�rech, p��padn� amp�rz�vitech, je-li
cirkulace br�na v�cen�sobn�.\\

Podle (\ref{BH}) plat� mezi relativn� permeabilitou a magnetickou
susceptibilitou vztah
\begin{equation} \label{persu}
\mu_{r}\;=\;1\;+\;\kappa \;.
\end{equation}
Proto�e magnetick� susceptibilita m��e b�t kladn� i z�porn�, je relativn�
permeabilita v�t�� nebo men�� ne� 1.\\

Relativn� permeabilita magnetika je d�le�itou makroskopickou charakteristikou
jeho magnetick�ch vlastnost�. Vlo��me-li magnetikum do homogenn�ho magnetick�ho
pole v solenoidu, p�i�te se jeho pole $\vec B_{m}=\mu_{0}\vec M$ k
magnetick�mu poli $\vec B_{0}$ buzen�mu voln�mi proudy v c�vce. Pro v�sledn�
pole a magnetizaci m��eme ps�t
\begin{equation} \label{mama}
\vec B\;=\;\vec B_{0}\;+\;\mu_{0}~\vec M\;,~~~~~\vec M\;=\;(~\mu_{r}\;-1~)
\vec H\;.
\end{equation}
Vyj�d��me-li odtud v�sledn� pole a magnetizaci v z�vislosti na p�vodn�m poli
ve vakuu, dostaneme
\begin{equation} \label{indin}
\vec B\;=\;\mu_{r}~\vec B_{0}\;,~~~~~\vec M\;=\;\frac{\mu_{r}-1}{\mu_{0}}~
\vec B_{0}\;.
\end{equation}

Odtud je z�ejmo, �e magnetick� pole v magnetiku je zesilov�no (p��padn�
zeslabov�no, je-li relativn� permeabilita men�� ne� 1) $\mu_{r}$-kr�t.
V p��pad� nehomogenn�ho pole m��eme vz�t v�dy dostate�n� mal� objem, v n�m�
lze pole pova�ovat za homogenn� a vz�t lok�ln� hodnotu relativn� permeability.
Tak m��eme pou��t dosud odvozen� vztahy pro magnetick� silov� p�soben� ve
vakuu a form�ln� v n�m vyn�sobit permeabilitu vakua $\mu_{r}$. Energie
magnetick�ho pole v ide�ln� m�kk�m magnetiku bude pak
\begin{equation} \label{enm}
w_{m}\;=\;\frac{B^{2}}{2\mu_{r}\mu_{0}}\;=\;\frac{\vec H\cdot \vec B}{2}\;.
\end{equation}

Z vlastnost� vektor� $\vec H,~\vec B$ plynou t� podm�nky pro zm�nu jejich
slo�ek na rozhran� dvou magnetik o permeabilit�ch $\mu_{1},~\mu_{2}$. Na
tomto rozhran� jsou plo�n� rozlo�eny pouze v�zan� proudy, tak�e te�n� slo�ky
$\vec H$ jsou spojit�. Spojit�mi z�st�vaj� i norm�lov� slo�ky $\vec B$ (obr.
4.34), tak�e m�me
\begin{equation} \label{rozh}
H_{1t}\;=\;H_{2t}\;,~~~~~\mu_{1}~H_{1n}\;=\;\mu_{2}~H_{2n}\;.
\end{equation}

\begin{figure}
\vspace*{7cm}

\centerline{obr. 4.34}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

D�len�m t�chto vztah� dost�v�me
\begin{equation} \label{Snelm}
\frac{\hbox{tg}~\theta_{1}}{\hbox{tg}~\theta{2}}\;=\;\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}\;.
\end{equation}
\\


Podobn� jako jsme u kondenz�toru zav�d�li kapacitu jako funkci jeho geometrie
a permitivity prost�ed�, m��eme u solenoidu definovat {\em induk�nost} $L$ jako
pom�r induk�n�ho toku pr��ezem solenoidu a prot�kaj�c�ho voln�ho proudu. M�-li
solenoid $N$ z�vit�, mus�me tok br�t $N$-n�sobn�:
\begin{equation} \label{statin}
L\;=\;\frac{\Phi }{I}\;, ~~~\hbox{resp.}~~~~~L\;=\;\frac{N~\Phi }{I}\;=\;
\frac{N~B~S}{I}\;.
\end{equation}
To je takzvan� statick� definice induk�nosti. Tato induk�nost je z�ejm�
�m�rn� velikosti magnetick� indukce v solenoidu. Vlo��me-li do solenoidu
magnetikum, zv�t�� se pole a tedy i induk�nost $\mu_{r}$-kr�t:
\begin{equation} \label{indm}
L\;=\;\mu_{r}~L_{0}\;.
\end{equation}

Vkl�d�n�m r�zn�ch magnetik do solenoidu a m��en�m zm�n jeho induk�nosti m��eme
m��it relativn� permeabilitu. Zjist�me, �e existuje n�kolik skupin magnetik
a nav�c permeabilita jev� teplotn� z�vislost. Tak u diamagnetick�ch l�tek
je relativn� permeabilita mal�, z�porn� a teplotn� nez�visl�: \\


\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
\vspace*{3mm}

l�tka & ($\mu_{r}-1)~.~10^{6}$ \\
bismut & -176 \\
st��bro & -26 \\
NaCl & -12,6 \\
sklo & -12,6 \\
m�� & -10,3 \\
voda & -8,8 \\
etanol & -7,9 \\
vod�k & -0,063 \\
\end{tabular}
\end{center}

L�tky paramagnetick� maj� relativn� permitivity v �irok�m rozsahu a je pro
n� typick� teplotn� z�vislost
\begin{equation}
\mu_{r}\;=\;1\;+\;\frac{C}{T}\;,
\end{equation}
kde $C$ je Curieova teplota. V�jimku tvo�� alkalick� kovy, jejich�
permeabilita na teplot� nez�vis�. Pro n�kter� paramagnetika m�me   \\

\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
\vspace*{3mm}

l�tka & $(\mu_{r}-1)~.~10^{6}$ \\
dus�k & 0,013 \\
vzduch & 0,38 \\
kysl�k & 1,9 \\
hlin�k & 23 \\
wolfram & 176 \\
platina & 350 \\
tekut� kysl�k & 3 400 \\
\end{tabular}
\end{center}

Slo�it�j�� situace nast�v� u siln� magnetick�ch l�tek, jako jsou
feromagnetika. Jejich relativn� permeabilita je prom�nn� v z�vislosti na
vn�j��m magnetick�m poli a siln� teplotn� z�visl�. P�i dosa�en� Curieovy
teploty jejich permeabilita poklesne z vysok�ch hodnot ��dov� $10^{3}~-~
10^{4}$ na hodnoty b�n� u paramagnetik. Typick�mi feromagnetiky jsou
�elezo, kobalt, nikl, gadolinium a r�zn� slitiny i nekovov�ho charakteru.
Curieova teplota je pro Fe 1043 K, Co 1393 K, Ni 631 K, Gd 289 K. Pro
feromagnetika ji� neplat� p��m� �m�rnost mezi vektory $\vec B$ a $\vec H$
a jejich z�vislost pro konkretn� nateri�l ud�v� {\em magnetiza�n� k�ivka}.
Pro ur�it� druh m�kk�ho �eleza je uvedena na obr. 4.35.

\begin{figure}
\vspace*{7cm}

\centerline{obr. 4.35}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Feromagnetismus vysv�tlujeme tak, �e magnetick� dip�ly atom� jsou ji�
spont�nn� orientov�ny v tzv. Weissov�ch dom�n�ch a ty se pak v magnetick�m
poli nat��ej� jako celky. Sama teorie feromagnetismu je v�ak pom�rn� obt�n�
a je zalo�ena na z�konitostech kvantov� fyziky.   \\

Vedle feromagnetik se setk�v�me s {\em antiferomagnetiky} (NiO,
Fe$\hbox{F}_{2}$, MnS aj.), u nich� magnetick� momenty sousedn�ch atom� jsou
orientov�ny antiparaleln�. U {\em ferimagnetick�ch l�tek} (ferit�) jsou
sousedn� momenty rovn� antiparaleln�, ale r�zn� velikosti, tak�e l�tka je
spont�nn� zmagnetoiv�na. K ferit�m pat�� t�eba magnetovec $\hbox{Fe}_{3}
\hbox{O}_{4}$. Nad tzv. Ne�lovou teplotou p�ech�zej� tyto l�tky v oby�ejn�
paramagnetika. T�leso vytvo�en� z magnetika s fixn� orientovan�mi
magnetick�mi dip�ly se naz�v� permanentn� magnet. Podobn� jako u dielektrik
i s�ly mezi magnetick�mi dip�ly vyvol�vaj� mechanick� ��inky
({\em magnetostrikce}).

Relativn� permeabilita je makroskopick� l�tkov� konstanta, kterou je mo�no
teoreticky vypo��tat z mikroskopick�ho  modelu magnetik. Tak pro l�tky
diamagnetick� m��eme vyj�t z Langevinovy teorie indukovan�ch magnetick�ch
moment� atom�, kter� jsme odvodili v p�edchoz�m odstavci (\ref{inda}).
Proto�e vektor magnetizace p�edstavuje magnetick� dip�lov� moment jednotky
objemu l�tky, dostaneme odtud
\begin{equation} \label{Lange}
\mu_{r}\;=\;1\;+\;\kappa \;=\;1\;-\;\mu_{0}~n~
\frac{e^{2}~Z~<r_{0}^{2}>}{6~m_{e}}\;,
\end{equation}
kde $n$ je po�et atom� v jednotce objemu.
To je Langevin�v vztah pro permeabilitu diamagnetik; po�et atom� v jednotce
objemu ur��me pomoc� Avogadrova z�kona. P�esn�j��, kvantovou teorii
diamagnetismu podal ve 20. letech J.H. van Vleck. \\

Pokud jde o orienta�n� polarizaci paramagnetik, m��eme op�t pou��t Debyovu -
Langevinovu teorii a pouze modifikovat vzorec (2.82):
\begin{equation}
\mu_{r}\;=\;1\;+\;\frac{\mu_{0}~n~m^{2}}{3~k~T}\;.
\end{equation}
Zde $m$ je velikost vlastn�ho magnetick�ho momentu atomu a $k$ Boltzmannova
konstanta. Tento vzorec vysv�tluje teplotn� z�vislost permeability
paramagnetik. Obecnou kvantovou teorii paramagnetismu podal op�t van Vleck.\\

Jestli�e v magnetiku neprot�kaj� ��dn� voln� proudy, dost�v�me soustavu
Maxwellov�ch rovnic
\begin{equation} \label{magsta}
\hbox{div}~\vec B\;=\;0\;,~~~~~~~~~~~\hbox{rot}~\vec H\;=\;0\;.
\end{equation}
Ta je form�ln� shodn� se soustavou rovnic elektrostatiky v prostoru, kde
nejsou n�boje. Proto�e pole $\vec H$ je nyn� potenci�ln�, m��eme zav�st
{\em magnetostatick� potenci�l} $\psi $ vztahem
\begin{equation} \label{mapo}
\vec H\;=\;-~\hbox{grad}~\psi \;.
\end{equation}
V tomto p��pad� m��eme tedy mluvit o {\em magnetostatick�m poli} a soustav�
rovnic magnetostatiky. \\

P�i navrhov�n� c�vek pro generaci magnetick�ch pol� se setk�v�me s r�zn�
v�tven�mi magnetick�mi induk�n�mi toky a hovo��me o {\em magnetick�ch
obvodech}. Tak jako se elektrick� proudy mus� uzav�rat do smy�ek, tvo��
i magnetick� induk�n� ��ry uzav�en� obvody. Takov� uzav�en� obvod kone�n�ho
solenoidu je na obr. 4.36.

\begin{figure}
\vspace*{8cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.36
\hspace*{6cm}
obr. 4.37
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Nech� induk�n� ��ry tvo�� uzav�enou trubici o prom�nn�m pr��ezu $\Delta S$.
Potom pro cirkulaci magnetick� indukce pod�l trubice plat�
\begin{displaymath}
\oint_{l}~\vec B\cdot d\vec l\;=\;\oint_{l}\frac{\Phi }{\Delta S}~dl\;=\;
\Phi ~\oint_{l}~\frac{dl}{\Delta S}\;=\;\mu ~N~I\;=\;{\cal E}_{m}\;.
\end{displaymath}
Je-li $N$ po�et z�vit� solenoidu, p�edstavuje $NI$ magnetomotorick� nap�t�
(\ref{Amph}).

Veli�ina
\begin{equation} \label{relu}
R_{m}\;=\;\frac{1}{\mu }\;=\;\oint_{l}~\frac{dl}{\Delta S}
\end{equation}
z�vis� jen na d�lce a pr��ezu trubice a magnetick�ch vlastnostech prost�ed�.
Naz�v� se {\em magnetick� odpor} neboli {\em reluktance}. Jej� p�evr�cen�
hodnota
\begin{displaymath}
\Lambda \;=\;\frac{1}{R_{m}}
\end{displaymath}
nese n�zev {\em magnetick� vodivost} neboli {\em permeance}. Magnetick�
odpor se m��� v jednotk�ch p�evr�cen� henry, magnetick� vodivost v henry.

Pro magnetick� obvod m��eme tedy zapsat vztah mezi induk�n�m tokem,
magnetomotorick�m nap�t�m a magnetick�m odporem, kter� p�ipom�n� Ohm�v
z�kon. Naz�v� se {\em Hopkinson�v z�kon}:
\begin{equation} \label{Hopk}
\Phi \;=\;\frac{{\cal E}_{m}}{R_{m}}\;.
\end{equation}

P�i �e�en� slo�itej��ch magnetick�ch obvod� bychom mohli pracovat analogicky
s magnetick�m potenci�lem a magnetick�m nap�t�m, kter� se m��� stejn� jako
mmn v amp�rech, formulovat magnetick� Kirchhoffovy vzorce apod. \\

Nakonec je�t� ur��me s�lu, kterou se p�itahuj� koncov� n�stavce dvou magnet�
(obr. 4.37).
\vspace*{3mm}

\underline{S�la p�sob�c� mezi dv�ma magnety} \\

Pro mal� magnety bychom mohli pou��t v�razy pro s�ly p�sob�c� mezi
magnetick�mi dip�ly. Je-li naopak rozm�r plochy $S$ �el magnet� velk� ve
srovn�n� s ���kou mezery mezi nimi, vznik� v t�to vzduchov� meze�e p�ibli�n�
homogenn� magnetick� pole o indukci $\vec B$. Hustota energie magnetick�ho
pole v meze�e je $w_{m}=B^{2}/2\mu_{0}$, p�i posunut� magnet� o $\Delta d$
se celkov� energie zm�n� o $w_{m}S\Delta d$. Tato veli�ina mus� b�t rovna
pr�ci, kterou kon� s�la $F$ na dr�ze $\Delta d$, a proto
\begin{displaymath}
F\;=\;w_{m}~S\;=\;\frac{B^{2}~S}{2~\mu_{0}}\;.
\end{displaymath}

\vspace*{2cm} {\bf\Large 5. Pohyb nabit�ch ��stic v elektrick�ch a
magnetick�ch pol�ch}
\vspace{1cm}

Nabit� ��stice se v elektrick�ch a magnetick�ch pol�ch pohybuj� pod vlivem
Lorentzovy s�ly. Jde tedy o to �e�it pohybovou rovnici
\begin{equation} \label{Lorr}
m~\frac{d\vec v}{dt}\;=\;q~(\vec E\;+\;\vec v\times \vec B)\;.
\end{equation}
Pole $\vec E,\vec B$ mohou b�t obecn� zadan�mi funkcemi sou�adnic a �asu,
tak�e �e�en� pohybov� rovnice m��e b�t slo�it�. Takov� obecn� �e�en� je
t�eba ur�ovat nap��klad v elektronov� a iontov� optice, kde se ��stice
pohybuj� v nehomogenn�ch pol�ch. P�edpokl�dejme nejd��ve, �e pole jsou
homogenn�.

Pohyb v \underline{�ist� elektrick�m poli} je analogick� pohybu ��stice v homogenn�m poli
t�hov�m. Nech� elektrick� pole m��� sm�rem osy $x$: $\vec E=(E,0,0)$. Pohybov�
rovnice ve slo�k�ch d� �e�en�
\begin{equation}
x\;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}~E~t^{2}\;+\;v_{0x}~t\;+\;x_{0},~~~y\;=\;v_{0y}~
t\;+\;y_{0},~~~z\;=\;v_{0z}~t\;+\;z_{0}\;,
\end{equation}
kter� z�vis� na po��te�n�ch podm�nk�ch.

Za��n�-li se ��stice pohybovat z po��tku z klidu, bude jej� pohyb analogick�
voln�mu p�du:
\begin{displaymath}
x\;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}~E~t^{2}\;,~~~v_{x}\;=\;\frac{q}{m}~E~t\;=\;
\sqrt{\frac{2qEx}{m}}\;.
\end{displaymath}
Proto�e
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}~m~v_{x}^{2}\;=\;q~e~x\;,~~~~~\varphi\;=\;-~E~x\;+\;\varphi_{0}\;,
\end{displaymath}
dost�v�me z�kon zachov�n� energie ve tvaru
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}~m~v_{x}^{2}\;+\;q~\varphi\;=\;q~\varphi_{0}\;.
\end{displaymath}

Bude-li m�t ��stice po��te�n� rychlost $v_{0}$ ve sm�ru osy $y$, bude �e�en�
\begin{displaymath}
x\;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}~E~t^{2},~~~~~y\;=\;v_{0}~t
\end{displaymath}
a dr�ha bude parabolick� jako u vodorovn�ho vrhu v t�hov�m poli
\begin{displaymath}
x\;=\;\frac{1}{2}~\frac{q}{m}~\frac{E}{v_{0}^{2}}~y^{2}\;.
\end{displaymath}

\hspace*{3mm}

V \underline{�ist� magnetick�m poli}, kter� m� sm�r osy $z$ bude pohybov�
rovnice ve slo�k�ch
\begin{displaymath}
\frac{dv_{x}}{dt}\;=\;\frac{q}{m}~v_{y}~B\;,~~~~\frac{dv_{y}}{dt}\;=\;
-~\frac{q}{m}~v_{x}~B\;,~~~~\frac{dv_{z}}{dt}\;=\;0\;.
\end{displaymath}

Pohyb ve sm�ru magnetick�ho pole (osy $z$) je rovnom�rn�, proto�e v tomto
sm�ru magnetick� pole silov� nep�sob�:
\begin{displaymath}
z\;=\;v_{0z}~t\;+\;z_{0}\;.
\end{displaymath}
Soustavu diferenci�ln�ch rovnic pro slo�ky $v_{x},~v_{y}$, kter� jsou
prov�z�ny, m��eme �e�it bud tak, �e jednu z rovnic zderivujeme znovu podle
�asu, vylou��me jednu z funkc� a pro druhou budeme �e�it rovnici druh�ho
��du, nebo p�echodem ke komplexn� rychlosti $u=v_{x}+\hbox{i}v_{y}$.
Vyn�sob�me-li rovnici pro $v_{y}$ imagin�rn� jednotkou i a se�teme ob�
rovnice, dostaneme
\begin{displaymath}
\frac{du}{dt}\;+\;\hbox{i}~\frac{qB}{m}~u\;=\;0\;.
\end{displaymath}

�e�en�m t�to rovnice je komplexn� funkce
\begin{displaymath}
u\;=\;C~\hbox{e}^{\alpha ~t}\;=\; v_{0\bot }~
\hbox{e}^{-\hbox{i}(\delta + \omega_{c}t)}\;,
\end{displaymath}
kde $\omega_{c}$ je takzvan� {\em cyklotronov� frekvence} rovn�
\begin{equation} \label{cykl}
\omega_{c}\;=\;\frac{q}{m}~B\;.
\end{equation}

Pro komplexn� rychlost m�me
\begin{equation} \label{komplex}
u\;=\;v_{0\bot }~\cos (\omega_{c}t+\delta )\;-\;\hbox{i}~v_{0\bot }
\sin (\omega_{c}t+\delta ) \;,
\end{equation}
a tedy v�sledn� �e�en� ve slo�k�ch

\begin{displaymath}
v_{x}\;=\;v_{0\bot }~\cos (\omega_{c}t+\delta )\;,~~~~~~~x\;=\;x_{0}\;-\;
r_{c}~\sin \delta \;+\;r_{c}~\sin (\omega_{c}t+\delta )
\end{displaymath}
\begin{equation} \label{sroub}
v_{y}\;=\;-~v_{0\bot }~\sin (\omega_{c}t+\delta )\;,~~~~~~~y\;=\;y_{0}\;-\;
r_{c}~\cos \delta\;+\;r_{c}~\cos (\omega_{c}t+\delta )\;.
\end{equation}

D�lka $r_{c}$ se naz�v� {\em cyklotronov� polom�r}. Je roven
\begin{equation} \label{cyklp}
r_{c}\;=\;\frac{v_{0\bot }}{\omega_{c}}\;=\;\frac{m~v_{0\bot }}{q~B}\;.
\end{equation}

V homogenn�m magnetick�m poli kon� tedy nabit� ��stice rovnom�rn� kruhov�
pohyb v rovin� kolm� k magnetick�mu poli s �hlovou frekvenc� $\omega_{c}$ a
s polom�rem $r_{c}$. Na tento pohyb se superponuje rovnom�rn� pohyb ve sm�ru
osy $z$ tak�e v�sledn� dr�ha ��stice m� tvar �roubovice, kter� se ov�j� kolem
magnetick� induk�n� ��ry (obr. 4.38).

\begin{figure}
\vspace*{75mm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.38
\hspace*{6cm}
obr. 4.39
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Je d�le�it� si v�imnout, �e ��stice bude rotovat kolem induk�n� ��ry v
{\em levoto�iv�m smyslu}, tak�e sv�m vlastn�m indukovan�m magnetick�m polem
bude vn�j�� pole oslabovat. Voln� ��stice (kter� tvo�� nap��klad plazma)
se tedy chovaj� v magnetick�m poli jako diamagnetika. \\

P�ejdeme nyn� k situaci. kdy p�sob� sou�asn� \underline{magnetick� a
elektrick�} pole, kter� jsou navz�jem kolm�: $\vec E=(0,E,O),~~~\vec B=
(0,0,B)$. Pohybov� rovnice bude nyn� nehomogenn�:
\begin{displaymath}
\frac{du}{dt}\;+\;\hbox{i}~\frac{qB}{m}~\;=\;\hbox{i}~\frac{qE}{m}\;.
\end{displaymath}
K obecn�mu �e�en� homogenn� rovnice (\ref{komplex}) mus�me p�i��st je�t�
zvl�tn� �e�en� nehomogenn� rovnice. Snadno zjist�me, �e je re�ln� a rovno
\begin{equation} \label{drift}
u_{nh}\;=\;v_{d}\;=\;\frac{E}{B}\;,
\end{equation}

T�to veli�in� ��k�me {\em driftov� rychlost}. Ve zk��en�ch elektrick�m a
magnetick�m poli kon� tedy ��stice jednak pohyb po �roubovici ov�jej�c� se
kolem osy $z$ ve sm�ru magnetick�ho pole a krom� toho se posouv� ve sm�ru
osy $x$, tedy kolmo jak k magnetick�mu tak k elektrick�mu poli (!). Takov�mu
pohybu nap��� magnetick�m induk�n�m �ar�m ��k�me {\em drift}. V�imn�me si, �e
driftov� rychlost nez�le�� ani na znam�nku ani na hmotnosti ��stice.
Superpozic� kruhov�ho a postupn�ho pohybu vznik� trajektorie ve tvaru
cykloidy , p��padn� cykloidy zkr�cen� nebo prodlou�en� (obr. 4.40).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.40
\hspace*{6cm}
obr. 4.41
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Drift m��e b�t zp�soben i jin�mi silami ne� elektrick�m polem (nap��klad
gravitac�) a doch�z� k n�mu i v nehomogenn�m magnetick�m poli, kolmo ke
sm�ru gradientu. V t�chto p��padech bude sm�r driftu z�viset na znam�nku
elektrick�ho n�boje ��stice.

Pohybuje-li se nabit� ��stice v nehomogenn�m magnetick�m poli, chov� se jako
diamagnetick� a je vytla�ov�na z oblasti v�t�� hustoty silo�ar. Na tomto jevu
jsou zalo�ena {\em magnetick� zrcadla}. Pohybuje-li se ��stice pod�l silo��ry
po �roubovici, bude se v siln�j��m poli jak polom�r tak stoup�n� �roubovice
zmen�ovat, a� se ��stice zastav� a za�ne se pohybovat opa�n�m sm�rem.
Toho se vyu��v� v otev�en�ch magnetick�ch n�dob�ch ur�en�ch k udr�en� hork�ho
plazmatu (viz obr. 4.41). \footnote{Na vlastnostech pohybu nabit�ch ��stic
v nehomogenn�m magnetick�m a gravita�n�m poli je zalo�eno chov�n� kosmick�ch
��stic slune�n�ho v�tru v zemsk�m magnetick�m poli. Zemsk� magnetick� pole m�
charakter pole dip�lu se silo�arami zhu��uj�c�mi se u geomagnetick�ch p�l�.
Nabit� ��stice nem��e pronikat k zemsk�mu povrchu nap��� silo�ar�m, ov�j� se
kolem nich a pod vlivem gravita�n�ho pole kon� drift v rovnob�kov�m sm�ru.
Z�rove� putuje od p�lu k p�lu a tam se v�dy odr�� jako od magnetick�ho
zrcadla. V pol�rn�ch oblastech tak roste koncentrace t�chto ��stic a s t�m
souvis� v�skyt pol�rn�ch z���. Zemsk� magnetosf�ra n�s tak chr�n� p�ed
pronik�n�m nabit�ch kosmick�ch ��stic.}

Na pohybu nabit�ch ��stic v elektrick�ch a magnetick�ch pol�ch je zalo�eno
mno�stv� technick�ch aplikac�, zahrnovan�ch pod souhrnn�m n�zvem elektronika.
R�zn� uspo��dan� pole umo��uj� svazky nabit�ch ��stic fokusovat a vytv��et
elektrick� a magnetick� �o�ky. Na tom je zalo�ena {\em elektronov� a iontov�
optika}. Na obr. 4.42 jsou zn�zorn�ny elektrick� a magnetick� �o�ky jednak
s pod�ln�m a jednak s p���n�m polem.

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.42}
\vspace*{1cm}

\end{figure}

Elektrick� a magnetick� pole umo��uj� tak� separovat ��stice podle rychlost�
a vytv��et rychlostn� filtry. Nech� se nabit� ��stice pohybuje rychlost� $v$
ze vzd�lenosti $x_{0}$ pod�l osy $x$ a dopad� na st�n�tko (fotografickou
desku) v rovin� $y,z$ (obr. 4.43).
\begin{figure}
\vspace*{5cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.43
\hspace*{6cm}
obr. 4.44
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Elektrick� a magnetick� pole m��� rovnob�n� (souhlasn� �i nesouhlasn�)
ve sm�ru osy $y$. Ve sm�ru osy $x$ nep�sob� na ��stici ��dn� s�la a ��stice
dos�hne st�n�tka za dobu $t=x_{0}/v$. Za tuto dobu se odch�l� ve sm�ru $y$
pod vlivem elektrick�ho pole a ve sm�ru $z$ pod vlivem magnetick�ho pole.
��stice o t�m� m�rn�m n�boji a r�zn�ch rychlostech tedy dopadaj� na st�n�tko
pod�l paraboly
\begin{displaymath}
z^{2}\;=\;\frac{q~B^{2}x_{0}^{2}}{2~m~E}~x\;.
\end{displaymath}
T�to "metody parabol" pou�il v r. 1901 W. Kaufmann, kdy� ur�oval z�vislost
hmotnosti relativistick�ch elektron� na jejich rychlosti. Uspo��d�me-li
magnetick� a elektrick� pole vz�jemn� kolmo, m��eme zvolit jejich velikosti
tak, aby ��stice o dan� rychlosti pohybuj�c� se v kolm�m sm�ru k ob�ma pol�m
nebyla v�bec odchylov�na a prol�t�vala nastavenou �t�rbinou (viz p��klad 4.6).

Naopak urychl�me-li ��stice na stejn� rychlosti, budou jejich dr�hy v
magnetick�m poli z�viset na m�rn�m n�boji $q/m$. Toho se vyu��v� v {\em
hmotnostn� spektroskopii a spektrometrii}, nap��klad k anal�ze izotopov�ho
slo�en� sm�si iont�. Na obr. 4.45 je zn�zorn�no schema prvn�ho spektroskopu,
kter� zkonstruoval F.W.Aston 1917 a modern�j��ho spektrometru Dempsterova.

\begin{figure}
\vspace*{10cm}

\centerline{obr. 4.45}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Pohybu nabit�ch ��stic v p���n�m magnetick�m poli se vyu��v� v cyklick�ch
{\em urychlova��ch}, kter� umo��uj� zkoumat chov�n� ��stic pohybuj�c�ch se a
sr�ej�c�ch se p�i obrovsk�ch energi�ch. Polom�r kruhov� dr�hy ��stice $R$
v magnetick�m poli roste s rychlost�. Tak se v cyklotronu pohybuj� ionty
mezi n�stavci obrovsk�ho magnetu ze st�edu po rozv�jej�c� se spir�le a p�i
p�echodu mezerou mezi duanty jsou urychlov�ny st��dav�m nap�t�m  o frekvenci
$\omega $. Jakmile ��stice dos�hne obvodu magnetick�ho pole, urychlov�n�
mus� skon�it. To je nev�hoda cyklotronu. Pokud rychlosti ��stice nejsou
relativistick�, z�st�v� doba ob�hu, odpov�daj�c� cyklotronov�
frekvenci, konstantn�. P�i dosa�en� relativistick�ch rychlost� za�ne
nar�stat hmotnost ��stice a prodlu�ovat se doba ob�hu. Je-li urychlovac�
nap�t� konstantn�ho kmito�tu, ��stice za�ne vypad�vat ze synchronismu.
Proto nelze na cyklotronu urychlovat relativistick� ��stice.

Synchronizace m��eme dos�hnout t�m, �e budeme sni�ovat frekvenci
urychlovac�ho nap�t� (f�zotron neboli synchrocyklotron), zvy�ovat hodnotu
magnetick� indukce (synchrotron) nebo oboje (protonov� synchrotron neboli
synchrof�zotron).


Je tak� mo�no ponechat frekvenci i magnetick� pole a vynech�vat postupn�
jednu, dv�, t�i atd urychlovac� periody (mikrotron). Existuje t� induk�n�
urychlova� (betatron) s rostouc� magetickou indukc�, kde urychlov�n�
vyvol�v� indukovan� elektrick� pole.

Proto�e pro relativistick� ��stice se
rychlost prakticky rovn� rychlosti sv�tla a p��li� se nem�n�, t�m �e u
synchrotronu a synchrof�zotronu udr�ujeme konstantn� pom�r mezi magnetickou
indukc� a hmotnost�, z�st�v� konstantn� i polom�r dr�hy. Pak nemus�me
konstruovat magnety o velk�ch rozm�rech n�stavc� a polom�r urychlovac� dr�hy
m��e �init des�tky kilometr�. T�m se tak� zmen�� k�ivost dr�hy a sn�� se
ztr�ty synchrotronov�m z��en�m. M�n�me-li magnetick� pole nebo urychlovac�
frekvenci, m��e b�t urychlovac� cyklus ov�em pouze pulsn�. V n�sleduj�c�
tabulce porovn�v�me r�zn� typy cyklick�ch urychlova��.

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\vspace*{3mm}


urychlova� & B & $\omega$ & R & ��stice & typick� energie \\
\hline
CYKLOTRON & konst & konst & rost & ionty & 25 MeV \\
\hline
F�ZOTRON & konst & kles & rost & ionty & 680 MeV \\
\hline
SYNCHROTRON & rost & konst & konst & elektrony & 1 GeV \\
\hline
SYNCHROF�ZOTRON & rost & kles & konst & ionty & 1 TeV \\
\hline
MIKROTRON & konst & konst & rost & elektrony & 50 MeV \\
\hline
BETATRON & rost & - & konst & elektrony & 300 MeV \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{1cm}

M�jme nyn� vodi� obd�ln�kov�ho pr��ezu rozlo�en� pod�l osy $y$ tak, �e jeho
hrany jsou orientov�ny ve sm�ru $x$ (hrana $b$) a $z$ (hrana $a$). Nech�
magnetick� pole p�sob� ve sm�ru osy $z$ a elektrick� pole le�� v rovin�
$y,z$ (obr. 4.44). Je z�ejm�, �e konduktivita (m�rn� vodivost) $\sigma $ bude nyn�
r�zn� v r�zn�ch sm�rech a bude p�edstavovat tenzor tvaru
\begin{displaymath}
\sigma_{ik}\;=\;
\left( \begin{array}{ccc}
\sigma_{1} & \sigma_{2} & 0 \\
-~\sigma_{2} & \sigma_{1} & 0 \\
0 & 0 & \sigma
\end{array} \right)
\end{displaymath}

Magnetick� pole neovliv�uje pohyb nabit�ch ��stic v pod�ln�m sm�ru
a slo�ka vodivosti ve sm�ru osy $z$ bude
\begin{displaymath}
j_{z}\;=\;\sigma ~E_{z}\;,~~~~~\sigma \;=\;\frac{q^{2}n}{2m\nu }
\end{displaymath}
(viz (3.33)).

Pod�l osy $y$ pote�e tzv. p��m� proud, pro n�j� plat� \footnote{Vztahy mezi
jednotliv�mi slo�kami vodivosti lze ur�it n�sledovn�. Zavedeme efektivn�
elektrick� pole $\vec E_{ef}=\vec E+\vec u\times \vec B$, kde $\vec j=
nq\vec u$. Potom $\vec j=\sigma \vec E_{ef}=\sigma (\vec E+\frac{\vec j}{nq}
\times \vec B)$. D�le rozep�eme  $\vec j=\sigma E_{z}\vec z_{0}+\sigma_{1}
E_{y}\vec y_{0}+\sigma_{2}E_{y}\vec x_{0}$ a dosad�me do p�edchoz� rovnice.
Porovn�n�m p��slu�n�ch slo�ek vektor� a vylou�en�m $E_{y}$ dostaneme
$\sigma_{1}=\sigma - \frac{\sigma \sigma_{2}B}{nq},~~\sigma_{2}=
\frac{\sigma \sigma_{1}B}{nq}$ a uv��me-li, �e $\frac{\sigma B}{nq}=
\frac{\omega_{c}}{\nu }$, dostaneme slo�ky $\sigma_{1},~\sigma_{2}$.}

\begin{displaymath}
j_{y}\;=\;\sigma_{1}~E_{y}\;,~~~~~\sigma_{1}\;=\;
\frac{\sigma }{1+\frac{\omega_{c}^{2}}{\nu^{2}}}
\end{displaymath}

Pod�l osy $x$, nap��� magnetick�mu i elektrick�mu poli te�e tzv. Hall�v proud,
pro n�j� plat�

\begin{displaymath}
j_{x}\;=\;\sigma_{2}~E_{y}\;,~~~~~\sigma_{2}\;=\;
\frac{\sigma \frac{\omega_{c}}{\nu }}{1+\frac{\omega_{c}^{2}}{\nu^{2}}} .
\end{displaymath}

Hall�v proud kolm� k magnetick�mu i elektrick�mu poli je n�m u� zn�m� drift
��stic po cykloid�ch. Je sp�e ot�zka, jak v�bec m��e t�ci p��m� proud.
Ukazuje se, �e je to umo�n�no sr�kami ��stic. Je-li ��stice v klidu,
magnetick� pole na ni nep�sob� a elektrick� ji posune v p��m�m sm�ru. Na
pohybuj�c� se ��stici za�ne v�ak okam�it� p�sobit pole magnetick� a ��stice
za�ne driftovat v p���n�m sm�ru. P�i dal�� sr�ce se ��stice zastav� a
pod vlivem elektrick�ho pole se op�t posune v p��m�m sm�ru (obr. 4.46).

\begin{figure}
\vspace*{9cm}

\hspace*{2cm}
obr. 4.46
\hspace*{6cm}
obr. 4.47
\vspace*{1cm}
\end{figure}

Pro vodivost v dan�m sm�ru je tedy rozhoduj�c� pom�r cyklotronov� frekvence,
kter� vyjad�uje vliv magnetick�ho pole a sr�kov� frekvence. Je-li
$\omega_{c}/\nu \ll 1$, bude $\sigma_{1}\approx \sigma ,\sigma_{2}\approx
\sigma $ a magnetick� pole ovlivn� vodivost jen m�lo. Naopak p�i $\omega_{c}/
\nu \gg 1$ bude $\sigma_{1}\ll \sigma_{2}\ll \sigma $ a vodivost v p��m�m
sm�ru siln� poklesne. \\

P�edpokl�dejme nyn�, �e vodi� je v pom�rn� slab�m magnetick�m poli a te�e
j�m stacion�rn� proud $I=jab=nquab$. V p���n�m sm�ru $x$ p�sob� na nosi�e
n�boje s�la $F=quB=qE_{t}$, kde $E_{t}$ je efektivn� p���n� elektrick� pole.
Na bo�n�ch stran�ch vodi�e tak vznik� nap�t�

\begin{equation} \label{Hall}
U\;=\;E~b\;=\;u~B~b\;=\;\frac{j}{nq}~B~b\;=\;\frac{I~B}{n~q~a}\;=\;K~
\frac{I~B}{a}\;.
\end{equation}

Toto p���n� nap�t� se naz�v� Hallovo a jeho vznik {\em Hall�v jev}. Konstanta
$K$ je Hallova konstanta, kter� z�vis� na materi�lu vodi�e, m��eme ji ur�it
z proudu, magnetick� indukce a Hallova nap�t� a stanovit z n� znam�nko a
m�rn� n�boj nosi�� n�boje. Pro n�kter� vodi�e bylo zji�t�no

\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
\vspace*{5mm}

vodi� & [$K~\hbox{C}^{-1}.\hbox{m}^{3}$] \\
Cu & -~$5,3.10^{-11}$ \\
Ag & -~$8,9.10^{-11}$ \\
Bi & -~$5,0.10^{-7}$ \\
Zn & +~$10.10^{-11}$ \\
Cd & +~$6.10^{-11}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Hallova konstanta odpov�d� klasick� teorii vodivosti u jednomocn�ch kov�, m�
p�ekvapiv� velkou absolutn� hodnotu u bismutu a dokonce kladnou u n�kter�ch
dvojmocn�ch kov (d�rov� vodivost).

Zn�me-li konstantu $K$, a zm���me-li Hallovo nap�t�, m��eme ur�it hodnotu
magnetick� indukce (Hallova sonda). Hall�v jev se vyu��v� tak� k
separaci kladn�ch a z�porn�ch n�boj� v proudu ionizovan�ho plynu v
magnetohydrodynamick�ch gener�torech (MHD) a vytv��en� velk�ch
stejnosm�rn�ch nap�t�.

\vspace*{3cm}{\bf\Large P��klady}

\vspace*{1cm}

4.1 Jak se zm�n� nap�t� $U_{0}$ mezi deskami nabit�ho kondenz�toru
m��en� v laboratorn� soustav�, za�ne-li se kondenz�tor pohybovat rychlost�
$v=0,8~c$ ve sm�ru a) kolm�m na desky, b) rovnob�n�m s deskami.
\begin{flushright}
$[U=0,6~U_{0},~~~~~U=1,67~U_{0}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.2 V urychlova�i let� n�boje o vlastn� hustot�
$\rho '=10^{-4}~\hbox{C.m}^{-3}$ rychlost� $v=0,8c$ ve sm�ru osy $x$. Jakou
hustotu proudu nam���me v  laboratorn� soustav�?
\begin{flushright}
$[4.10^{4}~\hbox{A.m}^{-2}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.3 Ur�ete celkovou s�lu, kterou bude dlouh� p��m� vodi� prot�kan� proudem
\newline
$I_{1}=10$ A p�sobit na obd�ln�kovou smy�ku podle obr. 4.47, j� prot�k�
proud $I_{2}=5$ A.
\begin{flushright}
[$3,5.10^{-5}$ N, p�ita�liv�; $1,25.10^{-6}$ N stla�uje smy�ku se stran]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.4 V prostoru je d�no elektrick� a magnetick� pole jako $E_{x}=E_{y}=E_{z}=
3.10^{4}~\hbox{V.m}^{-1},\newline B_{x}=0,~~B_{y}=-B_{z}=5.10^{-5}$ T. Najd�te
sou�adnou soustavu, v n� $B=0$.
\begin{flushright}
$[v=v_{x}=-~0,5~c]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.5 P��m�m vodi�em prot�k� proud $I=100$ A. Ur�ete elektrick� a magnetick�
pole $\vec E,~\vec B$, jak se jev� ve vzd�lenosti 10 cm od vodi�e v sou�adn�
soustav� pohybuj�c� se rovnob�n� s vodi�em rychlost� 0,8 $c$.
\begin{flushright}
$[8.10^{4}~\hbox{V.m}^{-1},~~~3,33.10^{-4}~\hbox{T}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.6 Jak� v�sledn� s�la p�sob� na nabitou ��stici pohybuj�c� se rychlost�
$v=E/B$  ve vz�jemn� kolm�ch elektrick�m a magnetick�m pol�ch tak, �e
vektory $\vec E,~\vec B,~\vec v$ tvo�� pravo�hlou pravoto�ivou soustavu?
\begin{flushright}
[nulov�)
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.7 Ur�ete magnetickou indukci ve st�edu smy�ky prot�kan� proudem $I$ ve tvaru
kru�nice, rovnostrann�ho troj�heln�ka, �tverce, obd�ln�ka, �esti�heln�ka.
\begin{flushright}
$[\frac{\mu_{0}I}{2r},~~~\frac{18\mu_{0}I}{4\pi a},~~~
\frac{2\sqrt{2}\mu_{0}I}{\pi a},~~~\frac{2\mu_{0}I\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\pi ab},
~~~\frac{\sqrt{3}\mu_{0}I}{\pi a}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.8 Rovnostrann� troj�heln�k je sletov�n z homogenn�ho dr�tu. Ke dv�ma
vrchol�m troj�heln�ka je p�ilo�eno emn. Jak� bude magnetick� indukce
ve st�edu troj�heln�ka?
\begin{flushright}
$[0]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.9 Krychle je sletov�na ze stejn�ch �sek� dr�t�. Ke dv�ma protilehl�m
vrchol�m krychle p�ipoj�me emn. Jak� bude magnetick� indukce ve st�edu
krychle?
\begin{flushright}
$[0]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.10 �tvercovou smy�kou o stran� 6 m te�e proud 10 A. Ur�ete magetickou
indukci v bod� na ose smy�ky ve v��ce 4 m nad rovinou smy�ky.
\begin{flushright}
$[4,8.10^{-7}~\hbox{T}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.11 Nekone�n� dr�t je ohnut do p�lkruhu podle obr. 4.48. Ur�ete magnetickou
indukci ve st�edu p�lkruhu.
\begin{flushright}
$[\frac{\mu_{0}(2+\pi )I}{4\pi r}]$
\end{flushright}

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\hspace{2cm}
obr.4.48
\hspace{6cm}
obr.4.49
\vspace*{1cm}
\end{figure}

4.12 Uvnit� dlouh�ho vodi�e kruhov�ho pr��ezu polom�ru 5 mm je vyvrt�na
v�lcov� dutina o polom�ru 0,5 mm, jej� osa proch�z� rovnob�n� s osou vodi�e
ve vzd�lenosti $a=3$ mm (obr.4.49). Vodi�em te�e proud $I=1$ A. Jak� bude
magnetick� indukce v dutin�?
\begin{flushright}
$[B=\frac{\mu_{0}j~a}{2}=2,4.10^{-5}~\hbox{T}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.13 Elektrick� proud $I$ prot�k� st�nami dut� kovov� trubky o vnit�n�m a
vn�j��m polom�ru $R_{1},~R_{2}$. Jak� bude pr�b�h magnetick� indukce ve
st�n�ch trubky?
\begin{flushright}
$\left[ \frac{\mu_{0}I}{2\pi (R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}\left( r-\frac{R_{1}^{2}}{r}
\right) \right]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.14 T�i rovnob�n� p��m� vodi�e tvo�� hrany trojbok�ho rovnostrann�ho
hranolu, jsou navz�jem vzd�leny 10 cm a ka�d�m te�e proud 20 A stejn�m
sm�rem. Ur�ete sm�r a velikost magnetick� indukce na ose hranolu a na ose
jedn� ze st�n hranolu.
\begin{flushright}
$[0,~~~4,62.10^{-5}~\hbox{T}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.15 Solenoid m� d�lku 30 cm a pr�m�r 6 cm. Na 1 cm je navinuto 5 z�vit�,
dr�t m� odpor 0,01 $\Omega .\hbox{m}^{-1}$ a je p�ipojen k $\cal E$ = 24 V.
Jak� bude magnetick� indukce uvnit� solenoidu, tlak na bo�n� st�nu a
spot�ebov�van� v�kon?
\begin{flushright}
$[5,2.10^{-2}~\hbox{T},~~~1~130~ \hbox{Pa},~~~2~\hbox{kW}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.16 Zemsk� magnetick� pole na severn�m p�lu m� indukci o velikosti $B=
6,2.10^{-5}~\hbox{T}$ a jej� vektor m��� kolmo k zemi. Ur�ete velikost
magnetick�ho dip�lov�ho momentu Zem� a proud, kter� by musel t�ci po rovn�ku,
aby takov� moment vyvolal.
\begin{flushright}
$[8,1.10^{22}~\hbox{A.m}^{2},~~~6,5.10^{8}~\hbox{A}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.17 Jakou silou se p�itahuj� dva p�lov� n�stavce magnetu o plo�e
$10~ \hbox{cm}^{2}$, je-li v meze�e intenzita magnetick�ho pole $H=4,37.
10^{6}~\hbox{A.m}^{-1}$ ?
\begin{flushright}
$[12~\hbox{kN}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

\pagebreak

4.18 Mal� podkovovit� magnet ze �eleza o obd�ln�kov�m pr��ezu 1 x 0,5 cm
unese �elezn� z�va�� o hmotnosti 1,2 kg. Ur�ete magnetickou indukci v
bl�zkosti �eln�ch ploch magnetu.
\begin{flushright}
$[0,55~\hbox{T}]$
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.19 M�jme dva mal� kotou�ky polom�ru $r=1~\hbox{cm}$ a tlou��ky $d=0,5
~\hbox{cm}$ z magnetizovan� l�tky m�rn� hmotnosti
$\rho =8~800~\hbox{kg.m}^{-3}$, jejich� vektory magnetizace o velikosti
$M=8,4.10^{5}~\hbox{A.m}^{-1}$ jsou orientov�ny ve sm�ru rota�n� osy. V
jak� v��ce $h$ se bude vzn�et jeden kotou�ek nad druh�m, kter� je upevn�n
na podlo�ce? Viz obr. 4.50.
\begin{flushright}
[5,27 cm]
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

\begin{figure}
\vspace*{6cm}

\centerline{obr. 4.50}
\vspace*{1cm}
\end{figure}

4.20 Elektron vlet� do homogenn�ho magnetick�ho pole rychlost� $v=5.10^{6}~
\hbox{m.s}^{-1}$ a za�ne se pohybovat po �roubovici  o polom�ru$r=5$ cm a
stoup�n� $s$=30 cm. Ur�ete velikost magnetick� indukce.
\begin{flushright}
$\left[ \frac{mv}{e}~\left( ~\frac{s^{2}}{4\pi^{2}}+r^{2}~\right) ^{-1/2}~=~
4,1.10^{-4}~\hbox{T}\right] $
\end{flushright}
\vspace*{4mm}

4.21 Deuteron se pohybuje po kru�nici o polom�ru 40 cm v magnetick�m poli
\newline $B=1,5$ T. Ur�ete rychlost, energii a dobu ob�hu deuteronu.
\begin{flushright}
$[2,9.10^{7}~\hbox{m.s}^{-1},~~~8,7 ~\hbox{MeV},~~~8,6.10^{-8}~\hbox{s}]$
\end{flushright}